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高考热点专题(五)变力做功的五种求法【热点概述【热点概述】功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式功的计算公式W=FscosW=Fscos, ,只能用于恒力做功情况，对于变力做只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。现结合例题分析变力做功的五种求解是经常考查的一类题目。现结合例题分析变力做功的五种求解方法。方法。【热点透析【热点透析】一、化变为恒法一、化变为恒法方法方法介绍介绍直接求解变力做功时，通常都比较复杂，但若直接求解变力做功时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可转化为恒力做功，通过转换研究的对象，有时可转化为恒力做功，可以用可以用W=FscosW=Fscos求解。此法常常应用于轻绳求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中通过定滑轮拉物体的问题中解题解题关键关键采用本法解题的关键是根据题设情景，发现将采用本法解题的关键是根据题设情景，发现将变力转化为恒力的等效替代关系，然后再根据变力转化为恒力的等效替代关系，然后再根据几何知识求出恒力的位移大小，从而求出变力几何知识求出恒力的位移大小，从而求出变力所做的功所做的功【例证【例证1 1】人在人在A A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kgm=50 kg的物的物体，如图。开始绳与水平方向夹角为体，如图。开始绳与水平方向夹角为6060, ,当人匀速提起重物当人匀速提起重物由由A A点沿水平方向运动点沿水平方向运动l=2 m=2 m而到达而到达B B点时，绳与水平方向成点时，绳与水平方向成3030角，角，g g取取10 m/s10 m/s2 2。求人对绳的拉力做了多少功？。求人对绳的拉力做了多少功？【解析【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，所以拉力是变力，不能用却时刻在变，所以拉力是变力，不能用W WFscosFscos直接求拉力直接求拉力的功。若转换一下研究对象不难发现，人对绳的拉力的功与绳的功。若转换一下研究对象不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力。对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力。设滑轮距人手的高度为设滑轮距人手的高度为h h，则：，则：h(cot30h(cot30-cot60-cot60)=)=l人由人由A A走到走到B B的过程中，重物的过程中，重物G G上升的高度上升的高度hh等于滑轮右侧绳子等于滑轮右侧绳子增加的长度，即增加的长度，即人对绳子做的功为人对绳子做的功为W=Fs=GhW=Fs=Gh代入数据可得代入数据可得W=732 JW=732 J答案答案: :732 J 732 J hhhsin30sin60 二、图像法二、图像法方法方法介绍介绍功表示力的作用效果在一段位移上的累积效应，功表示力的作用效果在一段位移上的累积效应，如果力如果力F F随位移随位移l的变化关系明确，初末位置清楚，的变化关系明确，初末位置清楚，那么就可以在平面直角坐标系中，用纵坐标表示那么就可以在平面直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力作用在物体上的力F F，横坐标表示物体在力的方，横坐标表示物体在力的方向上的位移向上的位移l，作出，作出F-F-l图像（如图所示），则图图像（如图所示），则图线与横坐标轴所围成的面积在数值上等于力对物线与横坐标轴所围成的面积在数值上等于力对物体做功的大小体做功的大小解题解题关键关键采用本法的解题关键是能把抽象复杂的物理过采用本法的解题关键是能把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，正确将物理量程有针对性地表示成物理图像，正确将物理量间的代数关系转变为几何关系，由此达到化难间的代数关系转变为几何关系，由此达到化难为易、化繁为简的目的为易、化繁为简的目的 【例证【例证2 2】面积很大的水池，水深为面积很大的水池，水深为H H，水面上漂浮着一质量为，水面上漂浮着一质量为m m的正方体木块，木块边长为的正方体木块，木块边长为a,a,密度为水密度的密度为水密度的 开始时，开始时，木块静止且有一半没入水中，木块静止且有一半没入水中，如图所示。现用力如图所示。现用力F F将木块缓将木块缓慢压到池底，不计摩擦，求从慢压到池底，不计摩擦，求从开始压木块到刚好把木块压到开始压木块到刚好把木块压到池底的过程中，力池底的过程中，力F F对木块做对木块做的功。的功。12。【解析】【解析】从开始压木块到木块刚好完全没入水中的过程中，压从开始压木块到木块刚好完全没入水中的过程中，压力力F F与下降的位移与下降的位移l成正比，关系式为成正比，关系式为F=gaF=ga2 2l（l为下降的位为下降的位移），当下降位移为移），当下降位移为 时压力时压力F F最大，最大，F Fmaxmax=mg=mg，以后的运动，以后的运动过程中压力始终为过程中压力始终为F Fmaxmax，由此可根，由此可根据分析作出如图所示的据分析作出如图所示的F-F-l图像，图像，图像中图线与图像中图线与l轴所围成的面积值轴所围成的面积值就等于压力对木块所做功的就等于压力对木块所做功的大小，即大小，即答案答案: :a21a3Wmgmg HamgHmga224。3mgHmga4三、平均力法三、平均力法方法方法介绍介绍当力的方向不变，而大小随位移线性变化时，当力的方向不变，而大小随位移线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解力，用功的计算式求解解题解题关键关键采用本法解题的关键是正确判断力与位移是否采用本法解题的关键是正确判断力与位移是否成线性关系，只有力与位移成线性关系时，才成线性关系，只有力与位移成线性关系时，才可应用此法可应用此法 【例证【例证3 3】把长为把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为为E E0 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为正比，比例系数为k k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？。问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】【解析】在把钉子钉入木板的过程中，钉子把得到的能量用来在把钉子钉入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为钉子在整个过程中受到的平均阻力为: :钉子克服阻力做的功为钉子克服阻力做的功为: :设全过程共打击设全过程共打击n n次，则给予钉子的总能量次，则给予钉子的总能量: :所以所以答案答案: :0kkF22ll2F1WFk2ll201EnEk2总l20kn2El20k2El四、微元法四、微元法方法方法介绍介绍将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段常应用于求解力的大小不变、方向改变的阶段常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题变力做功问题解题解题关键关键采用本法解题的关键是树立化整为零的微分思采用本法解题的关键是树立化整为零的微分思想，明确当把位移细分为无穷小时，力的方向想，明确当把位移细分为无穷小时，力的方向与位移的方向在一条直线上，从而可直接应用与位移的方向在一条直线上，从而可直接应用恒力做功的公式求出这一小段上力做的功，进恒力做功的公式求出这一小段上力做的功，进而求出一大段路程上的总功而求出一大段路程上的总功【例证【例证4 4】如图所示，半径为如图所示，半径为R R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为f f，求小球在，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。【解析】【解析】将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为长度为ss，它们可以近似看成直线，且与摩擦力共线反向，它们可以近似看成直线，且与摩擦力共线反向，如图所示，元功如图所示，元功W=fsW=fs，而，而在小球运动的一周内小球克服在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各摩擦力所做的功等于各个元功的和，个元功的和，即即答案答案: :2Rf2RfWWfs2 Rf 。五、能量转化法五、能量转化法方法方法介绍介绍功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功功解题解题关键关键采用本法解题的关键是根据题设情景，明确有采用本法解题的关键是根据题设情景，明确有多少种能量在转化或转移，确定能量之间转化多少种能量在转化或转移，确定能量之间转化的关系，灵活应用能量转化与守恒的关系求解的关系，灵活应用能量转化与守恒的关系求解 【例证【例证5 5】把一个质量为把一个质量为m m的均质长方体无滑动地推倒，至少需的均质长方体无滑动地推倒，至少需要做多少功？已知长方体的高要做多少功？已知长方体的高 底边底边 如图所示。如图所示。ADa,ABb ，【解析】【解析】要把这个长方体推倒，可以看成绕过要把这个长方体推倒，可以看成绕过B B点垂直于纸面点垂直于纸面的轴的转动，需使对角线的轴的转动，需使对角线BDBD处于竖直位置，如图所示，这一过处于竖直位置，如图所示，这一过程中重心升高了程中重心升高了长方体的重力势能增加长方体的重力势能增加据能量转化与守恒定律可知，据能量转化与守恒定律可知，外力至少要做功外力至少要做功答案答案: :22a1ahOBab222。22p1Emghmgaba2，22p1WEmgaba2外。221mgaba2【热点集训】【热点集训】1.1.如图所示，质量如图所示，质量m=2 kgm=2 kg的物体，从光滑斜面的顶端的物体，从光滑斜面的顶端A A点以点以v v0 0=5 m/s=5 m/s的初速度滑下，在的初速度滑下，在D D点与弹簧接触并将弹簧压缩到点与弹簧接触并将弹簧压缩到B B点点时的速度为零，已知从时的速度为零，已知从A A到到B B的竖直高度的竖直高度h=5 mh=5 m，求弹簧的弹力，求弹簧的弹力对物体所做的功对物体所做的功(g(g取取10 m/s10 m/s2 2) )。【解析】【解析】由于斜面光滑由于斜面光滑, ,故机械能守恒，但弹簧的弹力是变故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取数值与弹性势能的增加量相等。取B B所在水平面为零参考面，所在水平面为零参考面，弹簧原长处弹簧原长处D D点为弹性势能的零参考点，由机械能守恒定律得点为弹性势能的零参考点，由机械能守恒定律得: :解得解得: :所以弹簧的弹力对物体所做的功所以弹簧的弹力对物体所做的功W=-WW=-W弹簧弹簧=-125 J=-125 J。答案答案: :-125 J-125 J201W0mghmv2弹簧201Wmghmv125 J2弹簧。2.2.有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为R R，由左右两部分，由左右两部分组成。如图所示，右半部分组成。如图所示，右半部分AEBAEB是光滑的，左半部分是光滑的，左半部分BFABFA是粗糙是粗糙的。现在最低点的。现在最低点A A给一质量为给一质量为m m的小的小球一个水平向右的初速度球一个水平向右的初速度v v0 0，使小，使小球沿轨道恰好能过最高点球沿轨道恰好能过最高点B B，且又，且又能沿能沿BFABFA回到回到A A点，回到点，回到A A点时对轨点时对轨道的压力为道的压力为4mg4mg。不计空气阻力，。不计空气阻力，重力加速度为重力加速度为g g。求：。求： （1 1）小球的初速度）小球的初速度v v0 0大小；大小；（2 2）小球沿）小球沿BFABFA回到回到A A点时的速度大小；点时的速度大小；（3 3）小球由）小球由B B经经F F回到回到A A的过程中克服摩擦力所做的功。的过程中克服摩擦力所做的功。【解析】【解析】（1 1）对小球由）对小球由AEBAEB恰好通过恰好通过B B点，根据牛顿第二定点，根据牛顿第二定律：律：根据动能定理：根据动能定理：解得：解得：2BBmvmg,vgRR22B011mvmvmg2R22 0v5gR（2 2）由于回到）由于回到A A点时对轨道压力为点时对轨道压力为4mg4mg根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：（3 3）小球由）小球由B B经经F F回到回到A A的过程中，根据动能定理：的过程中，根据动能定理： 解得：解得：W Wf f=mgR=mgR答案：答案：2AAmv4mgmgv3gRR，2fA112mgRWmvmgR,22 15gR 23gR 3 mgR
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