用不定方程解应用题Word版

用不定方程解应用题知识要点在应用题中出现了两个(甚至更多)未知量，而数量关系却少于未知量的个数，我们列出的就是不定方程。不定方程一般是指未知数的个数通常多于方程个数的方程。这样的方程的解通常不止一个。列方程解应用题时,出现未知数的个数多于所列方程的个数,这样的方程叫做不定方程.不定方程往往有无数解,因而这种方程解得个数由题目中关于未知数的限制条件来决定,因在解题过程中要特别注重对所设未知数的限制条件(有时是隐蔽的)的分析.解不定方程是可以用以下原则来缩小范围。原则一：系数大的开始讨论原则二：奇偶性讨论原则三：倍数原理原则四：尾数原理（运用条件：出现5的倍数）例1 求不定方程5x+3y=22的解，这里x,y为自然数。解析 由5x+3y=22可知x4，这样可以依次试出方程的解：当x=l时，3y=17，y=与y为自然数矛盾。当x=2时，3y=l2，y=4。 当x=3时，3y=7，y=，与y为自然数矛盾。 当x=4时, 3y=2，y=，与y为自然数矛盾。 先确定一个未知数的取值范围，再依次试出这些未知数的值。练一练1 求不定方程5x+9y=104的整数解。答案：X=19,Y=1; X=10,Y=6; X=1,Y=11 例2 一个工人将99颗弹子装人两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，这两种盒于各有多少个? 解析 设大盒子有x个，小盒子有y个，x与y为自然数，x+y10，所以列不定方程如下： 12x+5y=99 5y=99-12x推荐精选 因为99-12x0，所以x8，又99-12x是5的倍数，个位数字只能为0或5，那么12x的个位数字只能为4,x可取2或7。 当x=2时，y=15； 当x=7时，y=3，但7+3=10，不符合题意。 大盒子有2个、小盒子有15个。 本题关键是先列出相应的不定方程，再判断x的范围。练一练2 装水瓶的盒子有大小两种，打得能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。问需大，小盒子各多少个？答案：大盒子3个，小盒子5个。例3 甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共多少份?解析 设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下： 7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x0，x8，又因为7x一定能被3整除，所以： 当x=3时，y=13，此时3+13=16； 当x=6时，y=6，此时6+6=12。 所以小明用60元买两种商品16份或12份。 本题关键是确定7x的取值范围。练一练3 用5米和3米的管道铺设一段42米长的下水道，最少需要管道多少根？ 答案：5x+3y=42 解得x=6,y=4例4 某种考试已举行24次，共出了426道题，每次出的题目有25题、或者16题、或者20题，那么其中考25题的有多少次。 解析 设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下： (25-16)x+(20-16)y=426-1624 9x+4y=4242-9x0，所以x4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。 当x=0 时，y=10当x=2时， y=6当x=4时, y=可以考25题的共有2次。判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。 例5 甲一分钟能洗3个盘子或9个碗，乙一分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙合做，20分钟洗了134个盘子和碗。有几个盘子几个碗? 解析 设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分钟洗碗。 3a+9(20-a)+2b+7(20-b)=134推荐精选 6a+5b=186。 由上式知，b为偶数，所以a=l，6，ll或16。当a=1，6，ll时，b20不合题意。所以a=16，b=18。 共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。 本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。 例6 某地电费不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，每度080元，张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，张家与李家各交电费多少元? 解析 设张家用电x度，李家用电y度，则x大于10，y小于10，且x、y均为自然数，根据题意，列方程：两边同除以5得 y取l，2，9，经试验知，只有y=8时，x有整数解x=13。 100.45+30.8=6.9(元) 80.45=3.6(元)所以张家交电费6.9元，李家交电费3.6元。 例7 将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)。问剩余部分的铝管至少是多少厘米? 解析 设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y=374 是否有解。由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解。 若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372即 3x+2Y=31 当 x=1时，y=14。因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米。例8 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。问小鸡至多被套中多少次?分析 与上题最大的不同是算出结果后，要选择最适合的一个，所以应在所有答案中选取小鸡套中次数最多的那一次。解 设套中小鸡、小猴、小狗分别为x，y,(10-x-y)次，则根据题意列方程： 9x+5y+2(10-x-y)=61化简后得： 7x+3y=41。因为x,y都是整数，所以y越小，x越大。将y=1代入得7x=38无整数解，如果y=2，7x=35，解得x=5，满足题目要求。故知至多套中小鸡5次。【能力训练】A级1求下列方程的自然数解。 （1）3x+4y=23 (2) 16-5A=3B答案：(1) X=1,Y=5 或X=5,Y=2 (2) A=2, B=22小明要买一枝4角9分钱的卷笔刀,她手上有二分和五分的硬币各10枚,请问她可以怎样付钱?推荐精选解析:设小明付了X枚二分和Y枚五分,那么2X+5Y=49,这里X,Y都不大于10的整数.根据方程两边的奇偶性可知Y为奇数,由于X至多为10,所以5Y不小于49-20=29,因而Y至少为6,所以Y只能取7或9,经实验有两组解.X=7,Y=7;X=2,Y=9.超级教程P141例1.3一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒装12个,每个小盒装5个,恰好装完.如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?分析与解:设大盒子数有X个,小盒子数有Y个,那么12X+5Y=99.X8,Y是奇数,且5Y的个位数字因为5,则12X的个位数字为4, 满足条件的有X=2,Y=15;X=7,Y=3. 超级教程P-142例24一个同学把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起来的和为170,你知道他出生于何月何日吗?解析:设这位同学生于X月Y日,于是31X+12Y=170.X因为偶数,又31X不超过170,所以X只能为2或4;但170不是4的倍数,说明X=2,Y=9. 超级教程P142例3.5一个学生发现自己今年(1991年)的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字和,请问这个学生今年几岁?分析与解:设他出生于19XY年,那么1991-19XY=1+9+X+Y, 91-(10X+Y)=10+X+Y; 11X+2Y=81.由奇偶性知,X为奇数,11X不大于81,又不小于81-2*9=63,所以6X7,X=7,Y=2.这个学生今年的年龄为1+9+7+2=19岁. 超级教程P143例5.6六(1)班举行一次数学测验,采用5级记分制(5分最高,依次类推),男生的平均分为4分,女生的平均分为3.25分,而全班的平均分为3.6分,如果该班的人数多于30人,小于50人.问该班有多少男生和多少女生参加了测验?分析与解:设有X个男生和Y个女生.那么 4X+3.25=3.6(X+Y)8X=7YX=7/8Y,Y为8的倍数,Y=24,X=21.培优竞赛P-108例3.7刘宇泉在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职.甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他薪金350元,年终,刘宇泉从两家公司共获薪金7620元,问他在甲公司打工多少个月?在乙公司兼职多少个月?分析与解:设在甲公司X个月,在乙公司Y个月,则470X+350Y=7620 X=11,Y=7. 培优竞赛P-1118参加围棋比赛的七段和九段选手有若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。则七段，九段选手各有多少名？答案：7X+9Y=100, X=13,Y=1;X=4,Y=8B级9. 将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装1 6个。现共装了24盒，求用了多少个大盒? 解 设用X个大盒，y个中盒，那么用小盒24-x-y个。列方程为 25x+20y+16(24-x-y)=426。 化简整理，得 9x+4y=42 解得 X=2,Y=6 答: 用了2个大盒。10小明用5天时间看完了200页的故事书。已知他第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一、第二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和。那么，小明第五天至少看了多少页？分析与解：设小明第一天看了A页，第二天看了B页，则前五天看的页数依次为A，B，A+B，A+2B，2A+3B，得到5A+7B=200，解得B=20，A=12；B=25，A=5。得第五天至少看了84页。超级教程P-150题9。推荐精选11有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为: a,已知a、b、c都小于10,故得a、b、c依次为、.分析与解：由题意3a+2=6b+5=8c+7。解这个不定方程得a=7，b=3，c=2超级测试P36题612全家每人各喝了一满碗咖啡牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么全家有几口人?分析与解：设全家共喝了X碗牛奶和Y碗咖啡，得1/4X+1/6Y=13X+2Y=12 解得X=2，Y=3，故共喝牛奶和咖啡2+3=5碗，因此有5人。超级教程P-36题7。13某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们共种了216棵树,那么其中女职工有多少人?分析与解：设有女职工X人，男职工Y人，有孩子X+Y/3人，这个条件说明X+Y是3的倍数，10X+13Y+6=216，即4X+5Y=72，4（X+Y）+Y=72，得Y能被12整除，Y=（72-4X）5=72/5=14.8，所以Y=12，X=3。超级教程P-36题8。14. 一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一只大猴子一小时可采摘15公斤，一只小猴子一小时可采摘11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的和小猴子的必须停止采摘,去伺候猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水蜜桃,那么在这个猴群中,大猴子共有多少只?分析与解：以5只大猴子为一组，每一组大猴子共干了48+16=38小时，这一天可摘1538千克，同理小猴子这天摘了1138千克。设有大猴子X组，有小猴子Y组，可得 1538X+1538Y=3382。15X+11Y=89，X=3，Y=4；所以大猴子有35=15只。超级教程P150题10。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选