高中数学 第三章 §2 数学证明课件 北师大版选修21

第第三三章章2 2 理解教材新知理解教材新知把握热把握热点考向点考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三提示：一般性道理提示：一般性道理提示：特殊示例提示：特殊示例提示：由一般性道理对特殊示例作出判断提示：由一般性道理对特殊示例作出判断 1演绎推理的一般模式演绎推理的一般模式 三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括 大前提：大前提： ； 小前提：小前提： ； 结论：结论： 2合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系 合情推理是认识世界、发现问题的基础；演绎推理合情推理是认识世界、发现问题的基础；演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础是证明命题、建立理论体系的基础一般性道理一般性道理研究对象的特殊情况研究对象的特殊情况由大前提和小前提作出的判断由大前提和小前提作出的判断 1数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依据据大前提、小前提大前提、小前提 2三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题题结论结论 3三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确否正确，推理形式是否正确 例例1将下列演绎推理写成三段论的形式将下列演绎推理写成三段论的形式 (1)等腰三角形的两底角相等，等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角是等腰三角形的两底角，则形的两底角，则AB. (2)以以an2n3为通项公式的数列为通项公式的数列an为等差数列为等差数列 思路点拨思路点拨首先分析出每个题的大前提、小前提及首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来结论，再利用三段论形式写出来 精解详析精解详析(1)等腰三角形两底角相等，等腰三角形两底角相等，大前提大前提 A，B是等腰三角形的两底角，是等腰三角形的两底角， 小前提小前提 AB. 结论结论 (2)数列数列an中，如果当中，如果当n2时，时，anan1为常数，则为常数，则an为为等差数列，等差数列， 大前提大前提 通项公式通项公式an2n3时，若时，若n2， 则则anan12n32(n1)32(常数常数)， 小前提小前提 以以an2n3为通项公式的数列为等差数列为通项公式的数列为等差数列结论结论 一点通一点通三段论由大前提、小前提和结论组成；三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般性道理，小前提提供特殊情况，两者结大前提提供一般性道理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的大、小前提在书写过程中是可以省略的1推理：推理：“矩形是平行四边形；正方形是矩形；矩形是平行四边形；正方形是矩形；正方形是平行四边形正方形是平行四边形”中的小前提是中的小前提是 ()A BC D和和解析：解析：是大前提，是小前提，是结论是大前提，是小前提，是结论答案：答案：B2“因为四边形因为四边形ABCD是矩形，所以四边形是矩形，所以四边形ABCD的对角的对角线相等线相等”此推理的大前提为此推理的大前提为 ()A正方形的对角线相等正方形的对角线相等 B矩形的对角线相等矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等等腰梯形的对角线相等 D矩形的对边平行且相等矩形的对边平行且相等答案：答案：B3用三段论的形式写出下列演绎推理用三段论的形式写出下列演绎推理(1)能被能被2整除的数都是偶数，整除的数都是偶数，34能被能被2整除，所以整除，所以34是是偶数偶数(2)奇函数奇函数f(x)若在若在x0处有定义，则必有处有定义，则必有f(0)0.现有现有f(x)x，xR是奇函数，则有是奇函数，则有f(0)0.解：解：(1)能被能被2整除的数都是偶数，整除的数都是偶数， (大前提大前提)34能被能被2整除，整除， (小前提小前提)所以所以34是偶数是偶数 (结论结论)(2)奇函数奇函数f(x)若在若在x0处有定义，则必有处有定义，则必有f(0)0，(大前提大前提)f(x)x，xR是奇函数，且在是奇函数，且在x0处有定义，处有定义， (小前提小前提)则有则有f(0)0. (结论结论) 例例2如图，如图，D，E，F分别是分别是BC，CA，AB上的点，上的点，BFDA，DEBA，求证：求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理，写出三段论形式的演绎推理 思路点拨思路点拨证明证明EDAF，可证明四边形，可证明四边形AEDF为平为平行四边形行四边形精解详析精解详析因为同位角相等，两条直线平行，因为同位角相等，两条直线平行，大前提大前提BFD与与A是同位角，且是同位角，且BFDA，小前提小前提所以所以FDAE. 结论结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提大前提DEBA，且，且FDAE，小前提小前提所以四边形所以四边形AFDE为平行四边形为平行四边形结论结论因为平行四边形的对边相等，因为平行四边形的对边相等，大前提大前提ED和和AF为平行四边形为平行四边形AFDE的对边，的对边，小前提小前提所以所以EDAF. 结论结论 一点通一点通 (1)三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合集合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P，S是是M的子集，那么的子集，那么S中所中所有元素都具有性质有元素都具有性质P. (2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论殊情况，从而得到结论4已知已知ABC中，中，A30，B45，求证：，求证：ab.证明：证明：A30，B45，AB.ab.此问题的证明过程中蕴含的此问题的证明过程中蕴含的“三段论三段论”中的大前提是中的大前提是_解析：解析：大前提是三角形中大前提是三角形中“大边对大角，小边对小角大边对大角，小边对小角”的的一个结论一个结论答案：答案：在在ABC中，若中，若AB，则，则ab.5已知：在梯形已知：在梯形ABCD中，中，ABDCDA， AC和和BD是梯形的对角线求证：是梯形的对角线求证：AC平分平分 BCD.证明：证明：等腰三角形两底角相等，等腰三角形两底角相等，大前提大前提ADC是等腰三角形，是等腰三角形，1和和2是两个底角，是两个底角，小前小前提提12. 结论结论两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提大前提1和和3是平行线是平行线AD，BC被被AC截得的内错角，截得的内错角，小前小前提提13. 结论结论等于同一个角的两个角相等，等于同一个角的两个角相等， 大前提大前提21，31，小前提小前提23，即，即AC平分平分BCD. 结结论论 一点通一点通 (1)在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重新指出因此，就会出现隐性三段论新指出因此，就会出现隐性三段论 (2)本题在推理过程中，好似未用到演绎推理的三段本题在推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然只是大前提论，其实不然只是大前提“等比数列的判定方法等比数列的判定方法”在证明在证明过程中省略，并不影响结论的正确性过程中省略，并不影响结论的正确性6正弦函数是奇函数，正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理是奇函数，以上推理 ()A结论正确结论正确 B大前提不正确大前提不正确C小前提不正确小前提不正确 D全不正确全不正确解析：解析：小前提错误，因为小前提错误，因为f(x)sin(x21)不是正弦函数不是正弦函数答案：答案：C 1演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理要靠合情推理 2合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系是：二者的主要区别与联系是：推理推理方式方式意义意义主要形式主要形式结论的结论的真假真假合情合情推理推理认识世界、发现问题认识世界、发现问题的基础的基础归纳推理、归纳推理、类比推理类比推理不确定不确定演绎演绎推理推理证明命题、建立理论证明命题、建立理论体系的基础体系的基础三段论三段论真真