【备战】高中数学 第68讲 数学证明配套试题（含解析）理 新人教B版

1 第第 6868 讲讲数学证明数学证明 (时间：45 分钟分值：100 分)基础热身1下列符合三段论推理形式的为()A如果pq，p真，则q真B如果bc，ab，则acC如果ab，bc，则acD如果ab，c0，则acbc22013郑州检测 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等， 同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等ABCD32013太原检测 已知p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件42013石家庄模拟 已知ai，biR R(i1，2，3，n)，a21a22a2n1，b21b22b2n1，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A1B2Cn2D2n能力提升52013泰州模拟 设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab，ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中正确判断的个数为()A1 个B2 个C3 个D4 个6已知c1，ac1c，bcc1，则正确的结论是()AabBabCabDa，b大小关系不定7已知函数f(x)12x，a，bR R，Afab2，Bf(ab)，Cf2abab，则A，B，2C的大小关系为()AABCBABBC8用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数9观察数列 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，则数26将出现在此数列的第()A21 项B22 项C23 项D24 项102013河南示范性高中检测 如图 K681，对大于或等于 2 的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：图 K681仿此，52的“分裂”中最大的数是_，53的“分裂”中最小的数是_11 2013哈尔滨模拟 已知等比数列an中，a2a31， 则使不等式a11a1a21a2a31a3an1an0 成立的最大自然数n是_12如图 K682 所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN N)个点，每个图形总的点数记为an，则9a2a39a3a49a4a59a2 010a2 011_图 K682132013开封模拟 如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f（x1）f（x2）f（xn）nfx1x2xnn.若ysinx在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_14(10 分)已知a0，b0，求证：b2aa2bab.315(13 分)2013湖北卷 (1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且 0r1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数若b1b21，则ab11ab22a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.难点突破16(12 分)2013湖南卷 已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1，2，.(1)若a11，a25，且对任意nN N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明： 数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是： 对任意nN N*， 三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列45课时作业(六十八)【基础热身】1B解析 由三段论的推理规则可以得到 B 为三段论2C解析 由类比原理和思想，都是合理、恰当的3A解析 反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若pq，则綈q綈p.4 A解析 此结论为“a，b，c，dR R，a2b21，c2d21， 则acbda2c22b2d221”的推广，类比可得a1b1a2b2anbna21b212a22b222a2nb2n21.【能力提升】5B解析 正确；中，ab，bc，ac可以同时成立，如a1，b2，c3，故正确的判断有 2 个6B解析 假设ab，即c1ccc1，c1c12c，平方得 2c2c214c，2c2c21，cc21，即c2c21，01，这不可能，假设不成立，故ab.7A解析ab2ab2abab，又f(x)12x在 R R 上是单调减函数，fab2f(ab)f2abab.8B解析 至少有一个的否定是一个也没有，即假设a，b，c都不是偶数9C解析 数列中各项的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，的规律呈现的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，的规律呈现的，显然前五组不可能出现26，我们不妨再写几个对应的数组(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以发现第六组也不可，故只能是第七组的第二个故这个数是第(1262)项，即第 23 项10921解析 由已知中“分裂”可得，故“52”的“分裂”中最大的数是 9，53的“分裂”中最小的数是 21.115解析 a2a31，0qa3a21，a11q21，a11a1a21a2a31a3an1an(a1a2an)1a11a21ana1（1qn）1q1a111qn11qa1（1qn）1qq（1qn）a1（1q）qn0，a1（1qn）1qq（1qn）a1（1q）qn.6因为 0q1，所以，化简得a211qn1，即q4qn1，4n1，n5，所以n的最大值为 5.12.2 0092 010解析an3(n1)，anan19n(n1)，裂项求和即可13.3 32解析 sinAsinBsinC3sinABC33sin33 32.14证明：b2aa2b(ab)b2aaa2bb（ba） （ba）a（ab） （ab）b(ab)(ab)1b1a1ab(ab)2(ab)，a0，b0，b2aa2bab.15解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当 0 x1 时，f(x)0，所以f(x)在(0，1)内是减函数；当x1 时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1 处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一个为 0，则ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1，a2均不为 0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令xa1a2，rb1，可得a1a2b1b1a1a2(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为：若a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b2bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：当n1 时，b11，有a1a1，成立假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1 时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时 0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(ab11bk11ab21bk12abk1bk1k)1bk1abk1k1.因b11bk1b21bk1bk1bk11，由归纳假设可得ab11bk11ab21bk12abk1bk1ka1b11bk1a2b21bk1 akbk1bk1a1b1a2b2akbk1bk1，7从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbk1bk11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得a1b1a2b2akbk1bk11bk1abk1k1a1b1a2b2akbk1bk1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1 时，成立由可知，对一切正整数n，所推广的命题成立说明： (3)中如果推广形式中指出式对n2 成立， 则后续证明中不需讨论n1 的情况【难点突破】16解：(1)对任意nN N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故数列an是首项为 1，公差为 4 的等差数列于是an1(n1)44n3.(2)必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意nN N*，有an1anq.由an0 知，A(n)，B(n)，C(n)均大于 0，于是B（n）A（n）a2a3an1a1a2anq（a1a2an）a1a2anq，C（n）B（n）a3a4an2a2a3an1q（a2a3an1）a2a3an1q，即B（n）A（n）C（n）B（n）q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列充分性：若对任意nN N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1 有B(1)qA(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以an2an1错误错误!q.故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列