第二章 第一节函数的概念与性质

第二章 第一节 函数的概念与性质第二章 函数与基本初等函数 I第一第一节节 函数的概念与性函数的概念与性质质第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃2009 年高考年高考题题1.（2009 全国卷理）函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( ) A.( )f x是偶函数 B.( )f x是奇函数 C.( )(2)f xf x D.(3)f x是奇函数答案 D解析 (1)f x与(1)f x都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x ，函数( )f x关于点(1,0)，及点( 1,0)对称，函数( )f x是周期21 ( 1)4T 的周期函数.(14)(14)fxf x ，(3)(3)fxf x ，即(3)f x是奇函数。故选 D2.(2009 浙江理）对于正实数，记M为满足下述条件的函数( )f x构成的集合：12,x xR且21xx，有212121()()()()xxf xf xxx下列结论中正确的是 ( )A若1( )f xM，2( )g xM，则12( )( )f xg xM B若1( )f xM，2( )g xM，且( )0g x ，则12( )( )f xMg xC若1( )f xM，2( )g xM，则12( )( )f xg xM D若1( )f xM，2( )g xM，且12，则12( )( )f xg xM答案 C 解析 对于212121()()()()xxf xf xxx，即有2121()()f xf xxx，令2121()()f xf xkxx，有k，不妨设1( )f xM，2( )g xM，即有11,fk22gk，因此有1212fgkk，因此有12( )( )f xg xM3.（2009 浙江文）若函数2( )()af xxaxR，则下列结论正确的是（ ）A.a R，( )f x在(0,)上是增函数 B.a R，( )f x在(0,)上是减函数C.a R，( )f x是偶函数D.a R，( )f x是奇函数答案 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问解析 对于0a 时有 2f xx是一个偶函数4. (2009 山东卷理)函数xxxxeeyee的图像大致为( ).答案 A解析 函数有意义,需使0 xxee,其定义域为0|xx,排除 C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee ,所以当0 x 时函数为减函数,故选 A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.5.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1(0),1 (log2xxfxfxx，则 f（2009）的值为( ) 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案 C解析 由已知得2( 1)log 21f ,(0)0f,(1)(0)( 1)1fff ,(2)(1)(0)1fff ,(3)(2)(1)1 ( 1)0fff ,(4)(3)(2)0( 1)1fff ,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.6.(2009 山东卷文)函数xxxxeeyee的图像大致为( ). 答案 A.解析 函数有意义,需使0 xxee,其定义域为0|xx,排除 C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee ,所以当0 x 时函数为减函数,故选 A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1(0),4(log2xxfxfxx，则 f（3）的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2答案 B解析 由已知得2( 1)log 5f ,2(0)log 42f,2(1)(0)( 1)2log 5fff,2(2)(1)(0)log 5fff ,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2fff ,故选 B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 8.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,则( ). A.( 25)(11)(80)fff B. (80)(11)( 25)fffC. (11)(80)( 25)fff D. ( 25)(80)(11)fff答案 D解析 因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是奇函数， (0)0f,得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff,而由(4)( )f xf x 得) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选 D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 9.（2009 全国卷文）函数 y=x(x0)的反函数是（ ）（A）2yx（x0） （B）2yx （x0）（B）2yx（x0） （D）2yx （x0） 答案 B解析 本题考查反函数概念及求法，由原函数 x0 可知 AC 错,原函数 y0 可知 D 错.10.（2009 全国卷文）函数 y=22log2xyx的图像（ ）（A） 关于原点对称 （B）关于主线yx 对称（C） 关于y轴对称 （D）关于直线yx对称答案 A解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 A。11.（2009 全国卷文）设2lg ,(lg ) ,lg,ae bece则（ ）（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba答案 B解析 本题考查对数函数的增减性，由 1lge0,知 ab,又 c=21lge, 作商比较知 cb,选B。12.（2009 广东卷 理）若函数( )yf x是函数(0,1)xyaaa且的反函数，其图像经过点(, )a a，则( )f x （ ）A. 2log x B. 12log x C. 12x D. 2x答案 B解析 xxfalog)(，代入(, )a a，解得21a，所以( )f x 12log x，选 B.13.（2009 广东卷 理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙甲和（如图 2 所示） 那么对于图中给定的01tt和，下列判断中一定正确的是（ ）A. 在1t时刻，甲车在乙车前面 B. 1t时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t时刻，两车的位置相同D. 0t时刻后，乙车在甲车前面答案 A解析 由图像可知，曲线甲v比乙v在 00t、01t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选 A. 14.（2009 安徽卷理）设ab,函数2() ()yxaxb的图像可能是（ ） 答案 C解析 /()(32)yxaxab，由/0y 得2,3abxa x，当xa时，y取极大值 0，当23abx时y取极小值且极小值为负。故选 C。或当xb时0y ，当xb时，0y 选 C15.（2009 安徽卷文）设，函数的图像可能是（ ）答案 C解析 可得2,() ()0 xa xbyxaxb为的两个零解.当xa时,则( )0 xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 C。16.（2009 江西卷文）函数234xxyx的定义域为（ ）A 4,1B 4, 0)C(0,1D 4, 0)(0,1答案 D解析 由20340 xxx得40 x 或01x,故选 D. 17.（2009 江西卷文）已知函数( )f x是(,) 上的偶函数，若对于0 x ，都有(2( )f xf x），且当0,2)x时，2( )log (1f xx ），则( 2008)(2009)ff的值为（ ）A2 B1 C1 D2答案 C解析 1222( 2008)(2009)(0)(1)loglog1ffff,故选 C.18.（2009 江西卷文）如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度( )VV t的图象大致为 ( )A A B B C C D D答案 B解析 由图可知，当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)Q x的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故A错误；质点( , )P x y在终点的速度是由大到小接近 0，故D错误；质点( , )P x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因此C是错误的，故选B.19.（2009 江西卷理）函数2ln(1)34xyxx的定义域为( )A( 4,1)B( 4,1)C( 1,1)D( 1,1答案 C解析 由21011141340 xxxxxx .故选 C20.（2009 江西卷理）设函数2( )(0)f xaxbxc a的定义域为D，若所有点yxO( , )P x y( ,0)Q xO( )V ttO( )V ttO( )V ttO( )V ttyxO( , )P x y( ,0)Q x( ,( )( ,)s f ts tD构成一个正方形区域，则a的值为( )A2 B4 C8 D不能确定 答案 B解析 12max|( )xxfx，222444bacacbaa，| 2aa，4a ，选 B21.（2009 天津卷文）设函数0, 60, 64)(2xxxxxxf则不等式) 1 ()(fxf的解集是（ ）A.), 3() 1 , 3( B.), 2() 1 , 3( C.), 3() 1 , 1( D.)3 , 1 ()3,(答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当0 x，2)(xf3) 1 (f令, 3)(xf解得3, 1xx。当0 x，3, 36xx故3) 1 ()( fxf ，解得313xx或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。22.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x2,x 下面的不等式在R 内恒成立的是( )A.0)(xf B.0)(xf C.xxf)( D.xxf)(答案 A 解析 由已知，首先令0 x ，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。23.(2009 湖北卷理)设 a 为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa 且的反函数是( )A、11(,)1axyxRxaxa 且 B、11(,)1axyxRxaxa 且C、1(,1)(1)xyxRxax且 D、1(,1)(1)xyxRxax 且答案 D解析 由原函数是11(,)1axyxRxaxa 且，从中解得1(,1)(1)yxyRyay 且即原函数的反函数是1(,1)(1)yxyRyay 且，故选择 D24.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R t。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 答案 D解析 由题意可知球的体积为34( )( )3V tR t，则2( )4( )( )cV tR t R t，由此可4( )( )( )cR tR t R t，而球的表面积为2( )4( )S tR t，所以2( )4( )8( )( )vS tR tR t R t表，即228( )( )2 4( )( )( )( )( )( )ccvR t R tR t R tR tR t R tR t表，故选25.（2009 四川卷文）已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 )()1 () 1(xfxxxf，则)25(f的值是( ) A. 0 B. 21 C. 1 D. 25答案 A解析 若x0，则有)(1) 1(xfxxxf，取21x，则有： )21()21()21(21211) 121()21(fffff（)(xf是偶函数，则)21()21(ff ）由此得0)21(f于是0)21(5)21(2121135) 121(35)23(35)23(23231) 123()25(fffffff26.（2009 福建卷理）函数( )(0)f xaxbxc a的图象关于直线2bxa 对称。据此( )24(2)yf xxx可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程2( )( )0m f xnf xp的解集都不可能是( )A. 1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64答案 D解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程2 ( )( )0m f xnf xP中, ,m n p分别赋值求出( )f x代入( )0f x 求出检验即得.27.（2009 辽宁卷文）已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1( )3f的 x 取值范围是( )（A） （13，23） B.13，23） C.（12，23） D.12，23）答案 A解析 由于 f(x)是偶函数,故 f(x)f(|x|) 得 f(|2x1|)f(13),再根据 f(x)的单调性 得|2x1|13 解得13x2328.（2009 宁夏海南卷理）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值( ) 设 f（x）=min, x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7答案 C29.（2009 陕西卷文）函数( )24(4)f xxx的反函数为 ( )（A）121( )4(0)2fxxx B.121( )4(2)2fxxx （C）121( )2(0)2fxxx (D)学科121( )2(2)2fxxx答案 D 解析 令原式则故121( )2(2)2fxxx 故选 D.30.（2009 陕西卷文）定义在 R 上的偶函数( )f x满足：对任意的1212,0,)()x xxx，有2121()()0f xf xxx.则( )222424,222yyyxx即(A)(3)( 2)(1)fff B.(1)( 2)(3)fff C. ( 2)(1)(3)fff D.(3)(1)( 2)fff 答案 A 解析 由2121()( ()()0 xxf xf x等价，于2121()()0f xf xxx则( )f x在1212,(,0()x xxx 上单调递增, 又( )f x是偶函数,故( )f x在1212,(0,()x xxx单调递减.且满足*nN时, ( 2)(2)ff, 0321 ,得(3)( 2)(1)fff,故选 A.31.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数( )f x满足：对任意的1212,(,0()x xxx ，有2121()( ()()0 xxf xf x.则当*nN时,有 ( )(A)()(1)(1)fnf nf n B.(1)()(1)f nfnf n C. C.(1)()(1)f nfnf n D.(1)(1)()f nf nfn 答案 C32.（2009 四川卷文）已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1 () 1(xfxxxf，则)25(f的值是 ( ) A. 0 B. 21 C. 1 D. 25答案 A解析 若x0，则有)(1) 1(xfxxxf，取21x，则有： )21()21()21(21211) 121()21(fffff（)(xf是偶函数，则121221212121,(,0()()( ()()0()()( )(,0( )( )(0(1)( )(1)(1)()(1)x xxxxxf xf xxxf xf xf xf xf xf nf nf nf nfnf n 解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数而n+1nn-10,)21()21(ff ）由此得0)21(f于是，0)21(5)21(2121135) 121(35)23(35)23(23231) 123()25(fffffff33.（2009 湖北卷文）函数)21,(2121xRxxxy且的反函数是( )A.)21,(2121xRxxxy且 B.)21,(2121xRxxxy且C.) 1,()1 (21xRxxxy且 D.) 1,()1 (21xRxxxy且答案 D解析 可反解得111( )2(1)2(1)yxxfxyx 故 故且可得原函数中 yR、y-1 所以11( )2(1)xfxx 且 xR、x-1 选 D34.(2009 湖南卷理)如图 1，当参数2时，连续函数(0)1xyxx 的图像分别对应曲线1C和2C , 则 ( )A 10 B 10C 120 D 210答案 B解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函 数在(0,)是连续的，可知参数120,0，即排除 C，D 项，又取1x ，知对应函数值121211,11yy，由图可知12,yy所以12，即选 B 项。35.(2009 湖南卷理)设函数( )yf x在（，+）内有定义。对于给定的正数 K，定义函数 ( )( ),( )( ),( )kf xf xKfxK f xK取函数( )f x=12xe。若对任意的(,)x ，恒有( )kfx=( )f x，则 ( ) AK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2CK 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 答案 D 解析 由( )10,xfxe 知0 x ，所以(,0)x 时，( )0fx ，当(0,)x时，( )0fx ，所以max( )(0)1,f xf即( )f x的值域是(,1，而要使( )( )kfxf x在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得 D 符合，此时( )( )kfxf x。故选 D 项。36.（2009 天津卷理）已知函数 0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)( ),faf a则实数a的取值范围是 ( ) A (, 1)(2,) B ( 1,2) C ( 2,1) D (, 2)(1,) 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa 22，解得12 a，故选择C。37.（2009 四川卷理）已知函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1) ( )xf xx f x，则5( ( )2f f的值是 ( )A.0 B.12 C.1 D.52 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。 （同文 12）答案 A解析 令21 x，则0)21()21(21)21(21)21(21 ffff；令0 x，则0)0( f由(1)(1) ( )xf xx f x得)(1)1(xfxxxf ，所以0)0()25(0)21(212335)23(35)23(2325)25( fffffff，故选择 A。38.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数1yx 有相同定义域的是 ( ) A .( )lnf xx B.1( )f xx C. ( ) |f xx D.( )xf xe答案 A解析 解析 由1yx可得定义域是0. ( )lnxf xx的定义域0 x ；1( )f xx的定义域是x0；( ) |f xx的定义域是;( )xxR f xe定义域是xR。故选 A.39.（2009 福建卷文）定义在 R 上的偶函数 f x的部分图像如右图所示，则在2,0上，下列函数中与 f x的单调性不同的是 ( )A21yxB. | 1yxC. 321,01,0 xxyxxD,0 xxexoyex答案 C解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在2,0上单调递减，注意到要与 f x的单调性不同，故所求的函数在2,0上应单调递增。而函数21yx在,1上递减；函数1yx在,0时单调递减；函数0, 10, 123xxxxy在（0 ,上单调递减，理由如下 y=3x20(x0),故函数单调递增， 显然符合题意；而函数0,0,xexeyxx，有 y=-xe0(x0),故其在（0 ,上单调递减， 不符合题意，综上选 C。40.（2009 重庆卷文）把函数3( )3f xxx的图像1C向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像2C若对任意的0u ，曲线1C与2C至多只有一个交点，则v 的最小值为（ ）A2B4C6D8答案 B解析 根据题意曲线 C 的解析式为3()3(),yxuxuv则方程33()3()3xuxuvxx，即233(3)0ux uuv，即3134vuu 对任意0u 恒成立，于是3134vuu 的最大值，令31( )3 (0),4g uuu u 则0u 233( )3(2)(2)44g uuuu 由此知函数( )g u在（0，2）上为增函数，在(2,)上为减函数，所以当2u 时，函数( )g u取最大值，即为 4，于是4v 。41.（2009 重庆卷理）若1( )21xf xa是奇函数，则a 答案 12解析 解法 112(),()( )211 2xxxfxaa fxf x 21121()211 2211 21 22xxxxxxaaaa 故42（2009 上海卷文） 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_.答案 31x解析 由 yx3+1，得 x31y，将 y 改成 x，x 改成 y 可得答案。44（2009 北京文）已知函数3 ,1,( ),1,xxf xxx若( )2f x ，则x . 答案 3log 2 解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由31log 232xxx，122xxx 无解，故应填3log 2.45.（2009 北京理）若函数1,0( )1( ) ,03xxxf xx 则不等式1|( )|3f x 的解集为_.答案 3,1解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1）由01|( )|301133xf xxx . （2）由001|( )|01111133333xxxxf xx. 不等式1|( )|3f x 的解集为| 31xx ，应填3,1.46.（2009 江苏卷）已知512a，函数( )xf xa，若实数m、n满足( )( )f mf n，则m、n的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。 51(0,1)2a，函数( )xf xa在 R 上递减。由( )( )f mf n得：m0)在区间8 , 8上有四个不同的根1234,x x x x,则1234_.xxxx 答案 -8解析 因为定义在 R 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所以, 由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根1234,x x x x,不妨设1234xxxx由对称性知1212xx 344xx所以12341248xxxx -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14.（2009 四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,f VV aV，记a的象为( )f a。若映射:f VV满足：对所有abV、及任意实数, 都有()( )( )fabf af b，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，abV、，则()( )( )f abf af b 若e是平面M上的单位向量，对,( )aVf aae设，则f是平面M上的线性变换； 对,( )aVf aa 设，则f是平面M上的线性变换； 设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有()( )f kakf a。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令1，则)()()(bfafbaf故是真命题 同理，：令0,k，则)()(akfkaf故是真命题 ：aaf)(，则有bbf)( )()()()()()(bfafbababaf是线性变换，故是真命题 ：由eaaf)(，则有ebbf)( ebfafeebeaebabaf)()()()()()( e是单位向量，e0，故是假命题【备考提示备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。48.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）已知二次函数)(xgy 的导函数的图像与直线2yx平行,且)(xgy 在x=1 处取得最小值 m1(m0).设函数xxgxf)()(1)若曲线)(xfy 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为2,求 m 的值(2) )(Rkk如何取值时,函数kxxfy)(存在零点,并求出零点.解 （1）设 2g xaxbxc，则 2gxaxb； 又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a 又 g x在1x 取极小值， 12b ， 2b 11 21gabccm ， cm； 2g xmf xxxx， 设,ooP x y 则22222000002mPQxyxxx222020222 22mxmx 22 224m 22m ； （2）由 120myf xkxk xx， 得 2120k xxm * 当1k 时，方程 *有一解2mx ，函数 yf xkx有一零点2mx ； 当1k 时，方程 *有二解4410mk ，若0m ，11km ， 函数 yf xkx有两个零点24411112 11mkmkxkk ；若0m ， 11km ，函数 yf xkx有两个零点24411112 11mkmkxkk ； 当1k 时，方程 *有一解4410mk , 11km , 函数 yf xkx有一零点11xk 49.（2009 浙江理） （本题满分 14 分）已知函数322( )(1)52f xxkkxx，22( )1g xk xkx，其中kR （I）设函数( )( )( )p xf xg x若( )p x在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； （II）设函数( ),0,( )( ),0.g xxq xf xx 是否存在k，对任意给定的非零实数1x，存在惟一的非零实数2x（21xx） ，使得21()()q xq x成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解 （I）因32( )( )( )(1)(5) 1P xf xg xxkxk， 232(1)(5)pxxkxk，因( )p x在区间(0,3)上不单调，所以 0px在0,3上有实数解，且无重根，由 0px得2(21)(325),kxxx 2(325)391021214213xxkxxx ，令21,tx有1,7t，记9( ),h ttt 则 h t在1,3上单调递减，在3,7上单调递增，所以有 6,10h t ， 于是9216,1021xx，得5, 2k ，而当2k 时有 0px在0,3 上有两个相等的实根1x ，故舍去，所以5, 2k ； （II）当0 x 时有 2232(1)5qxfxxkkx；当0 x 时有 22qxgxk xk，因为当0k 时不合题意，因此0k ，下面讨论0k 的情形，记 A( ,)k，B=5,（）当10 x 时， qx在0,上单调递增，所以要使 21qxqx成立，只能20 x 且AB，因此有5k ， （）当10 x 时， qx在0,上单调递减，所以要使 21qxqx成立，只能20 x 且AB，因此5k ，综合（） （）5k ；当5k 时 A=B，则 110,xqxBA，即20,x使得 21qxqx成立，因为 qx在0,上单调递增，所以2x的值是唯一的；同理，10 x，即存在唯一的非零实数221()x xx，要使 21qxqx成立，所以5k 满足题意 7.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 设a为实数，函数2( )2()|f xxxaxa. (1)若(0)1f，求a的取值范围； (2)求( )f x的最小值； (3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x 的解集.解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分（1）若(0)1f，则20| 111aa aaa （2）当xa时，22( )32,f xxaxa22min( ),02,0( )2( ),0,033f a aaaf xaafaa 当xa时，22( )2,f xxaxa2min2(),02,0( )( ),02,0fa aaaf xf a aaa 综上22min2,0( )2,03aaf xaa（3）( ,)xa时，( )1h x 得223210 xaxa ，222412(1)128aaa 当6622aa 或时，0,( ,)xa ；当6622a时，0,得：223232()()033aaaaxxxa讨论得：当26(,)22a时，解集为( ,)a ;当62(,)22a 时，解集为223232( ,)33aaaaa;当22,22a 时，解集为232,)3aa.50.（2009 年上海卷理）已知函数( )yf x的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ，函数()yf xa与1()yfxa互为反函数，则称( )yf x满足“a和性质” ；若函数()yf ax与1()yfax互为反函数，则称( )yf x满足“a积性质” 。（1） 判断函数2( )1(0)g xxx是否满足“1 和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2 和性质”的一次函数；（3） 设函数( )(0)yf x x对任何0a ，满足“a积性质”。求( )yf x的表达式。解 （1）函数2( )1(0)g xxx的反函数是1( )1(1)gxxx1(1)(0)gxx x 而2(1)(1)1(1),g xxx 其反函数为1 1(1)yxx 故函数2( )1(0)g xxx不满足“1 和性质”（2）设函数( )()f xkxb xR满足“2 和性质” ，0.k 112( )(),(2)xbxbfxxRfxkk.6 分而(2)(2)(),f xk xb xR得反函数2xbkyk.8 分由“2 和性质”定义可知2xbk=2xbkk对xR恒成立1,kbR 即所求一次函数为( )()f xxb bR .10 分 （3）设0a ，00 x ，且点00(,)xy在()yf ax图像上，则00(,)yx在函数1()yfax图象上， 故00()f axy，可得000()()ayf xaf ax， 12 分100()fayx 令0axx，则0 xax。00()( )xf xf xx，即00()( )x f xf xx。 14 分综上所述，111nnbqb( )(0)kf xkx，此时()kf axax，其反函数就是kyax，而1()kfaxax，故()yf ax与1()yfax互为反函数 。 20052008 年高考年高考题题一、选择题1.（2008 年山东文科卷）设函数2211( )21xxf xxxx ， 则1(2)ff的值为（ ）A1516B2716C89D18答案 A2.（07 天津）在R上定义的函数 xf是偶函数，且 xfxf2，若 xf在区间 2 , 1是减函数，则函数 xf （ ）A.在区间1, 2 上是增函数，区间 4 , 3上是增函数B.在区间1, 2 上是增函数，区间 4 , 3上是减函数C.在区间1, 2 上是减函数，区间 4 , 3上是增函数D.在区间1, 2 上是减函数，区间 4 , 3上是减函数答案 B3. (07 福建)已知函数 xf为 R 上的减函数，则满足11fxf的实数x的取值范围是 （ ）A.1 , 1 B. 1 , 0 C. 1 , 00 , 1 D. , 11,答案 C4.(07 重庆)已知定义域为 R 的函数 xf在区间, 8上为减函数，且函数8xfy为偶函数，则（ ）A. 76ff B. 96ff C. 97ff D. 107ff答案 D5.（07 安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为( )A.|1|23xy(0 x2) B.|1|2323xy (0 x2)C.|1|23xy(0 x2)D.|1|1xy(0 x2)答案 B6.6.（20052005 年上海年上海 1313）若函数121)(xxf，则该函数在),(上是（ ）A单调递减；无最小值 B单调递减；有最小值C单调递增；无最大值 D单调递增；有最大值答案 A二、填空题7.（20072007 上海春季上海春季 5 5）设函数)(xfy 是奇函数. 若3)2() 1 (3) 1()2(ffff则)2() 1 (ff . 答案 38.（20072007 年上海）年上海）函数3)4lg(xxy的定义域是 答案 34xxx且9.9.（20062006 年安徽卷）年安徽卷）函数 f x对于任意实数x满足条件 12f xf x，若 15,f 则 5ff_。答案 - -51解析 115( 5)( 1)( 12)5fffff 。10.10.（20062006 年上海春）年上海春）已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数. 当)0,(x时，4)(xxxf，则当), 0(x时，)(xf .答案 -x-x4三、解答题11.(2007 广东) 已知a是实数，函数 axaxxf3222，如果函数 xfy 在区间1 , 1上有零点，求a的取值范围. 解析 若0a , ( )23f xx ,显然在1 , 1上没有零点, 所以 0a . 令 248382440aaaa , 解得 372a 当 372a 时, yf x恰有一个零点在1,1上; 当 05111aaff，即15a时， yf x在1,1上也恰有一个零点. 当 yf x在1,1上有两个零点时, 则 208244011121010aaaaff 或 208244011121010aaaaff 解得5a 或352a 综上所求实数a的取值范围是1a 或352a .第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编2009 年年联联考考题题一、选择题1. ( (北京市北京市东城区东城区 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三质量检测文理月高中示范校高三质量检测文理) )函数)(xfy 的定义域是,，若对于任意的正数a，函数)()()(xfaxfxg都是其定义域上的增函数，则函数)(xfy 的图象可能是( ) 答案 A2.（2009 龙岩一中）函数212yxx的定义域是（ ）A.(, 1) B.( 1,2) C.(, 1)(2,) D. (2,)答案 B3.（2009 湘潭市一中 12 月考）已知定义在 R 上的函数( )f x满足3( )()2f xf x ，且( 2)( 1)1ff ，(0)2f,(1)(2)(2008)(2009)ffff （ ）A.2 B.1C.0D.1答案 A4.（2009 广东三校一模）定义在R上的函数 xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则 741fff等于( )A.-1 B.0 C.1 D.4答案 B5.（安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测）函数221,0( )(1),0axaxxf xaex在(,) 上单调，则的取值范围是 ( )A(,2(1,2 B2, 1) 2,)C(1,2 D 2,)答案 A6.（黄山市 2009 届高中毕业班第一次质量检测）对于函数( )lgf xx定义域中任意12,x x12()xx有如下结论：1212()()()f xxf xf x；1212()()()f xxf xf x； 1212()()0f xf xxx； 1212()()()22xxf xf xf。上述结论中正确结论的序号是 ( ) A B C D答案 B7.（福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查）已知函数)()(.ln)(,) 1(56) 1(88)(2xgxfxxgxxxxxxf与则两函数的图像的交点个数为( ）A1B2C3D4答案 B8.（福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查）已知0)2(, 0)(,0,), 0)(fxfxRxxxf且时当是奇函数，则不等式0)(xf的解集是（ ） A （2，0）B), 2( C), 2()0 , 2( D), 2()2,(答案 C C9.9.（江门市（江门市 20092009 年高考模拟考试）年高考模拟考试）设函数)1ln()(xxf的定义域为M，xxxg11)(2的定义域为N，则NM ( )A.0 xx B.10 xxx且 C.10 xxx且 D.10 xxx且答案 C C10 （20092009 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） ）设 11xf xx，又记 11,1,2,kkfxf xfxffxk则 2009fx( )A1xBxC11xxD11xx答案 D D11.(11.(银川一中银川一中 20092009 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试) )设函数设函数)(xf是奇函数，并且在是奇函数，并且在 R R 上为增函上为增函数，若数，若 00 2 时，时，f f（m msinsin ）f f（1 1m m）0 0 恒成立，则实数恒成立，则实数 m m 的取值范围是的取值范围是( ( ) )A A （0 0，1 1）B B （，0 0）C C)21,( D D （，1 1）答案 D二、填空题12 （2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查）已知函数( )f x为R上的奇函数，当0 x 时，( )(1)f xx x.若( )2f a ，则实数a .答案 113.(13.(银川一中银川一中 20092009 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试) )给出定义：若2121 mxm(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即mx . 在此基础上给出下列关于函数| |)(xxxf 的四个命题：函数)(xfy 的定义域是 R，值域是0，21；函数)(xfy 的图像关于直线)(2Zkkx 对称；函数)(xfy 是周期函数，最小正周期是 1； 函数)(xfy 在 21,21上是增函数； 则其中真命题是_ 答案 14.（安徽省示范高中皖北协作区 2009 年高三联考）已知函数 2,01,0 xxf xxx，则不等式 4f x 的解集为 答案 ), 3()2 ,(15.( (北京市石景山区北京市石景山区 20092009 年年 4 4 月高三一模理月高三一模理) )函数)2()21() 1(22)(2 xxxxxxxf，则_)23(f，若21)(af，则实数a的取值范围是 答案 )2222()23,(21，；16. ( (北京市西城区北京市西城区 20092009 年年 4 4 月高三一模抽样测试文月高三一模抽样测试文) )设a为常数，2( )43f xxx=-+.若函数()f xa+为偶函数，则a=_；( ( )f f a=_.答案 2,8 17. .（20092009 丹阳高级中学一模）丹阳高级中学一模）若函数52xmxy在2,)上是增函数，则m的取值范围是_。答案 410 m三、解答题三、解答题18.(18.(银川一中银川一中 20092009 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试) )设函数21)( xxxf。（1）画出函数 y=f(x)的图像；（2）若不等式)(xfababa ， （a0,a、bR）恒成立，求实数 x 的范围。解：(1) )1( 23)2(1 1)2( 32)(xxxxxxf (2)由|a+b|+|a-b|a|f(x)得)(|xfababa 又因为2| ababaababa则有 2f(x)解不等式 2|x-1|+|x-2|得 2521 x9 9 份更新份更新一、选择题1.（2009 滨州一模）设函数21( )122xxf x ， x表示不超过x的最大整数，则函数 ( ) ()yf xfx的值域为 A . 0 B .1,0 C . 1,0,1 D . 2,0答案 B2.（2009 聊城一模）若 a2,则函数131)(23axxxf在区间（0，2）上恰好有（ ）A0 个零点B1 个零点C2 个零点D3 个零点答案 B二、填空题1.（2009 滨州一模）给出下列四个结论：命题“2,0 xR xx 的否定是“2,0 xR xx ” ；“若22,ambm则ab”的逆命题为真；函数( )sinf xxx（xR）有 3 个零点；1 11 12 2x xy y对于任意实数 x，有()( ), ()( ),fxf x gxg x 且 x0 时,( )0,( )0,fxg x则 x0 时( )( ).fxg x其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）答案 2.（2009 泰安一模）已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数，对于 xR 都有 f(x+60=f(x)+f(3)成立，当12,0,3x x ，且12xx时，都有1212()()0f xf xxx给出下列命题：f(3)=0；直线 x=一 6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴；函数 y=f(x)在一 9，一 6上为增函数； 函数 y=f(x)在一 9，9上有四个零点其中所有正确命题的序号为_(把所有正确命题的序号都填上)答案 3.（2009 上海闸北区）函数xy5 . 0log的定义域为_.答案 1 , 0(4.（2009 重点九校联考）函数)1 (log23xxy的定义域为 .答案 1,2三、解答题1.（2009 上海八校联考）对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为G函数。 对任意的0, 1x，总有( )0f x ； 当12120,0,1xxxx时，总有1212()( )()f xxf xf x成立。已知函数2( )g xx与( )2xh xb是定义在0, 1上的函数。（1）试问函数( )g x是否为G函数？并说明理由；（2）若函数( )h x是G函数，求实数b组成的集合；解：（1）当0,1x时，总有2g xx0( ) ，满足，当12120,0,1xxxx时，22222121212121212g xxxxxx2x xxxg xg x()()()()，满足（2）xh x2bx0 1( )( , )为增函数，h x( ) h 01 b0( ) b1由1212h xxh xh x()()() ，得1212xxxx2b2b2b，即11xxb121 21()() 因为 12120,0,1xxxx所以 1x021 1 2x021 1 1x与2x不同时等于 1 11xx021 211()() ；11xx0121 211()() 当12xx0时，11xx121 211max()()；b1综合上述：b1 2.（2009 滨州一模）设函数21( )()2ln , ( ).f xp xx g xxx（I）若直线l与函数)(),(xgxf的图象都相切，且与函数)(xf的图象相切于点（1，0） ，求实数p的值；（II）若)(xf在其定义域内为单调函数，求实数 p 的取值范围；解：（）方法一：22( )pfxpxx，(1)2(1)fp 设直线:2(1)(1)l ypx, 并设 l 与 g(x)=x2相切于点 M(00,xy)( )2g xx 202(1)xp2001,(1)xpyp代入直线 l 方程解得 p=1 或 p=3. 方法二： 将直线方程 l 代入 2yx得2(1)(1)0px24(1)8(1)0pp 解得 p=1 或 p=3 . （）222)(xpxpxxf， 要使)(xf为单调增函数，须0)(xf在(0,)恒成立，即022pxpx在(0,)恒成立，即xxxxp12122在(0,)恒成立，又112xx，所以当1p时，)(xf在(0,)为单调增函数； 要使)(xf为单调减函数，须0)(xf在(0,)恒成立，即022pxpx在(0,)恒成立，即xxxxp12122在(0,)恒成立，又201xx，所以当0p时，)(xf在(0,)为单调减函数 综上，若)(xf在(0,)为单调函数，则p的取值范围为1p或0p 3.（2009 上海十校联考）已知函数 221f xxtx，2,5x有反函数，且函数 f x的最大值为8，求实数t的值.解：因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数 221f xxtx的对称轴为xt，所以2t 或5t 若2t ，在区间2,5上函数是单调递增的，所以 max525 1018f xft ，解得95t ，符合 若5t ，在区间2,5上函数是单调递减的，所以 max24418f xft ，解得34t ，与5t 矛盾，舍去 综上所述，满足题意的实数t的值为95 2007200720082008 年联考题年联考题一、选择题1.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的偶函数)(xf满足)() 1(xfxf，且在-1，0上单调递增，设)3(fa ， )2(fb ，)2(fc ，则cba,大小关系是( )Acba Bbca Cacb Dabc 答案 D2.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)函数11xxy是 ( )A奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数答案 D3.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)设 f(x)是定义在 R 上的函数，且在(-，+)上是增函数，又 F(x)=f(x)-f(-x)，那么 F(x)一定是( )A.奇函数，且在(-，+)上是增函数 B.奇函数，且在(-，+)上是减函数C.偶函数，且在(-，+)上是增函数D.偶函数，且在(-，+)上是减函数答案 A4.(广东省 2008 届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积2()y m与时间t(月)的关系: ( )tyf ta, 有以下叙述:这个指数函数的底数为 2;第 5 个月时, 浮萍面积就会超过 302m;浮萍从 42m蔓延到 122m需要经过 1.5 个月;浮萍每月增加的面积都相等;若浮萍蔓延到 22m, 32m, 62m所经过的时间分别是123, ,t t t, 则123ttt.其中正确的是( ) A. B.C. D. 答案 D5.（20072007 届岳阳市一中高三数学能力题训练）届岳阳市一中高三数学能力题训练）.映射f：AB，如果满足集合 B 中的任意一个元素在中都有原象，则称为“满射” 。已知集合 A 中有 4 个元素，集合 B 中有 3 个元素，那么从 A 到 B 的不同满射的个数为（ ）A.24 B.6 C.36 D.72答案 C二、填空题6.（20072007 届岳阳市一中高三数学能力