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战考场第第3 3讲讲 空间空间向量向量与立与立体几体几何何知考情研考题析考向高频考点高频考点考情解读考情解读考查方式考查方式利用空间向量证明空间利用空间向量证明空间位置关系位置关系利用平面的法向量与直线的方向向量的利用平面的法向量与直线的方向向量的位置关系证明线面位置关系位置关系证明线面位置关系解答题解答题利用空间向量求角利用空间向量求角异面直线所成角、线面角、二面角是常异面直线所成角、线面角、二面角是常考重点考重点解答题解答题利用空间向量解决探索利用空间向量解决探索性问题性问题重点考查根据条件确定几何体线段上存重点考查根据条件确定几何体线段上存在点的位置及应用在点的位置及应用解答题解答题联知识串点成面联知识串点成面 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a(a1，b1，c1)平面平面，的法向的法向量分别为量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线面平行：线面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：线面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直面面垂直uvuv0a3a4b3b4c3c40做考题查漏补缺做考题查漏补缺 (2011杭州模拟杭州模拟)如图，平面如图，平面PAC平面平面ABC，ABC是以是以AC为斜边为斜边的等腰直角三角形，的等腰直角三角形，E，F，O分别为分别为PA，PB，AC的中点，的中点，AC16，PAPC10.(1)设设G是是OC的中点，证明：的中点，证明：FG平面平面BOE；(2)证明：在证明：在ABO内存在一点内存在一点M，使，使FM平面平面BOE.证明证明(1)如图，连接如图，连接OP，以点，以点O为坐标原点，为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立空间轴，建立空间直角坐标系直角坐标系Oxyz，则，则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意，得由题意，得G(0,4,0)因为因为 (8,0,0)， (0，4,3)，所以平面所以平面BOE的一个法向量的一个法向量n(0,3,4)由由 (4,4，3)，得，得n 0.又直线又直线FG不在平面不在平面BOE内，所以内，所以FG平面平面BOE.OB OE FG FG FMFM1(2011南昌模拟南昌模拟)如图，正方形如图，正方形ABCD所所在的平面与平面四边形在的平面与平面四边形ABEF所在的平所在的平面互相垂直，面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：求证：EF平面平面BCE；(2)设线段设线段CD、AE的中点分别为的中点分别为P、M，求证：，求证：PM平面平面BCE.证明：证明：ABE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ABAE，AEAB，平面平面ABEF平面平面ABCDAB，AE平面平面ABCD.AEAD，即即AD、AB、AE两两垂直两两垂直如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系EF BE BC EF BE EF BC EF PMPMOD OP PAPC 悟方法触类旁通悟方法触类旁通1用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方体、直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误是向量法要求计算必须准确无误2利用向量法的关键是正确求平面的法向量赋值时注意利用向量法的关键是正确求平面的法向量赋值时注意其灵活性注意其灵活性注意(0,0,0)不能作为法向量不能作为法向量.做考题查漏补缺做考题查漏补缺 (2011北京高考北京高考)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：求证：BD平面平面PAC；(2)若若PAAB，求，求PB与与AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)当平面当平面PBC与平面与平面PDC垂直时，求垂直时，求PA的长的长 PB AC BC BP BC BP CMSN SN CMSN NC4(2011西安模拟一西安模拟一)如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD的底面的底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中点的中点(1)证明：证明：PA平面平面BDE；(2)求二面角求二面角BDEC的余弦值的余弦值解：解：(1)证明：以证明：以D为坐标原点，以为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线所在直线分别为分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，设设PDDC2，则，则A(2,0,0)，P(0，0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0) (2,0，2)， (0,1,1)， (2,2,0)，PADE DB DE PAPADB DA 联知识串点成面联知识串点成面 利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把题过程中，往往把“是否存在是否存在”问题，转化为问题，转化为“点的坐标点的坐标是否有解，是否有规定范围的解是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法更简单、有效，应善于运用这一方法做考题查漏补缺做考题查漏补缺 (2011浙江高考浙江高考)如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，中，ABAC，D为为BC的中点，的中点，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在线段落在线段AD上上已知已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：证明：APBC；(2)在线段在线段AP上是否存在点上是否存在点M，使得二面角，使得二面角AMCB为直二为直二面角？若存在，求出面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由AP AC 5(2011郑州模拟郑州模拟)如图，四棱柱如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，A1D平面平面ABCD，底，底面面ABCD是边长为是边长为1的正方形，侧棱的正方形，侧棱AA12.(1)求三棱锥求三棱锥CA1B1C1的体积的体积V；(2)求直线求直线BD1与平面与平面ADB1所成角的正弦值；所成角的正弦值；(3)若棱若棱AA1上存在一点上存在一点P，使得，使得 ，当二面角，当二面角AB1C1P的大小为的大小为30时，求实数时，求实数的值的值AP 1PA悟方法触类旁通悟方法触类旁通利用向量法解决探索性问题时注意利用向量法解决探索性问题时注意1平面法向量计算必须要准确平面法向量计算必须要准确2若在线段上探索是否存在一点，设出该点坐标时要抓住三若在线段上探索是否存在一点，设出该点坐标时要抓住三点共线可减少坐标未知量的个数点共线可减少坐标未知量的个数 向量法解决空间位置关系及空间角问题的实质是数与向量法解决空间位置关系及空间角问题的实质是数与形的完美结合将函数与方程、化归与转化思想融合其中形的完美结合将函数与方程、化归与转化思想融合其中改静态命题为动态命题，也是命题的创新点之一改静态命题为动态命题，也是命题的创新点之一图图1 图图2点评点评向量法解题的实质是以数解形，形数结合本例充向量法解题的实质是以数解形，形数结合本例充分利用向量法结合条件建立不等关系，从而求范围能力分利用向量法结合条件建立不等关系，从而求范围能力要求较高要求较高如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，DAB为直角，为直角，ABCD，ADCD2AB，E、F分别为分别为PC、CD的中点的中点(1)试证：试证：AB平面平面BEF；(2)设设PAkAB，若平面，若平面EBD与平面与平面BDC的夹角大于的夹角大于45，求，求k的取值范围的取值范围
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