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第3讲圆周运动及其应用知识点知识点 1 1 匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度1.1.匀速圆周运动匀速圆周运动(1)(1)定义定义: :线速度大小线速度大小_的圆周运动。的圆周运动。(2)(2)性质性质: :加速度大小加速度大小_,_,方向总是指向方向总是指向_的变加速曲线的变加速曲线运动。运动。(3)(3)条件条件: :合外力大小合外力大小_,_,方向始终与速度方向方向始终与速度方向_且指向且指向圆心。圆心。不变不变不变不变圆心圆心不变不变垂直垂直2.2.描述匀速圆周运动的物理量描述匀速圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度等转速、向心加速度等, ,如表所示如表所示: :定义、意义定义、意义公式、单位公式、单位线速度线速度描述做圆周运动的物体运动描述做圆周运动的物体运动_的物理量的物理量(v)(v)是矢量是矢量, ,方向和半径垂直方向和半径垂直, ,和和圆周圆周_v= =_v= =_单位单位:_:_角速度角速度描述物体绕圆心描述物体绕圆心_的的物理量物理量()()中学不研究其方向中学不研究其方向= =_= =_单位单位:_:_st2 rT快慢快慢相切相切转动快慢转动快慢m/sm/srad/srad/st2T定义、意义定义、意义公式、单位公式、单位周期周期和转和转速速周期是物体沿圆周运动周期是物体沿圆周运动_的时间的时间(T)(T)转速是物体在单位时间转速是物体在单位时间内转过的内转过的_(n),_(n),也叫也叫频率频率(f)(f)T=_=_T=_=_，单位：单位：_n n的单位的单位: :_、_f= ,f= ,单位：单位：HzHz2 rv21T一圈一圈圈数圈数s sr/sr/sr/minr/min定义、意义定义、意义公式、单位公式、单位向心向心加速加速度度描述速度描述速度_变化快慢变化快慢的物理量的物理量(a(an n) )方向指向方向指向_a an n=_=_;=_=_;单位：单位：_ 相互相互关系关系v=r=_=_v=r=_=_a an n= =r= =r2 2=v=v= =_=_方向方向圆心圆心2vr2 2r rm/sm/s2 22 rT2rf2rf2vr224rT442 2f f2 2r r知识点知识点 2 2 匀速圆周运动的向心力匀速圆周运动的向心力1.1.作用效果作用效果产生向心加速度产生向心加速度, ,只改变线速度的只改变线速度的_,_,不改变线速度的不改变线速度的_。2.2.大小大小F=F= =mr=mr2 2= = =mv=m=mv=m442 2f f2 2r r。3.3.方向方向始终沿半径方向指向始终沿半径方向指向_。4.4.来源来源向心力可以由一个力提供向心力可以由一个力提供, ,也可以由几个力的也可以由几个力的_提供提供, ,还可以还可以由一个力的由一个力的_提供。提供。方向方向大小大小2vmr224rmT圆心圆心合力合力分力分力【思考辨析】【思考辨析】(1)(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。匀速圆周运动是匀加速曲线运动。( () )(2)(2)做匀速圆周运动的物体所受合外力大小、方向都保持不做匀速圆周运动的物体所受合外力大小、方向都保持不变。变。( () )(3)(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。( () )(4)(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比。做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比。( () )(5)(5)随圆盘一起匀速转动的物块受重力、支持力和向心力的作随圆盘一起匀速转动的物块受重力、支持力和向心力的作用。用。( () )(6)(6)匀速圆周运动物体的向心力是产生向心加速度的原因。匀速圆周运动物体的向心力是产生向心加速度的原因。( () )(7)(7)做圆周运动的物体所受合外力突然消失做圆周运动的物体所受合外力突然消失, ,物体将沿圆周切线物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。方向做匀速直线运动。( () )分析：分析：匀速圆周运动的加速度为向心加速度匀速圆周运动的加速度为向心加速度, ,方向始终指向方向始终指向圆心圆心, ,加速度方向不断发生变化加速度方向不断发生变化, ,故匀速圆周运动是变加速曲故匀速圆周运动是变加速曲线运动线运动,(1),(1)错错; ;做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变, ,方向始终指向圆心方向始终指向圆心, ,时刻改变时刻改变,(2),(2)错错; ;做匀速圆周运动的物体做匀速圆周运动的物体, ,由由a= a= 知知, ,只有在只有在v v一定时一定时,a,a与与r r成反比成反比, ,如果如果v v不一定不一定, ,则则a a与与r r不成反比不成反比,(3),(3)错错; ;做匀速圆周运动的物体做匀速圆周运动的物体, ,由由=2n=2n可知可知, ,角速度与转速成正比角速度与转速成正比,(4),(4)对对; ;随圆盘一起匀速转动的物块的随圆盘一起匀速转动的物块的向心力是物块所受的合外力向心力是物块所受的合外力, ,物块实际受到重力、支持力和摩物块实际受到重力、支持力和摩2vr擦力的作用擦力的作用, ,并没有受到向心力的作用并没有受到向心力的作用,(5),(5)错错; ;由牛顿第二定律由牛顿第二定律可知可知, ,合外力是产生加速度的原因合外力是产生加速度的原因, ,做匀速圆周运动物体的向心做匀速圆周运动物体的向心力是物体所受的合外力力是物体所受的合外力, ,产生向心加速度产生向心加速度,(6),(6)对对; ;物体所受合外物体所受合外力突然消失力突然消失, ,由于惯性由于惯性, ,物体将保持原来的运动状态不变物体将保持原来的运动状态不变, ,故物故物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动体将沿圆周切线方向做匀速直线运动,(7),(7)对。对。考点考点 1 1 水平面内的匀速圆周运动水平面内的匀速圆周运动( (三年三年1 1考考) )深化理解深化理解【考点解读】【考点解读】1.1.匀速圆周运动的受力特点匀速圆周运动的受力特点物体所受合外力大小不变物体所受合外力大小不变, ,方向总是指向圆心。方向总是指向圆心。2.2.解答匀速圆周运动问题的方法解答匀速圆周运动问题的方法(1)(1)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。(2)(2)分析物体受力情况分析物体受力情况, ,其合外力提供向心力。其合外力提供向心力。(3)(3)由由F Fn n=m =m 或或F Fn n=m=m2 2r r或或F Fn n=m =m 列方程求解。列方程求解。2vr224rT【典例透析【典例透析 1 1】(2013(2013朝阳区模拟朝阳区模拟) )图甲为游乐园中图甲为游乐园中“空中飞空中飞椅椅”的游戏设施的游戏设施, ,它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上缘上, ,绳子的下端连接座椅绳子的下端连接座椅, ,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点飞旋。若将人和座椅看成一个质点, ,则可简化为如图乙所示的则可简化为如图乙所示的物理模型物理模型, ,其中其中P P为处于水平面内的转盘为处于水平面内的转盘, ,可绕竖直转轴可绕竖直转轴OOOO转转动动, ,设绳长设绳长l=10m,=10m,质点的质量质点的质量m=60kg,m=60kg,转盘静止时质点与转轴之转盘静止时质点与转轴之间的距离间的距离d=4.0m,d=4.0m,转盘逐渐加速转动转盘逐渐加速转动, ,经过一段时间后质点与转经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动盘一起做匀速圆周运动, ,此时绳与竖直方向的夹角此时绳与竖直方向的夹角=37=37( (不计空气阻力及绳重不计空气阻力及绳重, ,且绳不可长且绳不可长,sin37,sin37=0.6,cos37=0.6,cos37=0.8,=0.8,g g取取10m/s10m/s2 2),),质点与转盘一起做匀速圆周运动时质点与转盘一起做匀速圆周运动时, ,求求: :(1)(1)绳子拉力的大小绳子拉力的大小; ;(2)(2)转盘角速度的大小。转盘角速度的大小。【解题探究】【解题探究】(1)(1)请画出人和座椅匀速转动时的受力分析图。请画出人和座椅匀速转动时的受力分析图。提示：提示：(2)(2)请分析确定圆周运动的圆心位置请分析确定圆周运动的圆心位置, ,并确定半径的表达式。并确定半径的表达式。提示：提示：圆周运动的圆心在竖直转轴圆周运动的圆心在竖直转轴OOOO上上, ,半径为半径为R=d+R=d+lsinsin。【解析】【解析】(1)(1)人和座椅受力情况如图所示人和座椅受力情况如图所示: :竖直方向竖直方向:Fcos37:Fcos37-mg=0-mg=0解得解得:F= =750N:F= =750N(2)(2)水平方向水平方向:Fsin37:Fsin37=m=m2 2R R由几何关系得由几何关系得:R=d+:R=d+lsin37sin37解得解得:= rad/s:= rad/s答案：答案：(1)750N (2) rad/s(1)750N (2) rad/smgcos373232【总结提升】【总结提升】水平面内的匀速圆周运动的分析方法水平面内的匀速圆周运动的分析方法(1)(1)运动实例运动实例: :圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等。飞行等。(2)(2)问题特点问题特点: :运动轨迹是圆且在水平面内运动轨迹是圆且在水平面内; ;向心力的方向水平向心力的方向水平, ,竖直方向的合力为零。竖直方向的合力为零。(3)(3)解题方法解题方法: :对研究对象受力分析对研究对象受力分析, ,确定向心力的来源确定向心力的来源; ;确定圆周运动的圆心和半径确定圆周运动的圆心和半径; ;应用相关力学规律列方程求解。应用相关力学规律列方程求解。【变式训练】【变式训练】(2013(2013安庆模拟安庆模拟) )在光滑的圆锥漏斗的内壁在光滑的圆锥漏斗的内壁, ,有有两个质量相等的小球两个质量相等的小球A A、B,B,它们分别紧贴漏斗它们分别紧贴漏斗, ,在不同水平面上在不同水平面上做匀速圆周运动做匀速圆周运动, ,如图所示如图所示, ,则下列说法正确的是则下列说法正确的是( () )A.A.小球小球A A的速率大于小球的速率大于小球B B的速率的速率B.B.小球小球A A的速率小于小球的速率小于小球B B的速率的速率C.C.小球小球A A对漏斗壁的压力大于小球对漏斗壁的压力大于小球B B对漏斗壁的压力对漏斗壁的压力D.D.小球小球A A的转动周期小于小球的转动周期小于小球B B的转动周期的转动周期【解析】【解析】选选A A。设小球质量为。设小球质量为m,m,做圆周运动的做圆周运动的半径为半径为r,r,漏斗转轴与内壁的夹角为漏斗转轴与内壁的夹角为,如图所如图所示示, ,则向心力则向心力F= F= 为常数为常数, ,而而F=m ,F=m ,由题图由题图知知A A小球做圆周运动的圆半径较大小球做圆周运动的圆半径较大, ,它做圆周它做圆周运动的速率较大运动的速率较大,A,A对对,B,B错。由错。由F=mr( )F=mr( )2 2知知, ,小球小球A A的转动周期比的转动周期比B B的大的大,D,D错。小球对漏斗内壁的压力错。小球对漏斗内壁的压力F FN N=F=FN N= ,= ,故小球故小球A A、B B对内壁的压力相等对内壁的压力相等,C,C错。错。mgtan2vr2Tmgsin【变式备选】【变式备选】(2013(2013琼海模拟琼海模拟) )如图所示如图所示, ,在匀速在匀速转动的圆筒内壁上转动的圆筒内壁上, ,有一物体随圆筒一起转动而未有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后滑动。当圆筒的角速度增大以后, ,下列说法正确下列说法正确的是的是( () )A.A.物体所受弹力增大物体所受弹力增大, ,摩擦力也增大了摩擦力也增大了B.B.物体所受弹力增大物体所受弹力增大, ,摩擦力减小了摩擦力减小了C.C.物体所受弹力增大物体所受弹力增大, ,摩擦力不变摩擦力不变D.D.物体所受弹力和摩擦力都减小了物体所受弹力和摩擦力都减小了【解析】【解析】选选C C。物体受力如图所示。物体受力如图所示, ,由牛顿第二定由牛顿第二定律得律得, ,水平方向水平方向F FN N=m=m2 2r,r,竖直方向竖直方向F Ff f-mg=0,-mg=0,故当角故当角速度增大时速度增大时, ,物体所受弹力增大物体所受弹力增大, ,摩擦力不变摩擦力不变, ,选项选项C C正确。正确。考点考点 2 2 竖直面内的圆周运动竖直面内的圆周运动( (三年三年5 5考考) )拓展延伸拓展延伸【考点解读】【考点解读】1.1.竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。2.2.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。3.3.竖直面内的圆周运动问题竖直面内的圆周运动问题, ,涉及知识面比较广涉及知识面比较广, ,既有临界问题既有临界问题, ,又有能量守恒的问题又有能量守恒的问题, ,要注意物体运动到圆周的最高点速度不要注意物体运动到圆周的最高点速度不为零。为零。4.4.一般情况下一般情况下, ,竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。点的两种情形。【典例透析【典例透析 2 2】(2013(2013信阳模拟信阳模拟) )如图所示如图所示, ,质量为质量为m m的小球置的小球置于正方体的光滑盒子中于正方体的光滑盒子中, ,盒子的边长略大于球的直径。某同学盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为拿着该盒子在竖直平面内做半径为R R的匀速圆周运动的匀速圆周运动, ,已知重力已知重力加速度为加速度为g,g,空气阻力不计空气阻力不计, ,则则( () )A.A.若盒子在最高点时若盒子在最高点时, ,盒子与小球之间恰好无作用力盒子与小球之间恰好无作用力, ,则该盒则该盒子做匀速圆周运动的周期为子做匀速圆周运动的周期为22B.B.若盒子以周期若盒子以周期 做匀速圆周运动做匀速圆周运动, ,则当盒子运动到图示球则当盒子运动到图示球心与心与O O点位于同一水平面位置时点位于同一水平面位置时, ,小球对盒子左侧面的力为小球对盒子左侧面的力为4mg4mgC.C.若盒子以角速度若盒子以角速度2 2 做匀速圆周运动做匀速圆周运动, ,则当盒子运动到最则当盒子运动到最高点时高点时, ,小球对盒子的下面的力为小球对盒子的下面的力为3mg3mgD.D.盒子从最低点向最点做匀速圆周运动的过程中盒子从最低点向最点做匀速圆周运动的过程中, ,球处于超球处于超重状态重状态; ;当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中, ,球处于失重状态球处于失重状态RgRggR【解题探究】【解题探究】(1)(1)请分析小球运动到最高点和最低点以及与轨请分析小球运动到最高点和最低点以及与轨迹圆心等高的点时的受力情况迹圆心等高的点时的受力情况, ,并确定向心力来源。并确定向心力来源。小球在最高点和最低点受到的力小球在最高点和最低点受到的力:_;:_;向心向心力力:_:_。小球在与轨迹圆心等高点受到的力小球在与轨迹圆心等高点受到的力:_;:_;向心力向心力:_:_。重力、支持力重力、支持力重力、支持力的合力重力、支持力的合力重力、支持力、压力重力、支持力、压力压力压力(2)(2)小球的超、失重状态与速度方向有关小球的超、失重状态与速度方向有关, ,还是与加速度方向有还是与加速度方向有关关? ?提示：提示：小球的超、失重状态与速度方向无关小球的超、失重状态与速度方向无关, ,而是与加速度方而是与加速度方向有关向有关, ,加速度方向具有向下的分量时处于失重状态加速度方向具有向下的分量时处于失重状态, ,加速度方加速度方向具有向上的分量时处于超重状态。向具有向上的分量时处于超重状态。【解析】【解析】选选A A。若盒子在最高点时。若盒子在最高点时, ,盒子与小球之间恰好无作盒子与小球之间恰好无作用力用力, ,重力提供向心力重力提供向心力,mg=m( ),mg=m( )2 2R,R,解得解得T=2 ,T=2 ,选项选项A A正确正确; ;若盒子以周期若盒子以周期 做匀速圆周运动做匀速圆周运动, ,则当盒子运动到图示球则当盒子运动到图示球心与心与O O点位于同一水平面位置时点位于同一水平面位置时, ,盒子右侧面对小球的压力提盒子右侧面对小球的压力提供向心力供向心力,F=m( ),F=m( )2 2R=4mg,R=4mg,小球对盒子左侧面的力为零小球对盒子左侧面的力为零, ,选项选项B B错误错误; ;若盒子以角速度若盒子以角速度2 2 做匀速圆周运动做匀速圆周运动, ,则当盒子运动到则当盒子运动到最高点时最高点时, ,由由mg+F=mRmg+F=mR2 2, ,解得解得F=3mg,F=3mg,盒子对小球向下的作用力盒子对小球向下的作用力2TRgRg2TgR为为3mg,3mg,小球对盒子的下面的力为零小球对盒子的下面的力为零, ,选项选项C C错误错误; ;盒子做匀速盒子做匀速圆周运动圆周运动, ,加速度方向始终指向圆心加速度方向始终指向圆心, ,故盒子从最低点向最点做故盒子从最低点向最点做匀速圆周运动的过程中匀速圆周运动的过程中, ,球先处于超重状态后处于失重状态球先处于超重状态后处于失重状态; ;当当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中, ,球先处于失球先处于失重状态后处于超重状态重状态后处于超重状态, ,选项选项D D错误。错误。【总结提升】【总结提升】解决圆周运动的一般步骤解决圆周运动的一般步骤(1)(1)审清题意审清题意, ,确定研究对象确定研究对象; ;(2)(2)分析物体的运动情况分析物体的运动情况, ,即物体的线速度、角速度、周期、轨即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等道平面、圆心、半径等; ;(3)(3)分析物体的受力情况分析物体的受力情况, ,画出受力示意图画出受力示意图, ,确定向心力的来源确定向心力的来源; ;(4)(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程根据牛顿运动定律及向心力公式列方程; ;(5)(5)求解、讨论。求解、讨论。【变式训练】【变式训练】(2013(2013西安模拟西安模拟) )如图所示如图所示, ,质量为质量为m m的物块从半的物块从半径为径为R R的半球形碗边向碗底滑动的半球形碗边向碗底滑动, ,滑到最低点时的速度为滑到最低点时的速度为v,v,若物若物块滑到最低点时受到的摩擦力是块滑到最低点时受到的摩擦力是F Ff f, ,则物块与碗的动摩擦因数则物块与碗的动摩擦因数为为( () )A.A. B.B.C.C. D. D.fFmgf2FvmgmRf2FvmgmRf2FvmR【解析】【解析】选选B B。物块滑到最低点时受竖直方向的重力、支持。物块滑到最低点时受竖直方向的重力、支持力和水平方向的摩擦力三个力作用力和水平方向的摩擦力三个力作用, ,据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得F FN N-mg=m ,-mg=m ,又又F Ff f=F=FN N, ,联立解得联立解得= ,= ,选项选项B B正确。正确。2vRf2FvmgmR考点考点 3 3 圆周运动的综合问题圆周运动的综合问题( (三年三年6 6考考) )解题技巧解题技巧【考点解读】【考点解读】圆周运动的综合题往往涉及圆周运动、平抛运动圆周运动的综合题往往涉及圆周运动、平抛运动( (或类平抛运或类平抛运动动) )、匀变速直线运动等多个运动过程、匀变速直线运动等多个运动过程, ,常结合功能关系进行求常结合功能关系进行求解解, ,解答时可从以下两点进行突破解答时可从以下两点进行突破: :1.1.分析临界点分析临界点对于物体在临界点相关多个物理量对于物体在临界点相关多个物理量, ,需要区分哪些物理量能够需要区分哪些物理量能够突变突变, ,哪些物理量不能突变哪些物理量不能突变, ,而不能突变的物理量而不能突变的物理量( (一般指线速一般指线速度度) )往往是解决问题的突破口。往往是解决问题的突破口。2.2.分析每个运动过程的运动性质分析每个运动过程的运动性质对于物体参与的多个运动过程对于物体参与的多个运动过程, ,要仔细分析每个运动过程为何要仔细分析每个运动过程为何种运动种运动: :(1)(1)若为圆周运动若为圆周运动, ,应明确是水平面内的匀速圆周运动应明确是水平面内的匀速圆周运动, ,还是竖还是竖直平面内的变速圆周运动直平面内的变速圆周运动, ,机械能是否守恒。机械能是否守恒。(2)(2)若为抛体运动若为抛体运动, ,应明确是平抛运动应明确是平抛运动, ,还是类平抛运动还是类平抛运动, ,垂直于垂直于初速度方向的力是哪个力。初速度方向的力是哪个力。【典例透析【典例透析 3 3】(2012(2012福建高考福建高考) )如图如图, ,置于圆形水平转台边置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动缘的小物块随转台加速转动, ,当转速达到某一数值时当转速达到某一数值时, ,物块恰好物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5m,R=0.5m,离水平地离水平地面的高度面的高度H=0.8m,H=0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4ms=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力, ,取重力加速度取重力加速度g=10m/sg=10m/s2 2。求。求: :(1)(1)物块做平抛运动的初速度大小物块做平抛运动的初速度大小v v0 0。(2)(2)物块与转台间的动摩擦因数物块与转台间的动摩擦因数。【解题探究】【解题探究】(1)(1)试分析物块随转台转动时受到哪些力。试分析物块随转台转动时受到哪些力。受到的力受到的力:_:_、_、_。(2)(2)物块物块“恰好滑离恰好滑离”转台意味着什么转台意味着什么? ?提示：提示：物块物块“恰好滑离恰好滑离”转台意味着物块受到的静摩擦力达到转台意味着物块受到的静摩擦力达到最大值。最大值。重力重力支持力支持力静摩擦力静摩擦力【解析】【解析】(1)(1)物块做平抛运动物块做平抛运动, ,竖直方向有竖直方向有H= gtH= gt2 2 水平方向有水平方向有s=vs=v0 0t t 联立联立两式得两式得v v0 0=s =1m/s =s =1m/s (2)(2)物块离开转台时物块离开转台时, ,最大静摩擦力提供向心力最大静摩擦力提供向心力, ,有有mg=mmg=m 联立联立得得= =0.2= =0.2答案：答案：(1)1m/s (2)0.2(1)1m/s (2)0.212g2H20vR20vgR【总结提升】【总结提升】圆周运动综合问题的解题思路圆周运动综合问题的解题思路(1)(1)分析运动过程分析运动过程, ,明确运动规律。明确运动规律。(2)(2)找出连续的两个运动过程相互联系的物理量找出连续的两个运动过程相互联系的物理量, ,一般是速度。一般是速度。(3)(3)根据运动规律列方程求解。根据运动规律列方程求解。【变式训练】【变式训练】m m为在水平传送带上被传送的小物体为在水平传送带上被传送的小物体( (可视为质点可视为质点, ,且相对传送带静止且相对传送带静止),A),A为终端皮带轮为终端皮带轮, ,如图所示如图所示, ,已知皮带轮半已知皮带轮半径为径为r,r,传送带与皮带轮间不会打滑。当传送带与皮带轮间不会打滑。当m m可被水平抛出时可被水平抛出时,A,A轮轮每秒的转速最少是每秒的转速最少是( () )A.A. B. C.B. C. D. D.1g2rgrgr1gr2【解析】【解析】选选A A。当。当m m可被水平抛出时可被水平抛出时, ,在终端皮带轮的最高点处在终端皮带轮的最高点处有有m mg,m mg,又因为又因为v=2rn,v=2rn,故故A A轮的转速轮的转速n ,n ,选项选项A A正确。正确。2vr1g2r【典例透析】【典例透析】如图所示如图所示, ,把一个质量把一个质量m=1kgm=1kg的小球的小球通过两根等长的细绳与竖直杆上通过两根等长的细绳与竖直杆上A A、B B两个固定点两个固定点相连接相连接, ,绳绳a a、b b长都是长都是1m1m。ABAB长度是长度是1.6m,1.6m,直杆和直杆和球旋转的角速度等于多少时球旋转的角速度等于多少时,b,b绳上才有张力绳上才有张力? ?考查内容考查内容圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题【备选例题】【备选例题】【规范解答】【规范解答】已知已知a a、b b绳长均为绳长均为1m,1m,即即: :在在AOmAOm中中,cos= =0.8,cos= =0.8sin=0.6,=37sin=0.6,=371AmBm1 m AOAB0.8 m2，AO0.81Am小球做圆周运动的轨道半径为小球做圆周运动的轨道半径为r= sin=1r= sin=10.6m=0.6m0.6m=0.6mb b绳被拉直但无张力时绳被拉直但无张力时, ,小球所受的重力小球所受的重力mgmg与与a a绳拉力绳拉力F FTaTa的合力的合力F F为向心力为向心力, ,其受力分析如图所示其受力分析如图所示: :OmAm由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: :F=mgtan=mrF=mgtan=mr2 2解得直杆和球的角速度为解得直杆和球的角速度为= rad/s= rad/s=3.5rad/s=3.5rad/s故当直杆和球的角速度故当直杆和球的角速度3.5rad/s3.5rad/s时时,b,b中才有张力。中才有张力。答案：答案：3.5rad/s3.5rad/sgtanr10tan370.6竖直平面内圆周运动的竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆轻绳、轻杆”模型模型1.1.模型构建模型构建在竖直平面内做圆周运动的物体在竖直平面内做圆周运动的物体, ,运动至轨道最高点时的受力情况可分为两运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑类。一是无支撑( (如球与绳连接如球与绳连接, ,沿内轨道的沿内轨道的“过山车过山车”等等),),称为称为“轻绳模轻绳模型型”; ;二是有支撑二是有支撑( (如球与杆连接如球与杆连接, ,小球在弯管内运动等小球在弯管内运动等),),称为称为“轻杆模型轻杆模型”。2.2.模型条件模型条件(1)(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动。物体在竖直平面内做变速圆周运动。(2)“(2)“轻绳模型轻绳模型”在轨道最高点无支撑在轨道最高点无支撑,“,“轻杆模型轻杆模型”在轨道最高点有支撑。在轨道最高点有支撑。3.3.模型特点模型特点该类问题常有临界问题该类问题常有临界问题, ,并伴有并伴有“最大最大”“”“最小最小”“”“刚好刚好”等词语等词语, ,现对两种现对两种模型分析比较如下模型分析比较如下: :轻绳模型轻绳模型轻杆模型轻杆模型常见常见类型类型过最高过最高点的临点的临界条件界条件由由mg=m mg=m 得得v v临临= =由小球能运动即可由小球能运动即可, ,得得v v临临=0=02vrgr轻绳模型轻绳模型轻杆模型轻杆模型讨讨论论分分析析(1)(1)过最高点时，过最高点时，v ,v ,F FN N+mg=m ,+mg=m ,绳、轨道对球绳、轨道对球产生弹力产生弹力F FN N(2)(2)不能过最高点时不能过最高点时v v在到达最高点前小球已经在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道脱离了圆轨道 (1)(1)当当v=0v=0时，时，F FN N=mg=mg，F FN N为为支持力，沿半径背离圆心支持力，沿半径背离圆心(2)(2)当当0 0v v 时，时，-F-FN N+mg=m ,F+mg=m ,FN N背离圆心且随背离圆心且随v v的增大而减小的增大而减小(3)(3)当当v= v= 时，时，F FN N=0=0(4)(4)当当v v 时，时，F FN N+mg=m ,F+mg=m ,FN N指向圆心并指向圆心并随随v v的增大而增大的增大而增大gr2vrgr,gr2vrgrgr2vr【典例】【典例】(2013(2013日照模拟日照模拟) )半径为半径为R R的光滑的光滑圆环轨道竖直放置圆环轨道竖直放置, ,一质量为一质量为m m的小球恰能的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动在此圆轨道内做圆周运动, ,则小球在轨道最则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为低点处对轨道的压力大小为( () )A.3mgA.3mgB.4mgB.4mgC.5mgC.5mgD.6mgD.6mg【深度剖析】【深度剖析】选选D D。设小球的质量为。设小球的质量为m,m,经过最低点时速度大经过最低点时速度大小为小为v v1 1, ,小球恰好能通过圆环的最高点小球恰好能通过圆环的最高点, ,则在最高点时则在最高点时, ,小球小球对圆环的压力为零对圆环的压力为零, ,由重力提供向心力由重力提供向心力, ,即即mg= ,mg= ,由最高点由最高点运动到最低点运动到最低点, ,根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得mgmg2R+ mv2R+ mv2 2= mv= mv1 12 2, ,在最低点在最低点, ,根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得F FN N-mg= ,-mg= ,联立以上各式联立以上各式解得解得F FN N=6mg,=6mg,根据牛顿第三定律可知根据牛顿第三定律可知, ,小球在轨道最低点处对小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为轨道的压力大小为6mg,6mg,选项选项D D正确。正确。2vmR121221vmR【名师指津】【名师指津】竖直面内圆周运动的求解思路竖直面内圆周运动的求解思路(1)(1)定模型定模型: :首先判断是轻绳模型还是轻杆模型首先判断是轻绳模型还是轻杆模型, ,两种模型过最两种模型过最高点的临界条件不同高点的临界条件不同, ,其原因主要是其原因主要是“绳绳”不能支持物体不能支持物体, ,而而“杆杆”既能支持物体既能支持物体, ,也能拉物体。也能拉物体。(2)(2)确定临界点确定临界点:v:v临临= ,= ,对轻绳模型来说是能否通过最高对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点点的临界点, ,而对轻杆模型来说是而对轻杆模型来说是F FN N表现为支持力还是拉力表现为支持力还是拉力的临界点。的临界点。(3)(3)研究状态研究状态: :通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。和最低点的运动情况。gr(4)(4)受力受力分析：分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析对物体在最高点或最低点时进行受力分析, ,根据根据牛顿第二定律列出方程牛顿第二定律列出方程,F,F合合=F=F向向。(5)(5)过程过程分析：分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。状态联系起来列方程。【变式训练】【变式训练】如图所示如图所示, ,小球在竖直放置的光滑小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动圆形管道内做圆周运动, ,内侧壁半径为内侧壁半径为R,R,小球半小球半径为径为r,r,则下列说法正确的是则下列说法正确的是( () )A.A.小球通过最高点时的最小速度小球通过最高点时的最小速度v vminmin= =B.B.小球通过最高点时的最小速度小球通过最高点时的最小速度v vminmin=0=0C.C.小球在水平线小球在水平线abab以下的管道中运动时以下的管道中运动时, ,外侧管壁对小球一定外侧管壁对小球一定无作用力无作用力D.D.小球在水平线小球在水平线abab以上的管道中运动时以上的管道中运动时, ,外侧管壁对小球一定外侧管壁对小球一定有作用力有作用力g Rr【解析】【解析】选选B B。小球沿管上升到最高点的速度可以为零。小球沿管上升到最高点的速度可以为零, ,故故A A错错误误,B,B正确正确; ;小球在水平线小球在水平线abab以下的管道中运动时以下的管道中运动时, ,由外侧管壁由外侧管壁对小球的作用力对小球的作用力F FN N与球重力在背离圆心方向的分力与球重力在背离圆心方向的分力F Fmgmg的合力的合力提供向心力提供向心力, ,即即:F:FN N-F-Fmgmg= ,= ,因此因此, ,外侧管壁一定对球有作外侧管壁一定对球有作用力用力, ,而内侧管壁无作用力而内侧管壁无作用力,C,C错误错误; ;小球在水平线小球在水平线abab以上的管以上的管道中运动时道中运动时, ,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,D,D错误。错误。2vmRr【双基题组】【双基题组】1.1.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向, ,下列说法正确下列说法正确的是的是( () )A.A.与线速度方向始终相同与线速度方向始终相同B.B.与线速度方向始终相反与线速度方向始终相反C.C.始终指向圆心始终指向圆心D.D.始终保持不变始终保持不变【解析】【解析】选选C C。向心加速度的方向始终指向圆心。向心加速度的方向始终指向圆心, ,做匀速圆周运做匀速圆周运动物体的向心加速度大小始终不变动物体的向心加速度大小始终不变, ,方向在不断变化方向在不断变化, ,选项选项C C正正确。确。2.(20132.(2013桂林模拟桂林模拟) )如图所示如图所示,B,B和和C C是是一组塔轮一组塔轮, ,即即B B和和C C半径不同半径不同, ,但固定在同但固定在同一转动轴上一转动轴上, ,其半径之比为其半径之比为R RB BRRC C=32,=32,A A轮的半径大小与轮的半径大小与C C轮相同轮相同, ,它与它与B B轮紧靠在一起轮紧靠在一起, ,当当A A轮绕过其中轮绕过其中心的竖直轴转动时心的竖直轴转动时, ,由于摩擦作用由于摩擦作用,B,B轮也随之无滑动地转动起轮也随之无滑动地转动起来。来。a a、b b、c c分别为三轮边缘的三个点分别为三轮边缘的三个点, ,则则a a、b b、c c三点在运动三点在运动过程中的过程中的( () )A.A.线速度大小之比为线速度大小之比为322322B.B.角速度之比为角速度之比为332332C.C.转速之比为转速之比为232232D.D.向心加速度大小之比为向心加速度大小之比为964964【解析】【解析】选选D D。A A轮与轮与B B轮接触处线速度相同轮接触处线速度相同, ,即即v va avvb b=11,=11,B B轮与轮与C C轮共轴转动轮共轴转动, ,角速度相同角速度相同, ,即即b bc c=11,=11,由由v=rv=r得得v vb bvvc c=R=RB BRRC C=32,=32,故故v va avvb bvvc c=332,=332,选项选项A A错误错误; ;由由= = 得得a ab b=R=RB BRRA A=32,=32,故故a ab bc c=322,=322,选项选项B B错误错误; ;由由=2n,n=2n,na annb bnnc c=a ab bc c=322,=322,选项选项C C错误错误; ;由由a=va=v得得a aa aaab baac c=964,=964,选项选项D D正确。正确。vr3.(20133.(2013合肥模拟合肥模拟) )杂技演员在表演杂技演员在表演“水流星水流星”的节目时的节目时( (如图如图),),盛水的杯子经过最高点杯口向盛水的杯子经过最高点杯口向下时下时, ,水也不洒出来。关于杯子经过最高点时水水也不洒出来。关于杯子经过最高点时水的受力情况的受力情况, ,下面说法正确的是下面说法正确的是( () )A.A.水处于失重状态水处于失重状态, ,不受重力的作用不受重力的作用B.B.水受平衡力的作用水受平衡力的作用, ,合力为零合力为零C.C.由于水做圆周运动由于水做圆周运动, ,因此必然受到重力和向心力的作用因此必然受到重力和向心力的作用D.D.杯底对水的作用力可能为零杯底对水的作用力可能为零【解析】【解析】选选D D。当杯子在最高点时。当杯子在最高点时, ,有向下的加速度有向下的加速度, ,因此处因此处于失重状态于失重状态, ,但仍受重力作用但仍受重力作用, ,选项选项A A错误错误; ;圆周运动是曲线运圆周运动是曲线运动动, ,其合外力必不为零其合外力必不为零, ,杯子不可能处于平衡状态杯子不可能处于平衡状态, ,选项选项B B错误错误; ;水在最高点所受合外力提供向心力水在最高点所受合外力提供向心力, ,并非同时受重力和向心力并非同时受重力和向心力两个力作用两个力作用, ,选项选项C C错误错误; ;当杯子经过最高点速度为当杯子经过最高点速度为 时时, ,只有只有重力提供向心力重力提供向心力, ,杯底对水的作用力为零杯底对水的作用力为零, ,选项选项D D正确。正确。gr【高考题组】【高考题组】4.(20114.(2011安徽高考安徽高考) )一般的曲线运动可以分成很多小段一般的曲线运动可以分成很多小段, ,每小每小段都可以看成圆周运动的一部分段都可以看成圆周运动的一部分, ,即把整条曲线用一系列不同即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示半径的小圆弧来代替。如图甲所示, ,曲线上的曲线上的A A点的曲率圆定义点的曲率圆定义为为: :通过通过A A点和曲线上紧邻点和曲线上紧邻A A点两侧的两点作一圆点两侧的两点作一圆, ,在极限情况下在极限情况下, ,这个圆就叫做这个圆就叫做A A点的曲率圆点的曲率圆, ,其半径其半径叫做叫做A A点的曲率半径。现点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成将一物体沿与水平面成角的方向以速度角的方向以速度v v0 0抛出抛出, ,如图乙所示。如图乙所示。则在其轨迹最高点则在其轨迹最高点P P处的曲率半径是处的曲率半径是( () )A.A.B. C.B. C. D. D.20vg220v sing220v cosg220v cosgsin【解析】【解析】选选C C。物体做斜上抛运动。物体做斜上抛运动, ,最高点速度即为斜上抛最高点速度即为斜上抛的水平速度的水平速度v vP P=v=v0 0cos,cos,最高点重力提供向心力最高点重力提供向心力mg=m ,mg=m ,由两式得由两式得 2Pv2220Pv cosvgg 。5.(20085.(2008宁夏高考改编宁夏高考改编) )如图所示为某一皮带传动装置。主动如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为轮的半径为r r1 1, ,从动轮的半径为从动轮的半径为r r2 2。已知主动轮做顺时针转动。已知主动轮做顺时针转动, ,转速为转速为n,n,转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( () )A.A.从动轮做顺时针转动从动轮做顺时针转动B.B.从动轮做逆时针转动从动轮做逆时针转动C.C.从动轮的转速为从动轮的转速为 D.D.从动轮的转速为从动轮的转速为 2122rnr21rnr【解析】【解析】选选B B。主动轮顺时针转动。主动轮顺时针转动, ,皮带交叉皮带交叉, ,则从动轮逆时则从动轮逆时针转动针转动; ;根据两轮线速度相等根据两轮线速度相等,2n,2nr r1 1=2n=2nr r2 2, ,解得解得n= n,n= n,选项选项B B正确。正确。12rr
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