资源描述
习题1111-1 .直角三角形ABC的A点上，有电荷qi91.8 10 C , B点上有电荷q294.8 10 C试求C点的电场强度（设BC 0.04m , AC解：q1在c点产生的场强:0.03m)。q厂0 rACC点的电场强度：C点的合场强：E :E1q2v4 rBc j4 v 1.8 104 j ；EF 3.24 104V mq2在c点产生的场强: v vEE1 E22.7方向如图:arctan182.7E2104v33.7o 33o4211-2.用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12 10 9C的正电荷均 匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。解：丁棒长为l 2 r d 3.12m电荷线密度:可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为闭合线圈产生电场再减去 d 0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电 荷的塑料棒在O点产生的场强。解法1：利用微元积分：八匚1Rd2 cos4 0R2Eocos d2sin40 R解法2:直接利用点电荷场强公式：由于d r,该小段可看成点电荷：qEO q 29.0 109则圆心处场强：4 oR方向由圆心指向缝隙处。240 Rd 2.02.0 10112(0.5)d24R 0.72V m10 11 C0.72V m 111-3 将一 “无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的oo半径为R，试求圆心O点的场强。解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。对于半无限长导线 A 在O点的场强：EAx(coscos )40R2Eay(sinsin )有:40 R2在O点的场强:对于半无限长导线 BEBx 十(sin 礬)EBy(coscos )有：y 4 oR2对于AB圆弧在0点的场强：有:EABxcos oR(sin sin )4 oR 2EABy2_0 4sinoR(cos cos )4 oR 2总场强:或写成场强:Eox4 oRvEoyEo4 oR，得：vj)気F宀，方向450。R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷,dE -q解：电荷元dq产生的场为：4 0 R ;11-4. 一个半径为电荷的线密度为根据对称性有:dEyE dExd E sin0，则：Rsin doR22 oRvE方向沿x轴正向。即：2 oR11-5 .带电细线弯成半径为跡，式中R的半圆形,电荷线密度0为一常数,所成的夹角，如图所示试求环心dldE解：如图，为半径R与X轴O处的电场强度。0 sin ddExdE cosdEydEsindEy方向沿y轴负向。4 oR考虑到对称性，有：Ex 0 ； 2osin d04oRdE sin4 oR011-6. 一半径为 R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rdxdq34 o(x2 r2护dE，求球心O处的电场强度。，所带电荷：dq 2 r d I。rxdl3利用例11-3结论，有:4 o(x2 r2)2dE2 Rcos Rsin Rd2 2 324(Rsin ) (Rcos ) 2 ,E弓sin2 dE化简计算得：2 0 0 24 0 , 4 011-7 .图示一厚度为d的“无限大均匀带电平板，电荷体密度为分布，并画出场强随坐标 x变化的图线，即E x图线(设原点在带电平板的中央平面上, Ox轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面d2时,有:。求板内、外的场强d2时,v由?S2EvdS2E S和E有：2E sq 2x S和q 2xS,1d11111112 0/q 2d Sd i2；/Od! -2/ d11r12 0!iR的圆形平面(如图所示),S1为高斯面,由?S1 E dS2 0。图像见右。11-8 .在点电荷q的电场中，取一半径为平面到q的距离为d，试计算通过该平面的 E的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为dS 2球冠面一条微元同心圆带面积为:r,有r d2 r sin rdR2S球冠面的面积：勺】2 r2(1T球面面积为:球冠由： 球面S球面S球冠02r sin rd22 r coscos2r，通过闭合球面的电通量为:闭合球面球冠夕1(1d_、R2 d11-9在半径为R的“无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 p,求圆柱体内、外的场强分布，并作 Er关系曲线。vv10sEdSqi解：由咼斯定律0 S内考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r2l1r2r lE-E(1 )当r R时，0，有2 0 ;R2lLR22rlEE -(2)当r R时，0，则：2 r ；r ,长为I的高斯面R)即：图见右。02 0rR)11-10 .半径为(1) rR1R1 和 R2 ；(2)RR1R2 ）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求:解：利用高斯定律:rR2 ； (3) rv v 1OsE dS_ 内 qi0 S内R2处各点的场强。(1)Rl时，高斯面内不包括电荷，所以:Ei0.(2)Rir R2时，利用高斯定律及对称性,有:(3)R2时，利用高斯定律及对称性,有:rlE3r l E2则:E20，则：E30 .R2R2即:工Uii-ii. 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体中两球心间距离OO（1）在球形空腔内，球心 O处的电场强度E 0 ;挖去半径为r的一个小球体，球心为 O ,d，如图所示。求:（2）在球体内p点处的电场强度 E，设O、O、P三点在同一直径上,OP d。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为（1）以O为圆心，过O点作一个半径为dv v4 3d?E dSd3 0 3的大球和带有电荷体密度为的高斯面，根据高斯定理有:的小球的合成。过v?SEE0 33 0，方向从O指向O ；P点以O为圆心，作一个半径为 d的高斯面。根据高斯定理有:v 43d S dEP1过P点以O为圆心,作一个半径为V V2E dS3rEP23 0，方向从O指向P ,2d的高斯面。根据高斯定理有:3r3 0d2EEpEp厂 1厂2厂(d 03杰)4d，方向从O指向P。v e11-12 .设真空中静电场 E的分布为E 解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面,Vcxi，式中c为常量，求空间电荷的分布。有:0sE dS CX0S由高斯定理:v0SEv dS设空间电荷的密度为X0(x)，有:(x)dxX00 0cdx11-13.密度为如图所示，一锥顶角为，求顶点O的电势.知，环面圆半径为:rCX0，可见的圆台,X0(x) Sdx（x）为常数上下底面半径分别为（以无穷远处为电势零点） 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为0CR1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面x轴，在侧面上取环面元,d x如图示，易dldS 2 r dlxta n2，环面圆宽:xtan-也2 cos2，cos-2利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上X。处电势的表达式:1q0.;r22X。有:dU2 xtan-卫丄2 cos2(xta n-)2 x2 tan d x 0 2dlxI-dxCOS 2考虑到圆台上底的坐标为:X1R1 cot -2，X2R2 cot -2，tan 一 dUX1 2 02211-14.电荷量Q均匀分布在半径为v v0SE dS解：利用高斯定律:, 2 Q4 r E内(1) rR时，0, 2_Q4 r E外(2)rR时，0U离球心r处（rR ）的电势:X2-tan 0 2R_ cot-2 d xR1 cot-2(R2R)R的球体内，试求：离球心1r处（rq可求电场的分布。E外;有：RrE内rQ r40R3 ；2orrE外dr，即:R QrQ3QQr2Ur3 dr2 dr3r 4 0RR 4 0r8 0R 8 0R3Q11-15 .图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为 无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。Ri时，因高斯面内不包围电荷，有：Ei，球壳内表面半径为 R1，外表面半径为R2 设解：当R-当RiE3当 r R2 时，以无穷远处为电势零点，有:有:R2时,43E有：4333 (rRi)40r2(r3Ri3)3 0r2R2 v v vRi E2dVR2E311-16 .电荷以相同的面密度 势为零，球心处的电势为U 0(1)求电荷面密度；(Ri Ri3)(R； Ri3)20r3 orR2(r3Ri3 0r2(R；2史 dr -R23 0r222 2-(R2 RJ0分布在半径为ri 10cm和300Vr2 20cm的两个同心球面上，设无限远处电(2 )若要使球心处的电势也为零,i2 28.85 i0 C外球面上电荷面密度N 1m 2)为多少?解：(1)当r ri时，因高斯面内不包围电荷，有:Ei当rir2时，利用高斯定理可求得：(ri2 r22)E22rir2时，可求得:E3u。r2 E2 d vri2ri r2d0 rr2r22 2(ri r2)d r0r(ria)0那么:ri8.8510 123型 8.8530 10 310C m2(2)设外球面上放电后电荷密度，则有:U ( ri匕)/ 0 0则应放掉电荷为：q 4 r：()4 r24 3.14 8.85i0 i2 3000.26.67 10 9C。ii-17.如图所示，半径为r的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷 线密度为，长度为I，细线左端离球心距离为r。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线 所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。drvqr 04取细线上的微元：dqql?400（0 l）dl（?为r方向上的单位矢量）U（2 ）T均匀带电球面在球面外的电势分布为：or （ r R,为电势零点）。dW对细线上的微元dqrodr,所具有的电势能为：dr q , r 0 Inr 40 r 0亠dr40 r11-18. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，p与E之间夹角为 ，如图所示.若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180，外力需作功多少? 解：由功的表示式：d A Mdv v v A考虑到：Mp E，有：pE sin d 2pE cos11-19 .如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为（O）今有一质量为 m，电荷为 q的粒子（q 0）沿圆板轴线（X轴）方向向圆板运动，已知在距圆心 O （也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为V。，求粒子击中圆板时的速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上X处产生的电势为:2 、X0X0)，那么,U ObUo Ub厂(R2 0b 、R2 b2)1m v由能量守恒定律，2-mv2 (2qUob)-mv： (R bR2 b2)22 0v有：v2 m(R b r2 b2)解：（1）以0点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴,E q2均匀带电球面在球面外的场强分布为：40 r （r R）。v v dr 有.d F E dq思考题1111-1 .两个点电荷分别带电q和2q，相距i，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零？qQ2qQ答：由40X?4 0（l x）2，解得：X |（、2 1），即离点电荷q的距离为心2 1）11-2 .下列几个说法中哪一个是正确的？（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；（C）场强方向可由E F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力；(D) 以上说法都不正确。 答：(C)E有：4oR211-3.真空中一半径为r的的均匀带电球面，总电量为q(qvo)，今在球面面上挖去 非常小的一块面积S (连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去 S后球心处的电场强度大小和方向.q答：题意可知：4 oR ，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，方向指向小面积元。(1)通过该球面的电通量(2) A点的场强Ea解：(1)E dSv vOsE dSq1 q2011-4.三个点电荷qi、q2和q3在一直线上，相距均为2R，以qi与q2的中心O作一半径为2R的 球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求：q2q3224 n 声 4 n 0eRq12(2)4 n e(3R)11-5有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处,有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量 为多少？解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心，通过此正方体闭合外表面的通量为：闭合q/ 0，那么，q通过该平面的电场强度通量为：6 0。11-6 对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？(A) 如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；(B) 如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；(C) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；(D) 如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A)V V1?SE dS q11-7 .由真空中静电场的高斯定理.0 可知(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；(B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零;(C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；(D) 闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。答：（C）11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的E r关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。（A）半径为R的均匀带电球面；（B）半径为R的均匀带电球体；（C） 半径为R、电荷体密度Ar（ A为常数）的非均匀带电球体；（D）半径为R、电荷体密度A/r（ a为常数）的非均匀带电球体。答: （D）P处作电势零点，则与点电q(A) 40rq(C) 4 o r Rq1140rR(B)q11心、40Rr(D)11-9如图，在点电荷 q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点 荷q距离为r的P点的电势为U 1243q png 解: d3-4U12q-，dU12 .当电势差增加到联立有：q 2q 4e。4 M2r)3g11-11 设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为（图中的U 0和b皆为常量）：11-10 密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行 板产生实验中，半径为 r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少?答：（C）11- 12 .无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。大学物理第12章课后习题12- 1 一半径为0.10米的孤立导体球，已知其电势为100V （以无穷远为零电势），计算球表面的面电荷密 度。解:QR由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，电势为：U4 R0则:120U 12-2.两个相距很远的导体球，半径分别为r1 6.0cm， r2 12.0cm，都带有3 10 C的电量,.85 如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。解：半径分别为r1的电量为q1， r2电量为q2，100 8.85 10 9 C m2。R0.1由题意，有：彳空-，q1 q26 10 8-,40*4联立，有：2 10 8 C , q2 4 10 8 C。R1,内半径R2的金属球壳,12-3.有一外半径为求球心的电势.解：由高斯定理，可求岀场强分布：R3EiE22 orR3rR2-U。E3E4R3R2rR1在壳内有一半径为 R3的金属球，球壳和内球均带电量 q ,2q2orRiEiR3E2 drRi VR3 4dr2qR 42dr ordr产佥2自R312-4. 一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为、R2 .求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出 E r和V r曲线- 解：由高斯定理，可求岀场强分布：E1q_20rrR1E2R1rR2E34电势的分布为:2 orR2当0 rR1时,U1R1Jdr40r当R1丄R1 R2)r R2 时，U2R2 40rR2 时，U 3” dr40rR2R R24 0R2q40r12-5 半径R|0.05m,，带电量q3 10 8C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径&0.07m，外半径&0.09m，带电量Q 2 10 8C。试求距球心r处的p点的场强与电势(1) r 0.10m (2)r 0.06m (3) r 0.03m。解：由高斯定理，可求岀场强分布：E10r R1E22 orR1 r R2E3R2 r R3Q4电势的分布为:E4q_2orrR3R-i 时，U1R2Ri 4q2orQR3 4q2 ordrQ q40R3当Ri r R2时,当R? r R3时,U2U3R2-d rQ q .2 drq (丄）Q qr 4orR34or4 0 rR240 R3Qd rQ qR3 4or40R3当r R3时，U 4Adr4 or4 or（1）r 0.10m，适用于rR3情况，有:E4(2)鳥 9 io3N，U40.06m，适用于R rQ q 9oo V ;4 orR2情况，有：E2苧 7.5 104 N，U2代（1丄）R2q4 oR31.64 io3 V ；（3）r 0.03m，适用于r R1情况，有:0，U1Q q40R32.54 103 V12-6 两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是2150cm ，电量分别为82.66 10 C，A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势; 电势。（2）AB间离A板1.0mm处的解：（1）由E 有:0则：Uab Ubqd EdoS2.66 10 8 5 10 321000 V，102，而UA8.85 10 12 1.5离A板1.0mm处的电势：Up1 ( 103)5200 V12-7平板电容器极板间的距离为d,保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为 t（td）的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入 金属板后极板上的电荷的比。解：（1）设极板带电量为 Qo，面电荷密度为0。Eo无金属板时电势差为：U1E0 d0d，0有金属板时电势差为：U2E0(dt) (d t)，0电势差比为：U1U20dd .00(d0t)dt（2）设无金属板时极板带电量为Q0，面电荷密度为0有金属板时极板带电量为 Q，面电荷密度为。由于U1U2，有 E0 dE (dt），即0 d-(d t)00.Q0d tQd解法二：无金属板时的电容为：c00S有金属板时的电容为C0S。那么dd t（1）当极板电荷保持不变时，利用QC知:U1dUU2dt（2）当极板电压保持不变时，利用Q ,C知:Q0dt0UQdt*1I7d t410 012-8实验表明，在靠近地面处有相当强的电场 E垂直于地面向下，大小约为130V/m .在离地面1.5km 的高空的场强也是垂直向下，大小约为25V/m .（1）试估算地面上的面电荷密度 （设地面为无限大导体平面）；（2）计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度.解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面,地面上方的面电荷密度可用E0 一考察，选竖直向上为正向,0考虑到靠近地面处场强为0E 8.85 10(2)如图，由高斯定理E。12 (vOsE130V130)vdSE得:h S，则:013/36.2 10 C m。S Eo( S)，所以：1.15 10 9 C m2qi，有:25(130)1.51038.85 10 12地面12-9 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱势为V，外圆筒的内半径为 R2，电势为V2 .求其离轴为（内）和圆筒（外）构成，设内圆柱半径为 R1，电r处（R1 r R2）的电势。解：丁 R1 r R2处电场强度为：E20r.内外圆柱间电势差为：v v2dr In旦2R1 20r2 0R111V1V2(Vi V2)则：0 In(R2 R)同理，r处的电势为：UrR2R2r(Vidr In 昱(*)r 2 r20 rIn(R2 r)【注：上式也可以变形为:UrV2)ln(R, R) 2In(r R)V1 （V1 V2）-，与书后答案相同，或将（*）式用:InR R）Vi UrrIn计算，结果如上】2 0R112-10 半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接, 给系统带上电荷 Q，求：（1）每个求上分配到的电荷是多少？ （2）按电容定义式，计算此系统的电容。解：（1 ）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：生一40嘉qb40b，再由系统电荷为 Q，有：qa qb Q -Qb . a b Q（或C qa40a两式联立得： qaQaa a b（2）根据电容的定义：C QU，qbQ），将（1）结论代入,qb40b有：C 40(a b)。12-11 图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差 U维持恒定的条件下，内球半径a为 多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。Q解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为:2 ， or而电势差:bEv dva宀-a 4rUab，那么，场强表达式可写为:b a0abb aab因为要考察内球表面附近的场强，可令r a，有:U2rdEa将a看成自变量，若有da0时,岀现极值，那么:EabU(b a) abU (b2 2(b (ab a )b得：a ，此时：Ea min24UA、2a)0极板间距离为d接上电源0 现将一带有电荷q、面积也是S而 如图所示，试求导体片C的电势。B的面积都是S ,Ub12-12 .一空气平板电容器，极板后，A板电势U A V ， B板电势厚度可忽略的导体片 C平行插在两极板的中间位置，plpl解：由题意，VEab Ebc -，而：Eab22AA，Ebc0Adoqdros则:a (Vqd ) o2s)T导体片C的电势：Uc UCBecb-(Vd)22 oS12-13 两金属球的半径之比为 1 : 4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势 能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？解: (1)设小球r1R，大球a 4R，两球各自带有电量为q，有:接触之前的电势能： wo2 2q_q4 oR 4 o4R(2)接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为q1，大金属球带电为q2，有住和0 R2q1q22q ，联立解得:q12qT，q28q5那么，电势能为:2q14 o R2q24 o4R4 225q4 o R64 2q254 o4R25Wo。I I i IA思考题1212- 1. 平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q和 q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指岀这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，两板的电场线接近板面时应该垂直板面。12- 2 在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示已知 A上的电荷面密度为，则在导体板 B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答:12-3 充了电的平行板电容器两极板 (看作很大的平板)间的静电作用力 F与两极板间的电压 U之间的关系是怎样的？答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。12-4. 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为d处(d R)，固定一点电荷q，如图所示，用导线把球壳接地后，再把地线撤去选无穷远处为电势零点，则球心0处的电势为多少？ 答: Uo12-5.在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一带有电荷为 Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体 A的 电势U A和导体B的电势U B时，可得什么结论？答：U A和U B都是等势体，U A40 R3UbQ40 R34 oRi1R2习题1313-1 .如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为 P（沿x轴）（1）P P0 ；（2）xPo 一R。解：可利用公式乙P dSdSsPc0S dS算出极化电荷。2 Rsin (Rd )(1)PPo时，由P cos 知 1 F0 cos2R2F0q1P0cos2R sin d0 sin 2d2 002 0_ xx Rcos2PP0 二2 F0 cosF0cosF0 cos(2)R时，RR首先考虑一个球的环形面元，有:q2oPoCOS22 R2sin d2 R2p0 0 cos2 dcos2 R2F034 R2P。cos303213-2 平行板电容器，板面积为100cm ，带电量8.9 10 7 C，在两板间充满电介质后，其场强为1.4 106 V/m，试求：（1）介质的相对介电常数E解：（1）由(2)0 r，有: P 0( rQ0ESr ; ( 2)介质表面上的极化电荷密度。8.9 10 78.85 10 12 1.4 106 100 10 47.181)E7.6610 5 C m213-3 .面积为S的平行板电容器，两板间距为dd，求：（1）插入厚度为3，相对介电常数为 r的电介质,d其电容量变为原来的多少倍?2）插入厚度为3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍?解：（1）电介质外的场强为:E00而电介质内的场强为:所以，两板间电势差为：Q SC -那么，U UEr0 rS(2 r 1)dC。，而0Sd，二 C0（2）插入厚度为C1 C2有：d3的导电板，可看成是两个电容的串联,0S 3 0sd /3 d ，d3C1C2C1|c。C02C22 d13-4 在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度d3分别为0与 （绝对值），试求：（1）电介质内的场强 E ；（2）相对介电常数 r。1（q q）解：（1）v v 0sE dS 由：，有:（丁给岀的是绝对值）E（2）又由，有：13-5 在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？（已知电介质的相对介电常数为 r）P dS P，考虑到Pq0（ r 1）解：由q有:OsV V 0sE dSv0( r 1)EOsq q得:q0 联立，有:1）q,q0( r 1)q q13-6.如图所示，和R2，相对电容率为半径为R的导体球带有电荷 q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为 R解：利用介质中的高斯定理(1)r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。 V V Osd dS(2)r R0 时，E1RiR2 r R1 时,E3导体内外的电位移为:D由于E2Ro时，_Q4 r 0r2DrR3r R0，D 0。所以介质内外的电场强度为:DQ40r2R2 时,E4+Q40r213-7. 圆柱形电容器，外柱的直径为 4cm选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度内柱的直径可以适当0大小为E0200 kV /m，试求该电容器可能承受的最高电压。解：由介质中的高斯定理，有:R V v E d r rUrd r rrT击穿场强为E。E。，则UrRrE 0 Inr，dUr令drroU max，有:R伍1门rEln - rE00lnRr0Rr0e，REo147KVe13- 8. 平行板电容器，中间有两层厚度分别为 板面积为S ,求电容量。d1 和 d2的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2 ,极解：.D1D2EiE20 r2U而：E1d 1E2d2d1d20 r10 r20Sd1d2r1 r2S r2d 1r1d2r1r2有:r2we13-9 利用电场能量密度E2解：首先求出场强分布:尹2dVE1计算均匀带电球体的静电能,Qr40R3Q40r2Qr40R3)2 4E23Q2200R13-10.半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为 4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.10 C时，求：（1）系统储存了多少电能？ （2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？解：（1）先求场强分布：E1R1E2EE3q20rRir R2R2r R3E3q40r2R3考虑到电场能量密度WeE2，有：球与球壳之间的电能:亠 E2dV2球壳外部空间的电能：R2R1r2drw2亠E2dV2R3（4j0rr2dr0R3系统储存的电能：W W1 W21.8210 4J ；（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为5而外表面所带电荷不变，那么：W W2 8.1 10 J0,13-11 .球形电容器内外半径分别为R和R2，充有电量Q。w 1 Q2We结果与按2 C算得的电容器所储电能值相等。(i)解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为:1Q20rwe利用电场能量密度E2，有电容器内电场的能量:0E2dVR2%(4社)24 r2dr0rUr(2 )由R22dr4 r2R2)则球形电容器的电容为:1 Q2W4那么，2 CC 2UR1R2R1R20 r2 r1Q2(R2 R1)80R1 R2。（与前面结果一样）R1)R241.01 10 J58.1 10 J，所以W10求电容器内电场的总能量；（2）证明此，(R1rR2Q（RR；）Q(R240尺只2Ri)Q2R Ri)0 RR213- 12 .一平行板电容器的板面积为 S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为 r的均匀介质，分别 求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度 0不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U不变而把介质取出。解：(1)维持两板上面电荷密度0不变，有介质时:E2Sd 1 02Sd0 r E Sd20 r(D 0 rEW2取出介质后：E2Sd1 o2SdW W20Sd(1外力所做的功等于静电场能量的增加:丄)r(2 )维持两板上电压取出介质后:W W2 W1U不变，有介质时：Icu2丄仝u222 d2 討1)。W1-CU22rSU2(1)(2)oE：doE；dV 0 E a E b dVoVo 2说明等式后面三项能量的意义；A、B两电荷之间的相互作用能是指哪些项？将A、B两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？B所形成的电场的能量，第三项是两个Vo 2(3)答：第一项表示点电荷 A所形成的电场的能量，第二项是点电荷 点电荷的相互作用能。思考题1313-1 介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：(T PcosB。13-2 .不同介质交界面处的极化电荷分布如何?答:1P1 en12P2 en2P (R P2)en即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量 之差。13-3介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发 生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。13-4 .真空中两点电荷qA、qB在空间产生的合场强为E Ea Eb .系统的电场能为1 2EdVo2 oEWe- oE2dVo 2大学物理第14章课后习题1 如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心0处的磁感应强度 B。01解：圆弧在O点的磁感应强度：b4 R丛，方向：e ；6R直导线在0点的磁感应强度:oIB2o osin6o sin( 6。)，方向:4 Rcos6o2 R.总场强：b (虫2R1)，方向314-2 如图所示，两个半径均为 度均为I的同方向电流。(1 )以0102连线的中点 大小；R的线圈平行共轴放置，其圆心01、02相距为a，0为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度(2)试证明：当a R时，o点处的磁场最为均匀。解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式:oI R22( R2 z2)232在两线圈中通以电流强(1 )左线圈在x处P点产生的磁感应强度:bpi右线圈在x处P点产生的磁感应强度:BP2oIR22R2 (| x)2f22oIR2(| x)23222 R2BP1和BP2方向一致，均沿轴线水平向右,P点磁感应强度：Bp Bp1 Bp2仝R23(x a)22 r23(x |)22(2)因为Bp随x变化，变化率为d b，若此变化率在dx0处的变化最缓慢，则0点处的磁场最为均匀，下面讨论0点附近磁感应强度随 对B求一阶导数：3 oIR22x变化情况，即对Bp的各阶导数进行讨论。dB(xR25(x |)2 厂(x |)R2 (x |)2C点 dBo时， -dx对B求二阶导数：(吗dx dx0，可见在0点，磁感应强度B有极值。23 oIRd2Bdx25r2(x |)22a、25(x 2)7r2 (x a)2F25r2(x 2厅a、25(x )7a、21R2 (x 加0时,d2Bdx22 a2 R2oIR7R2 (|)222可见，当aR时,d2Bdx2 x00, o点的磁感应强度 B有极小值,R时,R时,d2Bdx2d2Bdx20 , O点的磁感应强度 B有极大值，0，说明磁感应强度 B在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】14-3.无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy平面内半径为 R的半圆，试求通以电流I时0点的磁感应强度。v v解: V a段对O点的磁感应强度可用B d
展开阅读全文