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第二章 第四节 函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A. B.C. D.解析：由奇函数的定义验证可知正确，选D.答案：D2.(2010长郡模拟)已知二次函数f(x)x2ax4，若f(x1)是偶函数，则实数a的值为()A.1 B.1 C.2 D.2解析：f(x)x2ax4，f(x1)(x1)2a(x1)4x22x1axa4x2(2a)x5a，f(1x)(1x)2a(1x)4x22x1aax4x2(a2)x5a.f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，a22a，即a2.答案：D3.(2009浙江高考)若函数f(x)x2(aR)，则下列结论正确的是 ()A.aR，f(x) 在(0，)上是增函数B.aR，f(x)在(0，)上是减函数C.aR，f(x)是偶函数D.aR，f(x)是奇函数解析：当a16时，f(x)x2，f(x)2x，令f(x)0得x2.f(x)在(2，)上是增函数，故A、B错.当a0时，f(x)x2是偶函数，故C正确.D显然错误，故选C.答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f (x)ax4bcosxx，且f (3)7，则f (3)的值为 ()A.1 B.7 C.4 D.10解析：设g(x)ax4bcosx，则g(x)g(x).由f (3)g(3)3，得g(3)f(3)34，所以g(3)g(3)4，所以f (3)g(3)3431.答案：A5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)()A.2 B.2 C.98 D.98解析：由f(x4)f(x)，得f(7)f(3)f(1)，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1)2122，f(7)2.故选A.答案：A6.设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5) ()A.0 B.1 C. D.5解析：由f(1)，对f(x2)f(x)f(2)，令x1，得f(1)f(1)f(2).又f(x) 为奇函数，f(1)f(1).于是f(2)2f(1)1；令x1，得f(3)f(1)f(2)，于是f(5)f(3)f(2).答案：C7.已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在(0，)上单调递减，且f()0f()，则方程f(x)0的根的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.3解析：由于函数是偶函数，且在(0，)上单调递减，因此在(，0)上单调递增，又因为f()0f()f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(，)上也有一个交点，故方程f(x)0的根的个数为2.答案：C8.(2010滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2008xlog2008x，则方程f(x)0的实根的个数为.解析：当x0时，f(x)0即2008xlog2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)2008x，f2(x)log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0时，方程f(x)0也有一个实根，又因为f(0)0，所以方程f(x)0的实根的个数为3.答案：3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()A.f(3)f(2)f(1) B.f(1)f(2)f(3)C.f(2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)f(2)解析：由已知0，得f(x)在x0，)上单调递减，由偶函数性质得f(3)f(2)f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好.答案：A10.(2009福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是 ()A.yx21B.y|x|1C.yD.y解析：f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(2,0)上为减函数，而yx31在(，0)上为增函数，故选C.答案：C11.(2009山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数.若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4.解析：由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图象关于直线x2对称，又函数f(x)在0,2上是增函数，且为奇函数，故f(0)0，故函数f(x)在(0,2上大于0，根据对称性知函数f(x)在2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x2对称，故此两根之和等于4，根据f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(8,0)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x6对称，此两根之和等于12，综上四个根之和等于8.答案：812.(文)已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)的区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3.(理)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数.(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围.解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).又由f(1)f(1)，知，解得a2.故a2，b1.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k，即对一切tR有3t22tk0.从而判别式412k0，解得k.
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