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第二章第二章第十节第十节函数模型及其应用函数模型及其应用1.1.已知已知A A、B B两地相距两地相距 150150 千米，某人开汽车以千米，某人开汽车以 6060 千米千米/ /小时的速度从小时的速度从A A地到达地到达B B地，地，B B地地 停留停留 1 1 小时后再以小时后再以 5050 千米千米/ /小时的速度返回小时的速度返回A A地，把汽车离开地，把汽车离开A A地的距离地的距离x x表示表示为时为时t t( (小时小时) )的的函数表达式是函数表达式是( () )A.A.x x6060t t5050t t(0(0t t6.5)6.5)B.B.x x60 ,02.5150,2.53.515050 ,3.56.53.5ttt t D.D.x x60 ,02.5150,2.53.5150503.53.6.55ttttt (),(),解析：依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可解析：依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可. .答案：答案：D D2.2.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价 2020 元，羽毛球每只定价元，羽毛球每只定价 5 5 元，元，该店制定了两种优惠方法该店制定了两种优惠方法：买一副球拍赠送一只羽毛球买一副球拍赠送一只羽毛球；按总价的按总价的 92%92%付款付款. .某人某人计划购买计划购买 4 4 副球拍副球拍， 羽毛球羽毛球 3030 只只，两种优惠方法中两种优惠方法中， 更省钱的一种是更省钱的一种是( () )A.A.不能确定不能确定B.B.同样省钱同样省钱C.C.省钱省钱D.D.省钱省钱解析解析：种方法需种方法需 20204 45 5(30(304)4)210210 元元，种方法需种方法需(20(204 45 530)30)92%92%211.6211.6 元元. .故故种方法省钱种方法省钱. .答案：答案：D D3.(20103.(2010邯郸模拟邯郸模拟) )图形图形 M(M(如图所示如图所示) )是由底为是由底为 1 1，高为，高为 1 1 的等腰的等腰三角形及高为三角形及高为 2 2 和和 3 3 的两个矩形所构成，函数的两个矩形所构成，函数S SS S( (a a)()(a a0)0)是是题组一题组一一次函数与分段函数模型一次函数与分段函数模型图形图形M M介于平行线介于平行线y y0 0 及及y ya a之间的那一部分面积，则函数之间的那一部分面积，则函数S S( (a a) )的图象大致是的图象大致是( () )解析：依题意，当解析：依题意，当a a1 1 时，时，S S( (a a) )22aa( - )( - )2 2a a212a3 3a a；当当 1 1a a2 2 时，时，S S( (a a) )1 12 22 2a a；当当 2 2a a3 3 时，时，S S( (a a) )1 12 22 2a aa a5 52 2；当当a a3 3 时，时，S S( (a a) )1 12 22 23 311112 2，于是于是S S( (a a) )213 ,01212,122,5,23211,2aaaaaaaa 3 3由解析式可知选由解析式可知选 C.C.答案：答案：C C题组二题组二二次函数模型二次函数模型4.4.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 44%44%，若每年的平均增长率相同，若每年的平均增长率相同( (设为设为x x) )，则以下结论正确的是则以下结论正确的是( () )A.A.x x22%22%B.B.x x22%22%C.C.x x22%22%D.D.x x的大小由第一年的产量确定的大小由第一年的产量确定解析：解析：(1(1x x) )2 21 144%44%，解得，解得x x0.20.20.22.0.22.故选故选 B.B.答案：答案：B B5.5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润( (单位：万元单位：万元) )分别为分别为L L1 15.065.06x x0.150.15x x2 2和和L L2 22 2x x，其中其中x x为销售量为销售量( (单位单位：辆辆).).若该公司在这两地共销售若该公司在这两地共销售 1515 辆车辆车，则能获得则能获得最大利润为最大利润为( () )A.45.606A.45.606B.45.6B.45.6C.45.56C.45.56D.45.51D.45.51解析：依题意可设甲销售解析：依题意可设甲销售x x辆，则乙销售辆，则乙销售(15(15x x) )辆，辆，总利润总利润S S5.065.06x x0.150.15x x2 22(152(15x x) )0.150.15x x2 23.063.06x x30(30(x x0).0).当当x x1010 时，时，S Smaxmax45.6(45.6(万元万元).).答案：答案：B B6.6.某工厂生产某种产品固定成本为某工厂生产某种产品固定成本为 2 2 000000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加万元，并且每生产一单位产品，成本增加 1 10 0万元万元. .又知总收入又知总收入K K是单位产品数是单位产品数Q Q的函数的函数，K K( (Q Q) )4040Q Q1 12020Q Q2 2，则总利润则总利润L L( (Q Q) )的最大的最大值是值是. .解析：总利润解析：总利润L L( (Q Q) )4040Q Q1 12020Q Q2 21010Q Q2 2 0000001 12020( (Q Q300)300)2 22 2 500.500.故当故当Q Q300300 时，总利润最大值为时，总利润最大值为 2 2 500500 万元万元. .答案：答案：2 2 500500 万元万元题组三题组三指数函数模型指数函数模型7.7.手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低1 14 4，则现在价格为，则现在价格为 2 2 560560 元的手机，两元的手机，两年后价格可降为年后价格可降为( () )A.900A.900 元元B.810B.810 元元C.1440C.1440 元元D.160D.160 元元解析：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为解析：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为 256025601 11 14 44 4810.810.答案：答案：B B8.8.某市某市 20082008 年新建住房年新建住房 100100 万平方米万平方米，其中有其中有 2525 万平方米经济适用房万平方米经济适用房，有关部门计划有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加以后每年新建住房面积比上一年增加 5%5%， 其中经济适用房每年增加其中经济适用房每年增加 1010 万平方米万平方米. .按照按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是( (参考参考数据：数据：1.051.052 21.10,1.051.10,1.053 31.16,1.051.16,1.054 41.22,1.051.22,1.055 51.28)1.28)( () )A.2010A.2010 年年B.2011B.2011 年年C.2012C.2012 年年D.2013D.2013 年年解析：设第解析：设第n n年新建住房面积为年新建住房面积为a an n100(1100(15%)5%)n n，经济适用房面积为，经济适用房面积为b bn n25251010n n，由由 2 2b bn na an n得：得：2(252(251010n n) )100(1100(15%)5%)n n，利用已知条件解得，利用已知条件解得n n3 3，所以在，所以在 20122012 年年时满足题意时满足题意. .故选故选 C.C.答案：答案：C C9.9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y y( (毫克毫克) )与时间与时间t t( (小时小时) )成正比；药物释放完毕后，成正比；药物释放完毕后，y y与与t t的函数关系式为的函数关系式为y y( (1 11616) )t ta a( (a a为常数为常数) )，如图所示，根，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：据图中提供的信息，回答下列问题：(1)(1)从药物释放开始从药物释放开始，每立方米空气中的含药量每立方米空气中的含药量y y( (毫克毫克) )与时间与时间t t( (小时小时) )之间的函数关之间的函数关系为系为；(2)(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.250.25 毫克以下时，学生方可进教室毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室小时后，学生才能回到教室. .解析：解析：(1)(1)设设y yktkt，由图象知，由图象知y ykxkx过点过点(0.1,1)(0.1,1)，则，则1 1k k0.10.1，k k1010，y y1010t t(0(0t t0.1)0.1)；由由y y( (1 11616) )t ta a过点过点(0.1,1)(0.1,1)得得 1 1( (1 11616) )0.10.1a a，a a0.10.1，y y( (1 11616) )t t0.10.1( (t t0.1).0.1).(2)(2)由由( (1 11616) )t t0.10.10.250.251 14 4得得t t0.60.6，故至少需经过，故至少需经过 0.60.6 小时小时. .答案：答案：(1)(1)y y0.110 ,00.11,0.116tttt ()()(2)0.6(2)0.6题组四题组四函数模型的综合应用函数模型的综合应用10.10.鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票赛，预计卖出门票 2.42.4 万张，票价有万张，票价有 3 3 元、元、5 5 元和元和 8 8 元三种，且票价元三种，且票价 3 3 元和元和 5 5 元的张元的张数的积为数的积为 0.60.6 万张万张. .设设x x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数的纯收入为函数y ylg2lg2x x，则这三种门票的张数分别为，则这三种门票的张数分别为万张时可万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大以为失学儿童募捐的纯收入最大. .解析：该函数模型解析：该函数模型y ylglg 2 2x x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题入，应用于函数即可解决问题. .设设 3 3 元、元、5 5 元、元、8 8 元门票的张数分别为元门票的张数分别为a a、b b、c c，则，则2.4,0.6,358 ,abcabxabc 代入代入有有x x19.219.2(5(5a a3 3b b) )19.219.22 215ab13.2(13.2(万元万元) )，当且仅当当且仅当530.6abab 时等号成立，时等号成立，解得解得a a0.60.6，b b1 1，所以，所以c c0.8.0.8.由于由于y ylglg 2 2x x为增函数，即此时为增函数，即此时y y也恰有最大值也恰有最大值. .故三种门票的张数分别为故三种门票的张数分别为 0.60.6、1 1、0.80.8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. .答案：答案：0.60.6、1 1、0.80.811.(201011.(2010沈阳模拟沈阳模拟) )沪杭高速公路全沪杭高速公路全长长16166 6千米千米. .假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低公路后以不低于于 6 60 0 千米千米/ /时且不高时且不高于于 12120 0 千米千米/ /时的速度匀速行驶到杭州时的速度匀速行驶到杭州. .已知该汽车已知该汽车每小时的运输成本每小时的运输成本y y( (以元为单元以元为单元) )由可变部分和固定部分组成由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度可变部分与速度v v( (千千米米/ /时时) )的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为 0.020.02；固定部分为；固定部分为 200200 元元. .(1)(1)把全程运输成本把全程运输成本y y( (元元) )表示为速度表示为速度v v( (千米千米/ /时时) )的函数的函数，并指出这个函数的定义域并指出这个函数的定义域；(2)(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？解：解：(1)(1)依题意得：依题意得：y y(200(2000.020.02v v2 2) )166v166(0.02166(0.02v v200v)(60)(60v v120).120).(2)y(2)y166(0.02v166(0.02v200v) )1661662 22000.02v 664(664(元元).).当且仅当当且仅当 0.020.02v v200v即即v v100100 千米千米/ /时时取等号时时取等号. .答：当速度为答：当速度为 100100 千米千米/ /时时，最小的运输成本为时时，最小的运输成本为 664664 元元. .12.(12.(文文) )某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午示，从上午 6 6 点到中午点到中午 1212 点，车辆通过该市某一路段的用时点，车辆通过该市某一路段的用时y y( (分钟分钟) )与车辆进入该与车辆进入该路段的时刻路段的时刻t t之间的关系可近似地用如下函数给出：之间的关系可近似地用如下函数给出：y y3221362936,69,84455,910,84366345,1012.ttttttttt 求从上午求从上午 6 6 点到中午点到中午 1212 点，通过该路段用时最多的时刻点，通过该路段用时最多的时刻. .解：解：(1)(1)当当 6 6t t9 9 时，时，y y3 38 8t t2 23 32 2t t36363 38 8( (t t2 24 4t t96)96)3 38 8( (t t12)(12)(t t8).8).令令y y0 0，得，得t t1212 或或t t8.8.当当t t8 8 时，时，y y有最大值有最大值. .y ymaxmax18.75(18.75(分钟分钟).).(2)(2)当当 9 9t t1010 时，时，y y1 18 8t t55554 4是增函数，是增函数，当当t t1010 时，时，y ymaxmax15(15(分钟分钟).).(3)(3)当当 1010t t1212 时，时，y y3(3(t t11)11)2 21818，当当t t1111 时，时，y ymaxmax18(18(分钟分钟).).综上所述，上午综上所述，上午 8 8 时，通过该路段用时最多，为时，通过该路段用时最多，为 18.7518.75 分钟分钟. .( (理理) )某厂生产某种零件某厂生产某种零件，每个零件的成本为每个零件的成本为 4040 元元，出厂单价定为出厂单价定为 6060 元元，该厂为了鼓该厂为了鼓励销售商订购励销售商订购，决定每一次订购量超过决定每一次订购量超过 100100 个时个时，每多订购一个每多订购一个，多订购的全部零件多订购的全部零件的出厂单价就降的出厂单价就降 0.020.02 元，但实际出厂单价不能低于元，但实际出厂单价不能低于 5151 元元. .(1)(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 5151 元？元？(2)(2)设一次订购量为设一次订购量为x x个，零件的实际出厂单价为个，零件的实际出厂单价为P P元，写出函数元，写出函数P Pf f( (x x) )的表达式的表达式. .(3)(3)当销售商一次订购当销售商一次订购 500500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 10001000 个个，利利 润又是多少元？润又是多少元？解解： (1)(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为设每个零件的实际出厂价格恰好降为 5151 元时元时， 一次订购量为一次订购量为x x0 0个个， 则则x x0 0100100606051510.020.02550.550.因此因此，当一次订购量为当一次订购量为 550550 个时个时，每个零件的实际出厂价恰好降为每个零件的实际出厂价恰好降为 5 51 1元元. .(2)(2)当当 0 0 x x100100 时，时，P P6060；当当 100100 x x550550 时，时，P P60600.02(0.02(x x100)100)6262x x5050；当当x x550550 时，时，P P51.51.所以所以P Pf f( (x x) )60(0 100),62(100 550),(N).5051(550),xxxxx (3)(3)设销售商的一次订购量为设销售商的一次订购量为x x个时，工厂获得的利润为个时，工厂获得的利润为L L元，则元，则L L( (P P40)40)x x220(0 100),22(100 550),(N).5011(550),xxxxxxxx 当当x x500500 时，时，L L60006000；当当x x10001000 时，时，L L11000.11000.因此，当销售商一次订购因此，当销售商一次订购 500500 个零件时，该厂获得的利润是个零件时，该厂获得的利润是 60006000 元；如果订购元；如果订购 1001000 0个，利润是个，利润是 1100011000 元元. .
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