2011年高考数学第二轮复习 三角函数教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：三角函数第1课时 三角函数与三角变换考纲指要：主要考察三角函数的图象与性质，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明等三角变换的基本问题。考点扫描：1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；2函数ysinx的图象变换出ysin(x)的图象；3两角和与差的三角函数，二倍角公式。考题先知：例1.不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值 分析：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 解法一 sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二 设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80= 点评：题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 例2某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境污染指数与时间x（小时）的函数关系为，其中a为与气象有关的参数，且。若函数的最大值为当天的综合污染指数，并记作。（1）求函数的表达式； （2）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问该市目前的综合污染指数是否超标？解：（1）设，则原函数可化为，当时，由于的图象为线段或折线，故的最大值在端点或折点处取得，又当的图象为折线时，在折点处的t值为，而，所以的最大值为=，而,由方程组得，从而（2）由（1）知：在上是增函数，故，因此该市目前的综合污染指数没有超标。复习智略：例3.设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值 分析：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 解 由y=2(cosx)2及cosx1，1得 f(a)f(a)=,14a=a=2,+或2a1=，解得a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kZ，ymax=5 点评：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力 学生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 检测评估：1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A B 2 C D 或22给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，则称函数y=f(x)在D上封闭。若定义域D1=（0，1），则下列函数：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；其中在D1上封闭的有（ ）个。 A1 B2 C3 D43 函数y=xcosx的部分图像是( )4 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A 非奇非偶函数B 仅有最小值的奇函数C 仅有最大值的偶函数D 既有最大值又有最小值的偶函数5、函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）A、； B、； C、； D、6函数y=sin（2x+）的图象通过如下变换： 得到y=sinx的图象。7 函数f(x)=()cosx在，上的单调减区间为_ 8 设0，若函数f(x)=2sinx在，上单调递增，则的取值范围是_ 9已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx，则函数f(x)的最小正周期是 。当x = 时，f(x)取得最小值 ；10已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_ 11.已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证：12.已知向量，已知函数（1）求函数的最值与最小正周期；（2）求使不等式 成立的 的取值范围。点拨与全解：1 解析 a1，tan+tan=4a0 tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),则(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0 解得tan=2 答案 B2解：（1）f1()=0(0,1)，f(x)在D1上不封闭； f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，0f2(1)f2(x)f2(0)=1， f2(x)(0,1)f2(x)在D1上封闭； f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，0=f3(0)f3(x)f3(1)=1， f3(x)(0,1)f3(x)在D1上封闭； f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，cos1=f4(1)f4(x)f4(0)=1， f4(x)(cos1,1)(0,1)f4(x)在D1上封闭； 综上所述，选C。3 解 函数y=xcosx是奇函数，图像不可能是A和C，又当x(0, )时，y0 答案 D4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+1 答案 D5解：，其中是奇函数，所以M+N=2，故选D。6.y=sin（2x+）7 解 在,上，y=cosx的单调递增区间是,0及, 而f(x)依cosx取值的递增而递减,故,0及,为f(x)的递减区间 8 解 由x，得f(x)的递增区间为,，由题设得9解：f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)，f(x)的最小正周期T=且当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2 10解 ,0 +,sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)11解： 又为锐角 都大于0 , , 又 12、解： (1)的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知 又 的取值范围是 第2课时 解三角形考纲指要：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。考点扫描：1直角三角形中各元素间的关系：（1）三边之间的关系；（2）锐角之间的关系；（3）边角之间的关系。2斜三角形中各元素间的关系：（1）三角形内角和；（2）正弦定理；（3）余弦定理；3三角形的面积公式。考题先知：例1。在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？分析： 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题 解 (1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30 在ACD中，据正弦定理得，答 此时船距岛A为千米 点评： 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系 例2已知ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB() (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域 分析： 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意|的范围 解 (1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定义域为(，)(，1 (2)设x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，则4x1230 4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0 即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是减函数 (3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2 故f(x)的值域为(，)2，+ 点评：学生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题 复习智略：例3已知ABC中满足()2，a、b、c分别是ABC的三边（）试判断ABC的形状并求sinAsinB的取值范围； （）若不等式a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc，对任意的a、b、c都成立，求k的取值范围7解：（）()2， ()2() 即()2，即0，ABC 是以C为直角顶点的直角三角形， sinAsinBsinAcosAsin(A)，A(0，) ，sinAsinB的取值范围为 （）在直角ABC中， acsinA，bccosA若a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc，对任意的a、b、c都成立，则有k，对任意的a、b、c都成立， c2sin2A(ccosAc)c2cos2A(csinAc)c2(csinAccosA) sin2AcosAcos2A sinA1cosAsinAcosAsinA 令tsinAcosA，t，设f(t)ttt11f(t)t11，当t1 上时 f(t)为单调递减函数，当t时取得最小值，最小值为23，即k23， 所以k的取值范围为（，23）点评：本题是平面向量与三角函数相结合的问题，运用平面向量的运算的意义转化为三角函数的边角关系，进而运用三角函数的图象与性质求值域第小题将不等式恒成立的问题转化为求三角函数的最值，其中运用了换元法检测评估：1 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )A 1 B 2 C 3 D 42ABC中，则ABC的周长为（ ）A BC D3如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形4在中，则满足条件的三角形有（ ） （A）一解 （B）两解 （C）无解 （D）不能确定5已知两个向量集合M=（cos，），R，N（cos，sin）R，若MN，则的取值范围是（ ）A.（3，5） B.,5 C.2，5 D.5，解：由条件得：，故选B。6 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_ 7 在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_ 8. 如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮.9 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=，则A、B、C的值分别为 10.给出问题：已知中，满足，试判定的形状某学生的解答如下：由条件可得，去分母整理可得，故是直角三角形该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上_11在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？12.已知ABC的面积S满足 , 且 , 与的夹角为.(I) 求的取值范围;(II)求函数的最小值.点拨与全解：1 解析 其中(3)(4)正确 答案 B2解：在中，由正弦定理得：化简得AC=，化简得AB=，所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+=3+。故选D。3解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，所以是钝角三角形。故选D。4由得，故选C。6 解析 A+B+C=，A+C=2B，答案 7 解析 A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180 cos(2A+C)=，sin(2A+C)= C为最大角，B为锐角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)= cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1= 答案 8 解 R=rcos，由此得 ，9 解 由a、b、3c成等比数列，得 b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C) sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C)，解得cos(A+C)= 0A+C，A+C= 又AC=A=，B=，C=10不正确，失掉这一情形，故是等腰三角形或直角三角形。OABvt2(1k)t4kt1511 设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.由余弦是理得, 即,整理得,要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且,解得, 故当船速在内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时人可以追上小船.12.解:(1)由题意知, ,由, 得, 即由得, 即.又为与的夹角, , .(2), ., 即时, 的最小值为3.