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第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算题组一导数的概念及运算1.设f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0 ()Ae2 Be C. Dln2解析：f(x)x×1×lnx1lnx，由1lnx02，知x0e.答案：B2设f0(x)cosx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2010(x) ()Asinx Bsinx Ccosx Dcosx解析：f1(x)(cosx)sinx，f2(x)(sinx)cosx，f3(x)(cosx)sinx，f4(x)(sinx)cosx，由此可知fn(x)的值周期性重复出现，周期为4，故f2010(x)f2(x)cosx.答案：D3(2009·安徽高考)设函数f(x)x3x2tan，其中0，则导数f(1)的取值范围是 ()A2,2 B， C，2 D，2解析：f(x)sin·x2cos·x，f(1)sincos2sin()0，sin()，1，f(1)，2答案：D4设f(x)(axb)sinx(cxd)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcosx.解：由已知f(x)(axb)sinx(cxd)cosx(axb)sinx(cxd)cosx(axb)sinx(axb)(sinx)(cxd)cosx(cxd)·(cosx)asinx(axb)cosxccosx(cxd)sinx(acxd)sinx(axbc)cosx.又f(x)xcosx，必须有即解得ad1，bc0.题组二导数的几何意义5.(2009·辽宁高考)曲线y在点(1，1)处的切线方程为 ()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1解析：y()，ky|x12.l：y12(x1)，即y2x1.答案：D6(2010·福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3 Cf(x)lnx Df(x)sinx解析：设切点的横坐标为x1，x2则存在无数对互相垂直的切线，即f(x1)·f(x2)1有无数对x1，x2使之成立对于A由f(x)ex0，所以不存在f(x1)·f(x2)1成立；对于B由于f(x)3x20，所以也不存在f(x1)·f(x2)1成立；对于C由于f(x)lnx的定义域为(0，)，f(x)0，对于Df(x)cosx，f(x1)·f(x2)cosx1·cosx2，当x12k，x2(2k1)，kZ，f(x1)·f(x2)1恒成立答案：D7(2009·宁夏、海南高考)曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_解析：yexx·ex2，y|x03，切线方程为y13(x0)，y3x1.答案：y3x18(2009·福建高考)若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2ax.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)0有解，即2ax0有解，a，a(，0)答案：(，0)9已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)31，直线l的方程为y(31)(xx0)x016，又直线l过点(0,0)，0(31)(x0)x016，整理得，8，x02，y0(2)3(2)1626，k3×(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，又kf(x0)31，31，解之得x02，y0(2)3(2)1626，k3×(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)314，x0±1，或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.题组三导数的灵活应用10.下图中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1) ()A B C. D或解析：f(x)x22ax(a21)，导函数f(x)的图象开口向上又a0，其图象必为第(3)个图由图象特征知f(0)0，且a0，a1.故f(1)11.答案：B11(文)(2010·开原模拟)设a0，f(x)a2bxc，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0，则点P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为()A0， B0， C0，| D0，|解析：yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的范围为0，0f(x0)1，即02ax0b1，x0，0x0，即点P到曲线yf(x)对称轴的距离的取值范围为0，答案：B(理)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是 ()A. B2 C3 D0解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2xy30，此切点到直线2xy30的距离最短，即斜率是2，则y|xx0·(2x1)|xx0|xx02.解得x01，所以y00，即点P(1,0)，点P到直线2xy30的距离为，曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.答案：A12(文)设t0，点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线试用t表示a，b，c.解：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)0，即t3at0.因为t0，所以at 2.g(t)0，即bt2c0，所以cab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f(t)g(t)而f(x)3x2a，g(x)2bx，所以3t2a2bt.将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.(理)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，和直线m：ykx9，又f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)f(x)3ax26x6a，f(1)0，即3a66a0，a2.(2)直线m恒过定点(0,9)，先求直线m是曲线yg(x)的切线，设切点为(x0,36x012)，g(x0)6x06，切线方程为y(36x012)(6x06)(xx0)，将点(0,9)代入，得x0±1，当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由f(x)0得6x26x120，即有x1或x2，当x1时，yf(x)的切线方程为y18；当x2时，yf(x)的切线方程为y9.公切线是y9.又有f(x)12得6x26x1212，x0或x1.当x0时，yf(x)的切线方程为y12x11；当x1时，yf(x)的切线方程为y12x10，公切线不是y12x9.综上所述公切线是y9，此时存在，k0.
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