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第二章 第九节 函数与方程题组一函数零点的判定1.若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)·f(2)的值 ()A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定解析：若函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(2)f(2)<0.若不是变号零点，则f(2)f(2)>0.答案：D2.设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ()A.0,1 B.1,2C.2，1 D.1,0解析：f(1)31(1)21<0，f(0)3001>0，函数f(x)3xx2在区间1,0内存在零点.答案：D3.(2010·苏北三市联考)若方程lnx2x100的解为x0，则不小于x0的小整数是.解析：令f(x)lnx2x10，则f(5)ln50，f(4)ln4204x05不小于x0的最小整数是5.答案：5题组二函数零点的求法4.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ()A.f(x)4x1 B.f(x)(x1)2C.f(x)ex1 D.f(x)ln(x)解析：4个选项中的零点是确定的.A：x；B：x1；C：x0；D：x.又g(0)402×0210，g()2×210，g(x)4x2x2的零点介于(0，)之间.从而选A.答案：A5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ()A.5 B.4 C.3 D.2解析：f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)0，f(2)f(5)f(2)f(1)f(4)0.答案：B6.设函数f(x)则函数F(x)f(x)的零点是.解析：当x1时，f(x)2x22x0，x.当x1时，x22x0，410，x，又x1，x.函数F(x)f(x)有两个零点和.答案：，题组三函数零点的应用7.若二次函数yax2bxc中a·c<0，则函数的零点个数是 ()A.1个 B.2个 C.0个 D.不确定解析：cf(0)，aca·f(0)<0.a与f(0)异号，即函数必有两个零点.答案：B8.已知函数f(x)x|x4|5，则当方程f(x)a有三个根时，实数a的取值范围是.A.5a1 B.5a1 C.a5 D.a1解析：f(x)x|x4|5在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线ya与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是5<a<1.答案：A9.(2009·山东高考)若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.答案：(1，)10.已知关于x的二次函数f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意tR，方程f(x)1必有实数根；(2)若t，求证：方程f(x)0在区间(1,0)及(0，)内各有一个实数根.解：(1)证明：由f(1)1知f(x)1必有实数根.(2)当t时，因为f(1)34t4(t)0，f(0)12t2(t)0，f()(2t1)12tt0，所以方程f(x)0在区间(1,0)及(0，)内各有一个实数根.11.已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.解：若a0，则f(x)2x3显然在1,1上没有零点，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.当a时，yf(x)恰有一个零点在1,1上；而a时，经检验不 符合要求.当f(1)·f(1)(a1)(a5)0时，得1a5，因当a5时，方程f(x)0在1,1 上有两个相异实根，故1a5时，yf(x)在1,1上恰有一个零点；当yf(x)在1,1上有两个零点时，则解得a5或a.综上所述，实数a的取值范围是a|a1或a.
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