(整理)落球法测重力加速度

基础物理设计性实验实验名称： 落球法测重力加速度指导老师：李老师实验组员：王金秋落球法测重力加速度实验仪器和用具：圆玻璃筒、秒表、螺旋测微计、游标卡尺、物理天平、温度计 密度计、小钢球、镊子、米尺、细线、蓖麻油。实验原理：在基础物理实验中，根据斯托克斯公式，用落球法测定液体的粘 度，此实验中重力加速度g是作为已知量。在这个实验的基础上，我 们做了改进，用以下两种方法测重力加速度。方法一：当液体各部分之间有相对运动时，接触面之间有内摩擦力，阻碍 液体的相对运动，这种摩擦力称为粘滞力，液体的这种性质称为粘滞 性。粘滞力的大小与接触面处的速度梯度成正比，比例系数为液体的粘滞系数。当半径为r的光滑圆球，以速度 在均匀的无限宽广的液体中 运动时，若速度不大，球也很小，在液体中不产生涡流的情况下，斯 托克斯指出，球在液体中所受到的阻力 F为F = 6 应丁 r（ 1）式中 为液体的粘度，此式称为斯托克斯公式。当质量为m。、体积为V的小球在密度为，的蓖麻油中下落时，作用 在小球上有三个力，即重力mg，液体的浮力：-Vg，液体的粘 性阻尼力6二r。这三个力在一条直线上，重力向下，浮力和阻力向 上（如图1）。球刚开始下落时，速度屮很小，阻尼力不大，小球加速 下降。随着速度的增加，阻力逐渐增大，速度达到一定值时，阻 尼力和浮力之和等于重力，此时物体运动的加速度等于零,?Vg小球匀速下落,m og(2)此时的速度称为终极速度，由此式可得:(3)mog土二r3代入上式，得:6 二 r(4)由于蓖麻油在容器中，而不满足无限宽广的条件,这时实际测得的速度o和上述式中的理想条件下的速度 之间存在如下关系:7 2镭)(1 3-3h)(5)式中R为盛蓖麻油圆筒的内半径，h为蓖麻油的高度，将(5)式代入(4)式，得:6十0 rm计(6)又由于此实验不是在理想状态下，存在涡流，因此需要进行修正，此实验雷诺系数Re-並以10，斯托克斯公式修正为F = 6 (1 旦 Re1619则考虑此项修正后的重力加速度测得值1280 Re 2)( 7)g0等于6 二r、0 (12.4)(13.3)R也(11一12) ( 8)实验时，由Re =生広求出Re,代入(8)式，计算出go的最佳值方法二:实验原理和1的原理基本一样，在1的原理推导中我们得到了(6)式，即:6： r 0 (12.4)(13.3)g-RhZ43(m- - -rr)3此式为对速度(-)修正后的公式，R为盛蓖麻油圆筒的内半径, h为蓖麻油的高度， -是小钢球在蓖麻油中匀速下落时的速度(即 讥二L丄为测量时小钢球下落的高度，T为对应测量高度L的时间)。 将-=T代入上式得：6 -rL (12.4)(13.3)(9)gRh_43T (m0 宀)36兀r (1 十 2.4 匸)(1 + 3.3-)现在令aRL( 10)m- _ 兀r3 P3于是(9)式变为：L 二 gT(11)a上式还可以写为：L二bT 其中(b)(12)a测出不同L的值和对应的时间T，可以通过最小二乘法求出 L T拟合直线，求出b值,进而求出g。实验内容：1.用修正后的公式：go6 二 rL (1 2.4 )(13.3 )(1 旦 Re Re2)Rh 16128043T (m o r3)3计算。实验装置如图2所示，在圆筒上分别设置标 记N1和2,对N1、2间距离L,油筒内半径R, 油的深度h,温度及密度，选取适当的仪器去 测量。 用密度计测量蓖麻油的密度，温度计 测量蓖麻油的温度t; 用米尺测出N1、N2间的距离L和油筒内 蓖麻油的高度h; 用游标卡尺从不同方向多次测量油筒外直径D 用螺旋测微计测量油筒厚度d ; 选取50颗大小均匀的小刚球，用物理天平称量其质量m; 用螺旋测微计测量小钢球的直径d，用镊子取一小钢球在油筒中心处无初速度释放，用秒表测量小钢球在蓖麻油中通过N1和N2间的时间T； 不改变L的长度，重复步骤分别测出10颗小钢球的直径d和 对应的时间T；2.方法2 用螺旋测微计选取10颗直径相等的小钢球，并记录直径。（理论上认为小钢球直径完全相等，忽略其大小不一得细微影响。） 用米尺测量Ni和N2间距L,用镊子取其中一颗小钢球，在油筒 的中心处无初速度释放，并用秒表测量小钢球在蓖麻油中通过 Ni和 2间的时间T； 改变Ni和N2间的距离L,重复步骤并测量不同L值和其所对 应的时间T （共10组）； 计算重力加速度g及其标准不确定度。实验结果方法1得到的实验数据为：50颗小钢球的质量m二6.54g ；Ni和N?间距L =14.9cm ；圆玻璃筒壁厚度d二2.082mm ；油高h二30.80cm ；圆玻璃筒外径D= 52.80mm。温度t = 10.1C.i（次数）12345678910d(mm)3.1803.1753.1803.1813.1803.1793.1783.1823.1803.175T(s)10.4810.7010.5010.4810.4410.4410.3810.5010.3110.40表1方法2得到的实验数据为：50颗小钢球的质量m =6.55g ；小钢球的直径d=3.179mm圆玻璃筒壁厚度d2.082mm ；油高h= 30.80cm温度 t =10.1c .圆玻璃筒外径D = 52.80mm。i（次数）12345678910L(cm)18.7017.7016.7015.7014.7013.7012.7011.7010.709.70T(s)12.8912,0611.3310.70表10.03! 29.388.597.927.286.61数据处理1. 运用（8）式进行计算，即:Re 19 Re 2)16 12806r 0 (12.4)(13.3)R也(1(m。43、r :-)3Tl，mo5o，雷诺系数Red,R證上式可变为:此方法的实验误差有很多，但我们只考虑其中几个，即：仪器误差和计算误差（测量误差在这里不做处理）。仪器误差有：螺旋测微 计、游标卡尺、米尺误差；计算误差我们用10个gi做近似处理，即:计算如下:1（g） - g）2n（n1）米尺误差：巴h、L） = = ! = 0.06cm v3J 3=0.012mm游标卡尺误差:0.02螺旋测微计误差: 0 01A （d、d） = 丁 = = 0.006mmV3（39.87 9.64 9.84 9.87 9.90 9.90 9.94 9.85 10.02 9.9110二 9.874m /s2将gi、g和n代入咂2栏話&得:2（g） = 0.048m/s。所以总的不确定度为:（g）-（h、L）2（D）（d、d ）（g）2 =0.049m/s2故实验结果为:g = （9.874 二 0.049）m/s22. 由表2画出散点的L-T图，L-T图如下:可见测得的数据是一条近似过原点的直线。于是可以设拟合直线为:将表2列表如下:i（次数）T(s)L(cm)-1-2/ 2、Ti (s )Ti Li (s m)113.2218.70174.76241.04212.3917.70145.44213.43311.6616.70128.37189.22411.0315.70114.49167.97510.3614.70100.60147.446r 8.7113.7087.98128.5178.9212.7073.79109.0988.2511.7062.7392.6697.6110.7053.0077.9710P 6.949.7048.1664.18刀100.09142.001000.041421.42于是得正规方程组为：10100.090_ 142.00100.091000.04Lb 111421.42解方程组得:由( 12)b = 1.42cm/s 式：即卩L = bT其中（b=g）可知g二ab，其中a6二 r (12.4)(13.3)43 cm0 r :R = D -d 禾口 m023二-代入上式得：503二 d (11 .2 d)(13.3-)R2hm50-1 d 3 ?6将实验所得的各项数据代入上式得:a = 693.49s 4于是:2 2g = ab = 693.49 1.42cm/s = 984.76cm/s此方法的误差我们只考虑最小二乘法计算时的误差，即：g送（T）（LL）/l - r 2 b匹（人T）2 （匸）V - 2?代入数据得：? = 0.99s=0.71cm/s2故实验结果为：2g =（984.76 _0.71）cm/s实验总结贵阳市重力加速度的参考值是：g = 9.75m/s2 ,通过两种不同 方法的实验结果，我们可以看出，方法 2比方法1更有优越性。可能 的优越性有：数据处理方法要合理些（方法1是代值后取平均的结 果，而方法2则是用最小二乘法对数据进行处理）：实验本身的方 法要合理些。方法2虽然有其优越性，但与参考值还有一定的差距， 还有需要改进的地方。如果改用光电门测量时间，误差会减小。蓖麻油的粘滞系数值与温度的关系见下表温度（乜）0101112131415161718n (pa s)50.32.422.202.001.831.671.511.371.251.15