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第第1讲两个基本计数原理讲两个基本计数原理考点梳理考点梳理1分类加法计数原理完成一件事，有n类办法：在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N _种不同的方法m1m2mnm1m2mn 两个原理的联系与区别 联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可【助学助学微博微博】1“海山联合2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有_种考点自测考点自测答案答案1802(2012全国大纲卷改编)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_种答案答案4803(2012广州模拟)已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成_个集合答案答案264(2010湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为_答案答案115.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有脱落的可能情况共有_种种答案答案15【例1】 若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，问集合Aa1，a2，a3的不同分拆种数有多少个？考向一分类加法计数原理考向一分类加法计数原理 解若A1 ，则A2a1，a2，a3； 若A1a1，则A2a2，a3或a1，a2，a3； 若A1a2，则A2a1，a3或a1，a2，a3； 若A1a3，则A2a1，a2或a1，a2，a3； 若A1a1，a2， 则A2a3或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3； 若A1a1，a3， 则A2a2或a1，a2或a2，a3或a1，a2，a3； 若A1a2，a3， 则A2a1或a1，a2或a1，a3或a1，a2，a3； 若A1a1，a2，a3，则A2 或a1或a2或a3或a1，a2或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3 故不同的分拆种数为13234827. 方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？解把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个个)；第二类，有两条公共边的三角形共有第二类，有两条公共边的三角形共有8(个个)由分类加法计数原理知，共有由分类加法计数原理知，共有32840(个个)【例2】如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？考向二分步乘法计数原理考向二分步乘法计数原理 方法总结 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”【训练2】 由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字解(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成4364(个)3位数(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数43224(个)(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？考向三涂色问题考向三涂色问题解解法一法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂涂A有有5种涂法；涂种涂法；涂B有有4种方法；涂种方法；涂C有有3种方法；涂种方法；涂D有有3种方法种方法(还可以使用涂还可以使用涂A的颜色的颜色)根据分步计数原理共有根据分步计数原理共有5433180(种种)涂色方法涂色方法 方法总结 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法数解法一解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论由题设，四棱锥即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点的顶点S、A、B所所染的颜色互不相同，它们共有染的颜色互不相同，它们共有54360(种种)染色方法染色方法当当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若，若C染染2，则则D可染可染3或或4或或5，有，有3种染法；若种染法；若C染染4，则，则D可染可染3或或5，有，有2种染法，若种染法，若C染染5，则，则D可染可染3或或4，有，有2种染法可见，当种染法可见，当S、A、B已染好时，已染好时，C、D还有还有7种染法，故不同的染色方法有种染法，故不同的染色方法有607420(种种) 法二以S、A、B、C、D顺序分步染色 第一步，S点染色，有5种方法； 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法； 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种)高考对两个计数原理应用的考查，多以填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键热点突破热点突破28两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【示例】 (2012四川卷改编)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条审题与转化审题与转化 第一步：以第一步：以y的系数的系数a的取值为标准进行分的取值为标准进行分类令类令a依次取值依次取值1,2,3，2，3.第二步第二步：在：在a值确定的情况下，再依次确定值确定的情况下，再依次确定c、b2值值 规范解答 第三步：当a1时，若c0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线； 若c0，则c有4种取值，b2有两种，共有248(条)抛物线； 当a2时，若c0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线； 若c0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线， c取2时，b2有2个取值，共有2条抛物线， c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线， c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线 共有3223313(条)抛物线 同理，a2，3,3时，共有抛物线31339(条) 由分类加法计数原理知，共有抛物线39138262(条)反思与回顾反思与回顾 第四步：本题体现了分类讨论思想在计数第四步：本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用原理解题中的作用1(2012北京卷改编)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_个解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇对(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12618(个)答案18高考经典题组训练高考经典题组训练2(2012浙江卷改编)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种答案答案663(2012课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种答案答案124(2011北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)答案答案145(2012大纲卷改编)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种解析利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有32212(种)答案12
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