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102,20.-11APAP设矩阵，求点在 所对应的线性变换的作用下的像 的坐标-210-2-2A20-12-2( 22)P因为，所以像 的坐标是，解析：11242.1013计算11121 1+1 31 2+1 4=01340 1+1 30 2+1 446=34解析：22103.1yx求矩阵对应的线性变换把直线变成的直线方程2121101022222320320 xxyyxxyxyyxyxyyxxyyxyxy 矩阵对应的线性变换为则，可解析：得，代入，得，即，所以为所求的直线方程1,24,5(31)5.,41MAABBM已知在一个二阶矩阵的变换作用下，点变成了点，点，变成了点，求矩阵14352511242251.35131221.12abMcdababcdcdabacdbabccddM 解析：设，则由，得，所以因此，2222521.TxxyyT变换 是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换 作用下所得的曲线方程000-1.10TMxyxy 变换 所对应的变换矩阵为 设是变换后曲线上任一解析：点，与之对应的变换前的点是，0000002222.221221.221.xyxxMyxyyxx yyxxyyxxyy 则，即 将其代入， 得所以变换后的曲线方程为二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量【例1】求在矩阵 对应的变换作用下得到点(2, -4)的平面上的点P的坐标.3213 【解析】设P点的坐标为(x , y), 则 , 即 ，解得 . 所以P点的坐标为 .232413xy 32234xyxy 2111411xy 2 14(,)11 11 解答这种类型的题，首先分清哪一个是变换前的点，哪一个是变换后的点，然后把点的坐标写成列向量的形式；其次根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则进行解题.2 R,21P1(12)MP4,0aMaa已知矩阵，其中若【点，在变式练习 】矩阵的变换下得到点 （），求 的值214=2120224,3由题意可知所【以得解解析】aaa 【例2】已知曲线C的方程为 x2+y2=1，伸缩变换和反射变换的矩阵分别为 和 , 求曲线C在和变换下曲线 C的方程，并说明曲线的特征.10102 0110 常见的平面交换常见的平面交换 【解析】设点P(x , y)为曲线C上任意一点，通过变换后对应的点为P(x, y). 由 , 得 ，代入 x2+y2=1， 得 ,1011022xxxyyy 2 xxyy 224 1xy 即曲线C在伸缩变换的作用下的曲线C的方程为 x2+4y2=1, 其图形为焦点在 x 轴上，中心在坐标原点的椭圆. 又由 ， 得 ， 代入 x2+y2=1, 得 . 故曲线C在反射变换的作用下的曲线C的方程为 x2+y2=1, 其图形仍为圆心在坐标原点，半径为1的圆.0110 xyxyxy xyyx 221yx 变换是点到点的对应关系，可用点的坐标关系来刻画.矩阵通过变换作用，使曲线方程所对应的图形产生变化.图形的变换依托矩阵这一重要的数学模型，矩阵控制着图形的变换. 【变式练习2】分别给出下列矩阵表示的变换对图中ABC的作用结果，其中A(-3 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0). (1) ; (2) ; (3) ; (4) .1002 1 10 1 0 11 0 13223122 【变式练习2】(1)矩阵 表示横坐标保持不变， 纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故ABC变为ABC，其中A(-3 , 0) , B(0 , -4) , C(2 , 0). (2)矩阵 表示纵坐标不变，横坐 标依纵坐标比例增加的切变变换，故ABC变为ABC，其中A(-3 , 0) , B(2 , 2) , C(2 , 0).1002 1 10 1 (3)矩阵 表示将图形变换为与之 关于直线 y=x 对称的反射变换，故ABC变为ABC，其中A(0 , -3) , B(2 , 0) , C(0 , 2).0 11 0 (4)矩阵 表示绕原点逆时针旋转60的旋转变换，故ABC变为ABC，其中A , B , C .13223122 33 3(,)22 (3,1) (1, 3)12,01102023标变 变 换对 应阵压 缩 变 换对 应阵xOyAB 【 例例在在 直直 角角 坐坐系系中中 ， 切切的的 矩矩】的的矩矩变换的复合与矩阵变换的复合与矩阵的乘法的乘法 1122 求向量在复合变换作用下的像；复合变换把单位正方形区域变成了什么图形？ 【解析】(1)因为AB= , 所以(AB) = , 即向量= 在复合变换作用 下的像为 .11120422010202 11714222024 12 1724 (2)因为 i= , j= , 又()i= , ()j= , 从而1110220020 100021202 111 2220 100 1 2040 122 复合变换中先施行右边的变换，再施行左边的变换.123MM二阶矩阵和对应的变换对正方形区域的作用如【变式练习 】下图所示： 1221121sinMMMM MyxM写出一个满足条件的矩阵和；根据的结果，令，求曲线 在矩阵变换下的曲线方程 120010011,.110021010102.21100102sin()()MMMyxP xyMQ xy由题意有，设 上任意一点，在对应的变换作用【下的解析】对应点为， ，000000102102sin2sin2sin0.xxyyxyyxyxxyxy 则,所以.又由，得-，即所求的曲【方程为】线解析.()()(, )()().MM112 111021 2011二阶矩阵对应的变换将点 ， 与扬州模拟考分别变换成点 ， 与 ， 求矩阵试 ,1120,111211121 22033 4224abMcdababcdcda bac dbMa bcc dd 设矩阵 则且所以，解得，即】【解析1 043.1 22.41阵BB 已已知知求求矩矩 【解析】设B= , 则 , 故 , 解得 . 故B= .abcd 1 01 222abBacbd 432421abacbd 4342abcd 4342 3.已知二阶矩阵M满足 , , 求 .1100M 1212M 211M 【解析】设M= . 由 , 得 ，所以a=1, c=0. 由 , 得 ，所以b=1 , d=2.abcd 1100M 10ac 1212M 22abcd 所以M= .所以M2= .所以 .1 10 2 1 11 11 30 20 20 4 211 31210 414M 4.设M= ，N= , 试求曲线 y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程.1 00 2 10201 111 000220 20102MN 【解析】 设(x , y)是曲线 y=sinx 上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x, y).则 ，所以 , 即 .将其代入 y=sinx，得 y=sin2x，即y=2sin2x.即曲线 y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程为 y=2sin2x.10202xxyy 122xxyy 2 12xxyy 12222210(00)0195.(20114)xyaAabbxyab已知圆在矩阵 ， 对应的变换作用下变为椭南通三模，求卷圆， 的值2222222222()()0.0()1941.94194.0032.P xyCAP xyxaxxaxybyybyxyP xya xb yxyababab 设， 为圆 上的任意一点，在矩阵对应的变换下变为另一个点， 则，即 又点，在椭圆上， 所以由已知条件可知， 所以，因为 ， ，所以，解析：1.矩阵与向量乘法的意义应以映射与变换的观点来认识、理解.2.线性变换与二阶矩阵是一一对应的，既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，又可以通过线性变换来研究对应的二阶矩阵.()()()“”AAAf ggf 1212345性质：的几何意义即说明矩阵变换把平面上的直线 点 变换成直线 点矩阵乘法的性质只满足结合律，不满足交换律和消去律复合变换是有序的， 先 后
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