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4 (1,22)1( 24.).abkk设平面 的一个法向量是，平面 的一个法向量是， ， ，若，则( 24)(1,22)224.kkk 因为，所以， ，所以，所以解析：12 2()33 3，2,2,14,5,3.2.ABACABC 已知向量，则平面的单位法向量为()22045302 .1(12,2)12 2()33 3xyzxyzxyzyxx 设法向量为， ， ，则，得令，得，所以单位法向量为， 解析：nn10312(21,3)( 4,2).3.llxx 已知两互相垂直的直线 ， 的方向向量分别为， ，则实数ab00,241230103xx 两条直线垂直，即是它们的方向向量垂直，数量积等于 ，即析，解之得解：a b0 xyz0,0,01,1,1.4()aOM xyzaxyz已知平面 经过点，且是平面 的法向量， ， 是平面 内的任意一点，则 ， ， 满足的关系是 ea() 1,1,10.OM exyzxyz 依题意得， ，解析：平行11111111522.ABCDABC DEABFACAEEBCFAFEFABCD如图，正方体中， 是上的点， 是上的点，且，则与平面的位置关系是111111113.ABa ADb AAcEFDBEFDBEFABCDEFABCD 取，为基底，易得而，即，且平面，所以平面解析：abcabc用向量方法证明平用向量方法证明平行与垂直问题行与垂直问题 11111113454121.ABCABCACBCABAADABACBCACCDB在直三棱柱中，点 是的中点求证：；平面【例 】1134590 .ABCACBCABACBCACBCCCCACBCCxyz在中，故由勾股定理知，所以、两两垂直如图，以点 为证明：坐标原点，直线、分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 111111110,0,03,0,00,0,40,4,00,4,4( 2,0)13,0,0(04,4)0.20,2,23(0,2)3,0,42CACBBDACBCAC BCACBCCBC BEEDEAC 则、，因为， 所以，所以设与的交点为 ，则 因为， 11111111.2.DEACDEACDECDBACCDBACCDB 所以，所以又因为平面，平面， 所以平面 利用空间向量的坐标运算可以解决线线垂直、线面平行与垂直问题，关键是合理建立坐标系，写出点的坐标和需要向量的坐标.本题主要考查线线垂直、线面平行的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量解决几何问题的能力. 如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AD，M、N分别为PC、AB的中点. 用向量的运算方法证明: (1)MN平面PAD； (2)MN平面PCD.1【变式练习 】,0,0(,0)(0,0)(0,0)ABaPAADbB aC abDbPbPDHAH建立如图所示坐标系，设，则， 取的中点 ，明连接证：， 22(0,0)()(0)22 2 22 2(0)(0)2 22 21.2(0),0,00022aa b bb bNMHb bb bNMAHNMAHMNPADAHPADMNPADbbabbNM PDNM DCNMPD 则， ， ，所以， ， 因为，且平面，平面，所以平面因为， ， 所以， 所以.NMDCPDDCDMNPDC，又因为，所以平面用向量方法解探索用向量方法解探索性问题性问题111111112ABCDABC DEFABBCBBMD MEFBM在棱长为 的正方体中，、 分别为棱和的中点，试问在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，【例 】说明理由11.1110,0,1(10)(1,0)221,1,1DDxyzDEFB以为 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间直 角 坐 标 系因 为 正 方 体 的 棱 长 为 ， 所 以， ， ，解 析 ： 1111111111(1,1)(01)1(1,11)(01)21(0,1)2“”MBBMD MEBFBD MEFBD MFBD MEB 因为点在棱上， 所以可设， 所以， 因为平面的充要条件为且，11111111(1,11) (01)211021(1,11) (0,1)21102110,122D M EBD M FBMD MEFBMBB 所以， 且， 解得，且 因此，存在点，使得平面，且是的中点 从本例可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”“作”“证”，只需通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量解题的优越性. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，在对角线A1C上是否存在这样的一点E，使BEA1D？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由.1【变式练习 】11,0,0(0,0)(0,0)(,0)AABADAAxyzB aDaAaC aa以点 为坐标原点，分别以、所在直线为 轴、 轴、 轴建立坐标系 设， ，解析：11111121()()(0,0)()()(0)01()0.2AEACaaaaa laAaE aaaaBEaaaaaADaaBEADBE ADaa aaEEAC 由题意，可设， ， 又， ，得， 从而， ， 若，则， 所以，解得故存在点 ，且点 是的1.BEAD中点，使用向量方法解探索与用向量方法解探索与平行有关的问题平行有关的问题60221.PABCDPAABCDABCDABCPAACaPBPDaEPDPE EDPCFBFAEC空间图形中，平面，是菱形，点在上，且在上是否存在一点 ，使平面？并证明你【例3】的结论310,0,0(,0)223121(,0)(0,0)(0,0)(0)2233AADAPyzAPADxABaaCaaDaPaEaa以 为坐标原点，、所在直线分别为轴、 轴，过 点垂直于平面的直线为 轴，建立空间直角坐标系如图所示由题设条件可得，相关各点的坐标分别为， ， ，解析：，2131(0)(,0)33223131(0,0)(),()2222AEaa ACaaAPa PCaaa BPaaaFPC 所以， ， ， ， ， ， 设点 是棱上的点，121131()01223131()()222231 (1)(1)(1)2233(1)2211(1)22PFPCaaaBFBPPFaaaaaaaaaBFACAEaaaa ，其中，则， ，令，得，即12122212413311(1)133aaa ，即，13113222113. .222 .BFACAEFPCBF AC AEBFAECFPCBFAEC 解得，即， 亦即 是的中点时， ， ， 共面又平面，所以当 是棱的中点时，平面 在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在利用共面向量定理建立方程是本题得以解决的关键这种“以求代证”的方法值得仔细品味1111111111103ABCDABC DEFABC DDDC CEFAD 如图，已知正方体中，点 ， 分别是底面和侧面的【变中心，若，求实数式练习 】的值11121,1,20,1,12,0,2( 1,01)( 2,02)01201.2EFAEFADEFAD 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，则点，所以向量，由，得，解得解析：0,1,0 ( 1,01) 2,11. ,1( ,0)ABCPxyPAABCP已知点 ， ， 的坐标分别为，点 的坐标是， 若平面， 则点 的坐标是_.1,0,2(,1)( 111)2,0,1,1020121,0,2PAxyABACPAABCPAABPAACPAABxyPAACxyxyP 依题意得， ， ，若平面，则且 ，即，且 ，所以，故 点的坐标是解析： (12,11)4,2,3(61,4)2. ABCABC已知点，则的形状是_(5,17)(23,1)ACBCACBCABC 求得，所以，所以的形状是直角解析：三角形直角三角形1111119030133.ABCABCACBBACBCA AMCCABAM在直三棱柱中，是的中点求证：11116( 3 06)0,1,0( 0,0)(0,0)2(3 06)(316)0.ABAMAMABAM ABABAM 如图，建立空间直角坐标系，则， ，所以， ， ，所以，所证以明：1133.4.ABCDADEFMNBDAEBMBDANAEMNCDE如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，求证：平面3 ,3 ,3(2 ,0)0,3 ,00.ABADAFabcNMNAABBMacCDEbNM ADNMADMNCDENMCDE 立如图所示空间直角坐标系，设，的长度分别为，则，证明：又平面的一个法向量，所以，得因为平面，所以平面 1.用空间向量的方法处理位置关系问题，关键在于建立空间直角坐标系，或恰当地选取基向量，将其他向量用坐标或基向量表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系. 2.掌握平面的法向量的多种求法，特别注意法向量在证明线面、面面关系中的地位和作用.
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