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阶段复习课第一章【答案速填答案速填】必要条件且补集全称命题必要条件且补集全称命题存在量词存在量词类型类型 一一 四种命题及其关系四种命题及其关系 四种命题的相互关系与命题特点四种命题的相互关系与命题特点(1)(1)四种命题的特点与关系四种命题的特点与关系: :把把“若若p,p,则则q q”作为原命题作为原命题, ,对其对其条件条件p p和结论和结论q q作作“换位换位”和和“换质换质( (否定否定) )”描述描述, ,分别得到逆分别得到逆命题、否命题与逆否命题命题、否命题与逆否命题, ,统称为四种命题统称为四种命题: :p,qp,q“换位换位”逆命题逆命题: :“若若q,q,则则p p”; ;p,qp,q“换质换质”否命题否命题: :“若若p,p,则则qq”; ;p,qp,q“换位换位”且且“换质换质”逆否命题逆否命题: :“若若q,q,则则pp”. .(2)(2)对于四种命题的考查特点对于四种命题的考查特点: :四种命题及其关系是高考命题四种命题及其关系是高考命题的内容之一的内容之一, ,主要以选择题和填空题的形式出现主要以选择题和填空题的形式出现, ,一般不单独一般不单独命题命题, ,通常与函数、方程、不等式、空间点、线、面的位置关通常与函数、方程、不等式、空间点、线、面的位置关系以及数列等其他知识结合起来进行考查系以及数列等其他知识结合起来进行考查. .【典例典例1 1】设原命题设原命题“已知数列已知数列aan n 各项都不为零各项都不为零, ,若若aan n 不是不是常数列常数列, ,则则aan n 不是等差数列或不是等比数列不是等差数列或不是等比数列”, ,有下列说法有下列说法: :原命题是真命题原命题是真命题; ;原命题的逆命题是真命题原命题的逆命题是真命题; ;原命题的原命题的否命题是真命题否命题是真命题; ;原命题的逆否命题是假命题原命题的逆否命题是假命题. .其中其中, ,所有正确说法的序号为所有正确说法的序号为. .【解析解析】原命题原命题: :已知数列已知数列aan n 各项都不为零各项都不为零, ,若若aan n 不是常数不是常数列列, ,则则aan n 不是等差数列或不是等比数列不是等差数列或不是等比数列; ;逆命题逆命题: :已知数列已知数列aan n 各项都不为零各项都不为零, ,若若aan n 不是等差数列或不不是等差数列或不是等比数列是等比数列, ,则则aan n 不是常数列不是常数列; ;否命题否命题: :已知数列已知数列aan n 各项都不为零各项都不为零, ,若若aan n 是常数列是常数列, ,则则aan n 是等差数列且是等比数列是等差数列且是等比数列; ;逆否命题逆否命题: :已知数列已知数列aan n 各项都不为零各项都不为零, ,若若aan n 是等差数列且是是等差数列且是等比数列等比数列, ,则则aan n 是常数列是常数列. .显然显然, ,原命题的否命题和逆否命题都是真命题原命题的否命题和逆否命题都是真命题, ,而原命题与其而原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题分别是等价命题逆否命题、原命题的逆命题与否命题分别是等价命题, ,所以原所以原命题、否命题都是真命题命题、否命题都是真命题, ,故正确故正确, ,错误错误. .答案答案: :类型类型 二二 充分条件、必要条件与充要条件充分条件、必要条件与充要条件 充分条件、必要条件与充要条件及其命题特点充分条件、必要条件与充要条件及其命题特点(1)(1)从真假命题的条件与结论以及数集的包含关系理解从真假命题的条件与结论以及数集的包含关系理解: :对于对于充分条件、必要条件与充要条件的判定充分条件、必要条件与充要条件的判定, ,实际上是对命题真假实际上是对命题真假的判定的判定, ,记记“若若p,p,则则q q”为真命题为真命题, ,记为记为“p pq q”, ,“若若p,p,则则q q”为假命题为假命题, ,记为记为“p qp q”; ;同时设集合同时设集合A=x|p(x),B=x|q(x),A=x|p(x),B=x|q(x),A A与与B B的包含关系有的包含关系有: :文字语言文字语言符号语言符号语言图形语言图形语言p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件q q是是p p的必要不充分条件的必要不充分条件“p pq q”, ,且且“p qp q”A AB Bp p与与q q互为充要条件互为充要条件p pq qA=BA=Bp p是是q q的既不充分也不必的既不充分也不必要条件要条件p qp q或或A A B,BB,B A A/ / /(2)(2)充分条件、必要条件与充要条件的命题趋势充分条件、必要条件与充要条件的命题趋势: :充要条件可充要条件可以与各章节内容相结合以与各章节内容相结合, ,所以是历年高考考查的热点之一所以是历年高考考查的热点之一, ,通通常以选择题、填空题进行考查常以选择题、填空题进行考查. .【典例典例2 2】(2013(2013衡水模拟衡水模拟) )“a0a0”是是“方程方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至至少有一个负根少有一个负根”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选A.A.先求先求“方程方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至少有一个负根至少有一个负根”的的充要条件充要条件: :若若a=0,a=0,则方程则方程2x+1=02x+1=0有一个负根有一个负根; ;若若a0,a0,要使方程要使方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0有负根有负根, ,必须必须 或或a0,a0,解得解得0a10a1或或a0.a0.所以方程所以方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至少有一个负根的充要条件为至少有一个负根的充要条件为a1.a1.由于由于a0a0a1,a1,且且a0 a1,a0 a1,所以所以“a0a0”是是“方程方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至少有一个负根至少有一个负根”的充分不必要条件的充分不必要条件. .a0,44a0 类型类型 三三 含有逻辑联结词的命题含有逻辑联结词的命题 逻辑联结词逻辑联结词“且且”“”“或或”“”“非非”与复合命题与复合命题(1)(1)复合命题复合命题: :“且且”“”“或或”“”“非非”叫做逻辑联结词叫做逻辑联结词. .不含逻辑不含逻辑联结词的命题称为简单命题联结词的命题称为简单命题. .由简单命题与逻辑联结词构成的由简单命题与逻辑联结词构成的命题称为复合命题命题称为复合命题, ,复合命题有三种形式复合命题有三种形式:pq;pq;p.:pq;pq;p.(2)(2)复合命题的真假复合命题的真假:p,q:p,q同真同真,pq,pq才为真才为真;p,q;p,q同假同假,pq,pq才为才为假假;p;p与与pp真假相反真假相反. .【典例典例3 3】设集合设集合A=x|-2-ax0,A=x|-2-ax0,命题命题p:1A,p:1A,命题命题q:2A.q:2A.若若pqpq为真命题为真命题,pq,pq为假命题为假命题, ,则则a a的取值范围的取值范围是是( () )A.0a1A.0a2a2B.0a1B.0a1或或a2a2C.1a2C.1a2D.1a2D.1a2【解析解析】选选C.C.若若p p为真命题为真命题, ,则则-2-a1a,-2-a11.a1.若若q q为真命题为真命题, ,则则-2-a2a,-2-a22.a2.依题意依题意, ,得得 pqpq真真, ,或或pp q q真真, ,即即 或或 1a2.1a2.0a1,a2a1,0a2，类型类型 四四 含有一个量词的命题及其否定含有一个量词的命题及其否定 全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的否定全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的否定(1)(1)全称命题强调任意性全称命题强调任意性: :全称命题全称命题“xM,p(x)xM,p(x)”强调集合强调集合M M中任意元素中任意元素x x都具有性质都具有性质p(x),p(x),因此因此, ,要证明全称命题是真命题要证明全称命题是真命题, ,需对集合需对集合M M中每一个元素中每一个元素x,x,证明证明p(x)p(x)成立成立; ;要判断全称命题是假命题要判断全称命题是假命题, ,只要在集合只要在集合M M中找到一个元素中找到一个元素x x0 0, ,使使p(xp(x0 0) )不成立即可不成立即可. .(2)(2)特称命题强调存在性特称命题强调存在性: :特称命题特称命题“x x0 0M,p(xM,p(x0 0) )”强调集强调集合合M M中存在一个元素中存在一个元素x x0 0具有性质具有性质p(xp(x0 0),),因此因此, ,要判断特称命题是真命题要判断特称命题是真命题, ,只需在集合只需在集合M M中找到一个元素中找到一个元素x x0 0, ,使使p(xp(x0 0) )成立即可成立即可; ;要证明它是假命题要证明它是假命题, ,需对集合需对集合M M中每个元素中每个元素x,x,证明证明p(x)p(x)不成不成立立. .【典例典例4 4】(2013(2013深圳高二检测深圳高二检测) )若函数若函数f(x),g(x)f(x),g(x)的定义域的定义域和值域都是和值域都是R,R,则则“f(x)g(x)f(x)g(x)”成立的充要条件是成立的充要条件是( () )A.A.x x0 0R,R,使使f(xf(x0 0)g(x)g(x0 0) )B.B.存在无数多个实数存在无数多个实数x,x,使得使得f(x)g(x)f(x)g(x)C.C.xR,xR,都有都有f(x)+ g(x)f(x)+ g(x)D.D.不存在实数不存在实数x,x,使得使得f(x)g(x)f(x)g(x)12【解析解析】选选D.D.由于函数由于函数f(x),g(x)f(x),g(x)的定义域和值域都是的定义域和值域都是R,R,要要满足对任意实数满足对任意实数x,x,都有都有f(x)g(x),f(x)g(x),即不存在实数即不存在实数x,x,使得使得f(x)g(x).f(x)g(x).选项选项A,BA,B不正确不正确. .对于选项对于选项C,C,由于由于xR,xR,都有都有f(x)+ g(x),f(x)+ g(x),从而有从而有f(x)-g(x)- ,f(x)-g(x)- ,所以所以f(x)g(x),f(x)g(x),而而xR,f(x)g(x),xR,f(x)g(x),不一定有不一定有f(x)+ g(x),f(x)+ g(x),所以所以xR,xR,都有都有f(x)+ g(x)f(x)+ g(x)是是f(x)g(x)f(x)2;m2;q:4xq:4x2 2+4(m-2)x+1=0+4(m-2)x+1=0无实根无实根2 2=16(m-2)=16(m-2)2 2-160,-160,解得解得1m3.1m3.当当p p真且真且q q假时假时, ,有有 m3;m3;当当p p假且假且q q真时真时, ,有有 1m2.1m2.综上所述综上所述, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是m|1m2m|1m2或或m3.m3.21m40,m0, m2,m1m3或m2,1m3【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知集合已知集合A=x| 2A=x| 2x x8,B=x|-1xm+1,8,B=x|-1x2C.m2 D.-2m2 D.-2m2【解析解析】选选A.A=x| 2A.A=x| 2x x8=x|-1x3,8=x|-1x3,xBxB成立的一个充分条件是成立的一个充分条件是xA,xA,AAB,m+13,B,m+13,即即m2.m2.12122.(20132.(2013黄冈高二检测黄冈高二检测) )下列命题中的假命题是下列命题中的假命题是( () )A.A.存在实数存在实数0 0和和0 0, ,使使cos(cos(0 0+0 0)=cos)=cos0 0coscos0 0+sin+sin0 0sinsin0 0B.B.不存在无穷多个不存在无穷多个0 0和和0 0, ,使使cos(cos(0 0+0 0)=cos)=cos0 0coscos0 0+ + sinsin0 0sinsin0 0C.C.对任意的对任意的和和,有有cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsinD.D.不存在不存在0 0和和0 0, ,使使cos(cos(0 0+0 0)cos)cos0 0coscos0 0-sin-sin0 0sinsin0 0【解析解析】选选B.B.当当=2k,kZ,R=2k,kZ,R时时,cos(+)=cos,cos(+)=cos,coscos+sinsin=cos,coscos+sinsin=cos,cos(+)=coscos+sinsin,cos(+)=coscos+sinsin,所以选项所以选项A A是真命题是真命题, ,选项选项B B是假命题是假命题. .选项选项C C是真命题是真命题, ,其否定是其否定是“存在存在0 0和和0 0, ,使使cos(cos(0 0+0 0) ) coscos0 0coscos0 0-sin-sin0 0sinsin0 0”是假命题是假命题, ,故选项故选项D D是真命题是真命题. .3.(20133.(2013北京高二检测北京高二检测) )如图如图, ,四面体四面体OABCOABC的的三条棱三条棱OA,OB,OCOA,OB,OC两两垂直两两垂直,OA=OB=2,OC=3,OA=OB=2,OC=3,D D为四面体为四面体OABCOABC外一点外一点. .给出下列命题给出下列命题: :不存在点不存在点D,D,使四面体使四面体ABCDABCD有三个面是有三个面是直角三角形直角三角形; ;不存在点不存在点D,D,使四面体使四面体ABCDABCD是正三棱锥是正三棱锥; ;存在点存在点D,D,使使CDCD与与ABAB垂直并且相等垂直并且相等; ;存在无数个点存在无数个点D,D,使点使点O O在四面体在四面体ABCDABCD的外接球面上的外接球面上. .其中真命题的序号是其中真命题的序号是( () )A.A. B.B. C.C. D.D.【解析解析】选选D.D.根据对称性根据对称性, ,只要取只要取O O关于平面关于平面ABCABC的对称点即的对称点即可可, ,错错; ;只要选取点只要选取点D D使得使得CA=CB=CD,CA=CB=CD,并且并且CD,AC,CBCD,AC,CB两两夹角两两夹角相等即可相等即可, ,错错; ;正确正确; ;以以OA,OB,OCOA,OB,OC为棱补长方体为棱补长方体, ,只要点只要点D D在在这个球面上即可这个球面上即可, ,正确正确. .4.(20134.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知命题已知命题p:p:xR,2xR,2x x33x x; ;命题命题q:q:xR,xxR,x3 3=1-x=1-x2 2, ,则下列命题中为真命题的是则下列命题中为真命题的是( () )A.pq B.A.pq B.pqpqC.pC.pq q D. D.ppq q【解析解析】选选B.B.对于命题对于命题p:p:取取x=-1,x=-1,可知为假命题可知为假命题, ,命题命题q:q:令令f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-1,-1,则则f(x)f(x)连续且连续且f(0)f(1)0,f(0)f(1)0,故故f(x)f(x)有零点有零点, ,即方即方程程x x3 3+x+x2 2-1=0-1=0有解有解,q:,q:xR,xxR,x3 3=1-x=1-x2 2为真命题为真命题, ,因此因此pqpq为真为真命题命题. .5.5.若命题若命题“x x0 0(1,2),(1,2),使使x x0 02 2+mx+mx0 0+40+40”是假命题是假命题, ,则则m m的取值范的取值范围是围是. .【解析解析】令令f(x)=xf(x)=x2 2+mx+4,+mx+4,依题意依题意, ,命题的否定命题的否定“x(1,2),x(1,2),使使x x2 2+mx+40+mx+40”是真命题是真命题, ,即即x x2 2+mx+40+mx+40对于对于x(1,2)x(1,2)恒成立恒成立, ,则则m m的取值范围是的取值范围是 m-5.m-5.答案答案: :(-,-5(-,-5 f 10,f 20m50,m406.(20136.(2013长沙高二检测长沙高二检测) )已知已知p=x|xp=x|x2 2-4ax+3a-4ax+3a2 20),0),q=x|xq=x|x2 2-x-60-x-60或或x x2 2+2x-80,+2x-80,若若pp是是qq的必要不充分条件的必要不充分条件, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解析解析】p=x|xp=x|x2 2-4ax+3a-4ax+3a2 20=x|ax0),0=x|ax0),q=x|xq=x|x2 2-x-60-x-60或或x x2 2+2x-80+2x-80=x|-2x3=x|-2x3或或x-4x2x2=x|x-4=x|x-4或或x-2,x-2,由于由于 p p是是 q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,即即 p p q,q, p p q,q,由互为逆否命题的等价性由互为逆否命题的等价性, ,得得p p q,pq,pq,q,故故x|ax3ax|ax3ax|x-4x|x0,a0,所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是a|a0.a|a0.
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