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第17章 勾股定理 第1课时【学习目标】:1了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。前置研究:1、直角ABC的主要性质是:C=90(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系: (2)若D为斜边中点,则斜边中线 (3)若B=30,则B的对边和斜边: 2、勾股定理的证明:方法一;如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。(斜边长为c,较长的直角边为b,较短的直角边为a)证明:小正方形的边长 小正方形的面积S1= 小正方形的面积S2= _ - S1 = S2即 = 方法二;已知:在ABC中,C=90,A、B、C的对边为a、b、c。求证:a2b2=c2。分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。左边S=_右边S=_左边和右边面积相等,即 化简可得:请再找出一种或两种证明勾股定理的方法,画图并写出证明过程(三)当堂检测1.在RtABC中, ,(1)如果a=3,b=4,则c=_;(2)如果a=6,b=8,则c=_;(3)如果a=5,b=12,则c=_;(4) 若ab=34,c=10则SRtABC=_。2、下列说法正确的是()第4题图S1S2S3A.若、是ABC的三边,则B.若、是RtABC的三边,则C.若、是RtABC的三边, 则D.若、是RtABC的三边, ,则3、一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )A斜边长为25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S125,S2144,则另一个的面积S3为_ (四)能力提高5、一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为 。6、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。 7、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。第17章 勾股定理 第2课时【学习目标】:1会用勾股定理进行简单的计算。2勾股定理的实际应用,树立数形结合的思想、分类讨论思想。前置研究:一、自学导航(课前预习)1、直角三角形性质有:如图,直角ABC的主要性质是:C=90,(用几何语言表示)ACB(1)两锐角之间的关系: ;(2)若B=30,则B的对边和斜边: ;(3)直角三角形斜边上的 等于斜边的 。(4)三边之间的关系: 。(5)已知在RtABC中,B=90,a、b、c是ABC的三边,则c= 。(已知a、b,求c)a= 。(已知b、c,求a)BC1m 2mA实际问题数学模型b= 。(已知a、c,求b).二、合作交流例1:一个门框的尺寸如图所示,一块宽2.2米,长3米的长方形木板能否从门框内通过? 例2、如图,一个3米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米,那么梯子底端B也外移0.5米吗?(计算结果保留两位小数)分析:要求出梯子的底端B是否也外移0.5米,实际就是求BD的长,而BD=OD-OBOBDCACAOBOD(BAC 三、当堂检测1、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面钢缆A到电线杆底部B的距离为 。2、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A、12 cm B、10 cm C、8 cm D、6 cm3、若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为 ,斜边上的高的长为 。4、一旗杆离地面6m处折断,其顶部落在离旗杆底部8m处,则旗杆折断前高 。5、如下图,池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点测得CB方向上一点,BC60m,AC20m,你能求出A、B两点间的距离吗?AEBDC6、如图,滑杆在机械槽内运动,ACB为直角,已知滑杆AB长100cm,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时,滑杆顶端A下滑多长? 第17章 勾股定理 第3课时学习目标:1能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步领会数形结合的思想。2会用勾股定理解决简单的实际问题。ABCD前置研究一、自学导航(课前预习)1、(1)在RtABC,C=90,a=3,b=4,则c= 。(2)在RtABC,C=90,a=5,c=13,则b= 。2、如图,已知正方形ABCD的边长为1,则它的对角线AC= 。二、合作交流例:用圆规与尺子在数轴上作出表示的点,并补充完整作图方法。步骤如下:1在数轴上找到点A,使OA ;2作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB ;3以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C(则OB和OC相等),则点C即为表示的点结合下方的数轴 (1)说出数轴上点A所表示的数 (2)在数轴上作出对应的点三、当堂检测1、你能在数轴上找出表示的点吗?请作图说明。2、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,则等腰三角形的高是 ,面积是 3、已知:如图,等边ABC的边长是6cm。(1)求等边ABC的高。 (2)求ABC的面积。4、已知:在RtABC中,C=90,CDAB于D,A=60,CD=,求线段AB的长。第17章 勾股定理的逆定理 第1课时学习目标:1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程;2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系;3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.学习过程前置研究一、复习回顾ABC1、勾股定理:直角三角形的两条_的平方_等于_的_,即_.2、填空题(1)在RtABC,C=90,8,15,则 。(2)在RtABC,B=90,3,4,则 。3、直角三角形的性质(1)有一个角是 ;(2)两个锐角 ,(3)在含30角的直角三角形中,30的角所对的 边是 边的一半(4)两直角边的平方和等于 二、合作交流1、怎样判定一个三角形是直角三角形?2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c5、12、13 7、24、25 8、15、17(1)这三组数满足吗?(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?猜想命题2:如果三角形的三边长、,满足,那么这个三角形是 角形问题二:命题1: 命题2: 命题1和命题2的 和 正好相反,把像这样的两个命题叫做 命题,如果把其中一个叫做 ,那么另一个叫做 由此得到勾股定理逆定理: 命题2:如果三角形的三边长、满足,那么这个三角形是直角三角形.已知:在ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且求证:C=90思路:构造法构造一个直角三角形,使它与原三角形全等,利用对应角相等来证明证明:三、展示提升1、判断由线段、组成的三角形是不是直角三角形:(1); (2)2、写出出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行,内错角相等(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等(3)全等三角形的对应角相等(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等四、达标检测1、以下列各组线段为边长,能构成三角形的是_,能构成直角三角形的是_(填序号)3,4,5 1,3,4 4,4,6 6,8,10 5,7,2 13,5,12 7,25,242、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( ) A5,6,7 B1,4,9 C5,12,13 D5,11,123、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是( )A、a=9,b=41,c=40 B、a=b=5,c= C 、abc=345 D a=11,b=12,c=154、若一个三角形三边长的平方分别为:32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是( ) A42 B52 C7 D52或75、命题“全等三角形的对应角相等”(1)它的逆命题是 。(2)这个逆命题正确吗?(3)如果这个逆命题正确,请说明理由,如果它不正确,请举出反例。第17章 勾股定理的逆定理 第2课时学习目标:1、勾股定理的逆定理的实际应用;2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合.前置研究一、复习回顾1、判断由线段、组成的三角形是不是直角三角形:(1);(2) (3)2、写出下列真命题的逆命题,并判断这些逆命题是否为真命题。(1)同旁内角互补,两直线平行;解:逆命题是: ;它是 命题。(2)如果两个角是直角,那么它们相等;解:逆命题是: ;它是 命题。(3)全等三角形的对应边相等;解:逆命题是: ;它是 命题。(4)如果两个实数相等,那么它们的平方相等;解:逆命题是: ;它是 命题。二、合作交流1、勾股定理是直角三角形的 定理;它的逆定理是直角三角形的 定理.2、请写出三组不同的勾股数: 、 、 .例1:“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?三、展示提升1、已知在ABC中,D是BC边上的一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求SABC.四、达标检测1、一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为 ,此三角形的形状为 。2、已知:如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=5,AD=,B=90,求四边形ABCD的面积. CABEN133、如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西n,问:甲巡逻艇的航向?第17章 勾股定理全章复习(2课时)学习目标:1、复习勾股定理及其逆定理,能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形. 2、:勾股定理及其逆定理的应用。前置研究一、复习回顾知识要点1:直角三角形中,已知两边求第三边91510241.勾股定理:若直角三角形的三边分别为,则 。公式变形:若知道,则 ;公式变形:若知道,则 ;公式变形:若知道,则 ;例1:求图中的直角三角形中未知边的长度: , .(1)在Rt中,若,则 .(2)在Rt中,若,则 .(3)在Rt中,若,则 .二、知识要点2:利用勾股定理在数轴找无理数。例2:在数轴上画出表示的点.在数轴上作出表示的点三、知识要点3:判别一个三角形是否是直角三角形。例3:分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )A12,15,17 B9,16,25 C5a,12a,13a(a0) D2,3,42、判断由下列各组线段,的长,能组成的三角形是不是直角三角形,说明理由.(1),; (2),;(3),; (4),;四、知识要点4:利用列方程求线段的长例4:如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DAAB于A,CBAB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?ADEBC 如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离五、知识要点5:构造直角三角形解决实际问题ABC例5:如图,小明想知道学校旗杆AB的高,他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能求出旗杆的高度吗?一透明的玻璃杯,从内部测得底部半径为6cm,杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中,露在杯口外的长度为2cm,则这玻璃杯的形状是 体.六、课后巩固练习(一)填空选择1、写出一组全是偶数的勾股数是 .2、直角三角形一直角边为12 cm,斜边长为13 cm,则它的面积为 .3、斜边长为l7 cm,一条直角边长为l5 cm的直角三角形的面积是( ) A60 cm2 B30 cm2 C90 cm2 D120 cm24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、,则以为边的正方形的面积为 .5、若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是 .6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm,16cm,20cm,则这块三角形铁皮余料的面积为 cm27、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行 cm(二)解答题1、在数轴上作出表示的点2、已知,如图在ABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高求:AD的长;ABC的面积3、如图,已知在ABC中,CDAB于D,AC20,BC15,DB9CABD图4(1)求DC的长;(2)求AB的长;(3)求证:ABC是直角三角形4、如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,顶角BAC=120,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。(结果保留根号)5、(如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACBECD90,D为AB边上一点,求证:(1);(2)6、有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长7、如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60方向,办公楼B位于南偏东45方向小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向求教学楼A与办公楼B之间的距离(结果精确到01米)(供选用的数据:1414,1732)
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