3导数与定积分

夷陵中学2013届高三第一轮复习数学学案 3.1导数的概念与运算一、知识回顾：1导数的概念：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即：说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导函数与导数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即；函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即。所以函数在处的导数也记作。3导数的物理和几何意义：物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（t0，s（t0）处导数的意义是t=t0处的瞬时速度。几何意义：函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。4常见函数的导数： （nR） ; 5.函数四则运算的导数： 6.复合函数的导数： y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导相乘回代。法则：y|= y| u|注意：求复合函数的导数时,应选好中间变量,搞清复合关系.二、范例分析：题型一：导数的概念例1. 设函数是可导函数，且，则 （ ）A0.5 B-1 C0 D-2点评：已知，则的值为 题型二：导数的物理和几何意义例2.质点运动方程是, 则质点在时的速度为 曲线在点A的切线方程为 函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率为 .题型三：求导数或导函数例3求在点x=10处的导数。点评： 分段函数的导数分段求，如本例中的导数例4. 求下列函数的导数：(1) (2) (3) (4) y=sin2 (5) y=(2x23)； (6) 点评：求较复杂的函数的导数时,应先化简再求导,如本题中的第(6)题.复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则按照复合次序从外向内逐层求导；基本步骤是：分解求导相乘回代。 题型四：利用导数求切线方程例5.求下列直线的方程：（1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线；点评： （1）过点P的切线不能等同于在P点处的切线；（2）求出两条切线，是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢？答案是否定的，由例题可知切线的条数取决于关于方程（或方程组）的解的个数；（3）若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导。例6. 已知曲线C：y=x33x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0），求直线l的方程及切点坐标.例7.对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是例8.（ ）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 （A） （B） （C） （D） 例9.设函数f(x)=ax+（a,bZ），曲线y=f(x)在点（2，f（2）处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.例10.已知函数x3+x2，数列 xn （xn 0）的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn）两点的直线平行（如图）。求证：当n时： （I）；（II）3.2 导数的简单应用一、知识回顾：1、函数的单调性：（1）若0则为常数函数. （2）如果非常数函数=在某个区间内可导，那么若0为增函数；若0为减函数.2、函数的极值：如果函数在点附近有定义，而且对附近的点，都有则函数的一个极小值，记作=；极大值与极小值统称为极值.3、极值与最值：（）极值是一个局部概念.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（）函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值；（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.4、求连续可导函数极值的步骤:求导数；求导数=0的根；列表；如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值5、闭区间上连续，在（）内可导的最大值与最小值的步骤：先求在（）内的极值；再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。二、范例分析：题型一：利用导数研究函数的单调性和单调区间例1.已知函数的图象在点M（1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间. 例2.设，求函数的单调区间点评：函数在其定义域内不一定单调，但可导函数单调递减和单调递增区间的分界点处，故可采用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间。具体步骤：求定义域；求导数 ；在定义域内解不等式为增区间；在定义域内解不等式为减区间。注意：函数的单调区间一定要在函数的定义域内；函数单调区间的分界点可能为导数为0的点、无定义点、不可导点；单调区间中间不能使用符号“”连接，而只能用“，”或者“和”字隔开。例3.若函数y=x3ax2+（a1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围.例4.设，点是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线。（1）用表示；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围。点评：已知在区间上的单调性求参数范围，应转化为恒成立问题：即或在上恒成立。注意防止导数在连续区间上为零。题型二：利用导数研究函数的极值与最值例5. 求函数的极值点评：确定函数定义域；若且在两侧异号，则是极值点，若但两侧同号，则不是极值点。例6. 设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值xf(x)f（x）x f(x)f（x） 点评：函数的极值不一定在导数为0的点处取得，但可导函数的极值点导数一定为0；不可导的点可能是极值点，也可能不是极值点。 例7.设函数。（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于。例8.若函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。 （1）求，的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。例9.已知函数，其中xR,为参数，且02（1）当时cos=0，判断函数f(x)是否有极值；（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数f(x)在区间内都是增函数，求实数的取值范围点评：注意极值与最值的区别与联系：可导函数求最值时，可将导数为0的点（又称“可疑点”）与端点处的函数值进行比较后直接得出最值（即无需讨论导数为0的点是否为极值点）。题型三：利用导数研究不等式或方程例10.已知，证明不等式。分析：构造辅助函数，只需证明在上递增即可。点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法。例11.设为实数，函数。（1）求函数的极值；（2）当为何值时，方程恰好有两个实数根。（3）当为何值时，方程恰好有两个实数根。题型四:导数在实际问题中的应用例12.用长为，宽为的长方形铁皮做一个无盖的容器：先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接而成（如图）。问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？点评：利用导数解决有关最值实际问题的步骤：审题，建立函数关系式；求导数，解方程；比较导数为的点与端点处的函数值，得出最值；按要求作答。注意：有关函数最值的实际问题一般指的是单峰函数，即实际问题中若在区间内只有一个点使且函数在该点有极大（或极小）值，则不需与端点值比较，这就是最大（或最小）值。题型五:与函数图像有关的问题例13.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（） A1个 B2个 C3个D 4个变式1若是的导数函数，的图像如图所示，则的图象可能是下面各图中的（ ）xy0abxy0abxy0abxy0abxy0abA B C DyxO12-13变式2函数y= f(x)在定义域内可导，其图象如图所示记y= f(x)的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)0的解集为（ ） A BC D3.3 导数的综合应用题型一：导数与不等式1、 已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（）当时， （）当时，2、已知函数（1）如，求的单调区间；（2）若在单调增加，在单调减少，证明：6. 3.已知函数f(x)=f(x)的导函数是 对任意两个不相等的正数，证明：当时， 4.（）已知函数，求函数的最大值；（）设，均为正数，证明：（1）若，则；（2）若=1，则+。题型二：曲线的切线5、已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式题型三：导数与概率6.A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为p，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，B得冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N。（1）求使Pp为最大的p值；（2）求使N的期望值为最大的p值及期望值。（3）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。题型四：导数与线性规划7.已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。题型五：导数与组合数8.已知，其中，设 （）写出；（）证明：对任意的，恒有 3.4 定积分知识梳理：1.概念:设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2.基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）3.定积分的性质（k为常数）；（其中acb。4.定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。题型一 计算定积分的值（1） （2）；（3）； （4）(5) （6）=题型2 求曲边图形的面积（湖南理） 例2（1)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1 C D(2)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ( ) （A） （B）4 （C） （D）6(3)如图1所示,阴影部分的面积是 .如图1 如图2 (4)如图2所示，阴影部分面积为 .题型3 定积分在物理中的应用例3（1）一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功。（2）质点运动的速度，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是_.在9s走过的路程是 位移是 题型4 定积分与其他知识的交汇例4.（1）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax（2）构造定积分证明不等式：求证：- 18 -