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考 向 案 考题解构视角拓展高频考点一:任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、诱导公式 (2011年江西卷)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且sin =- ,则y= .2 55 【解析】r= = ,且sin =- ,所以sin = =- ,解得y=-8.【答案】-822xy216y2 55yr216yy2 55真题索引情境构造角度切入2011年江西卷文14对三角函数定义的考查.代入正弦函数的定义公式即可求得y的值. 任意角的三角函数、同角三角函数关系与诱导公式是这两年江西卷高考命题的热点,但却很少单独命题,主要是在三角函数的求值、化简过程中,与和差角公式及倍角公式的综合应用中体现出来,体现了转化思想的应用,这也反映了高考的一个重要考向.切入角度说明 对三角函数的定义及倍角公式应用的考查.由三角函数定义可求出角的正切值,然后代入倍角公式.已知三角函数的值求值,是对同角三角函数基本关系式的考查.首先求得sin 的值,由同角三角函数关系式求得tan 的值,在求解过程中需要注意角的范围及三角函数值的符号. 角度探究:案例落实:1.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2等于( ) (A)-. (B)-. (C). (D).45353545【解析】依题意得tan =2,cos 2=cos2 -sin2 = = =-.故选B.【答案】B2222cossincossin221tan1tan352.若cos =-,且(,),则tan = .【解析】cos =-,且(,),sin =- =-,tan = =.【答案】 3532353221 cos 45sincos4343 高频考点二:三角函数的图像与性质1.(2012年江西卷)如右图,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA与OB的夹角为,以A为圆心,AB为半径作圆弧 与线段OA的延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发,甲先以速率1(单位:m/s)沿线段OB行至点B,再以速率3(单位:m/s)沿圆弧 行至点C后6BDCBDC停止;乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是( )【解析】由余弦定理知,cosAOB= = ,求得AB= ,由已知可知:当t1时,S(t)=t2tsin=t2,对应的2222OAOBABOA OB3252 312612函数图像为开口向上的抛物线的一部分;存在t0,使得当1t0时,甲乙两质点停止运动,S(t)的值恒定不变,对应图像为平行于x轴的直线. 故应选A.【答案】A1212123 52 323 52 322.(2012年新课标全国卷)已知0,00)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最小值.1216所以f(x)=sin xcos x+ =sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+.由于0,依题意得=,所以=1.(2)由(1)知f(x)= sin(2x+)+,1cos22x121212224122222412【解析】(1)因为f(x)=sin(-x)cos x+cos2x,所以g(x)=f(2x)= sin(4x+)+.当0 x时,4x+,所以sin(4x+)1,因此1g(x) ,故g(x)在区间0,上的最小值为1.224121644222412216 高频考点三:三角恒等变换1.(2012年江西卷)若 =,则tan 2等于( )(A)-. (B). (C)-. (D).sincossincos1234344343【解析】因为 =,所以 =-3=tan ,tan 2= =.【答案】Bsincossincos12sincos22tan1tan342.(2012年江西卷)已知f(x)=sin2(x+),若a=f(lg 5),b=f(lg),则( )(A)a+b=0. (B)a-b=0.(C)a+b=1. (D)a-b=1.415【答案】C 【解析】因为f(x)=sin2(x+)= = ,令lg 5=t,则lg=-t,所以a=f(lg 5)= ,b=f(lg)= ,所以a+b=1,故应选C.41cos(2)22x1 sin22x151 sin22t151 sin22t真题索引情境构造角度切入2012年江西卷文4考查同角三角函数间的基本关系、二倍角公式等.先利用同角函数间的关系求出tan ,再利用二倍角公式求出tan 2.真题索引情境构造角度切入2012年江西卷文9考查三角恒等变换、二倍角公式以及换元思想.先利用三角恒等变换化简f(x)的函数解析式,再通过换元寻找a,b之间的数量关系.从这两年江西卷的命题情况来看,对三角恒等变换的考查,常把三角恒等变换作为一种工具,与三角函数的性质、解三角形等进行综合考查.考查时,除了注重和差公式、倍角公式等的考查外,还有辅助角公式等的考查,因此,我们在复习过程中要注重公式间的内在联系和变形,要重视公式的逆用,不要在化简或证明上过于繁杂化和技巧化,尽量把握常规的变形方式. 角度探究:切入角度说明 考查同角三角函数关系及和角正弦公式.代入相应的公式解答,但在求解过程中要注意角的范围.考查sin cos 与sin 2的关系.平方即可,但要注意角的范围.案例落实:1.若cos =-,是第三象限的角,则sin (+)等于( ) (A)-. (B). (C)-. (D).【解析】为第三象限角,sin =- =-sin (+)=sin cos +cos sin =- ,选A.【答案】A4547 2107 21021021021cos 354447 2102.已知sin -cos = ,(0,),则sin 2等于( )(A)-1. (B)-. (C). (D)1.【解析】将sin -cos = 两边平方得2sin cos =-1, 即sin 2=-1.【答案】A222222 高频考点四:正弦定理、余弦定理及其应用1.(2012年江西卷)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,ABC的面积为2 ,求b,c.2即cos(B+C)=-,从而cos A=-cos(B+C)=.1313【解析】(1)由3cos(B-C)-1=6cos Bcos C,得3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1,由方程组 解得 或 226,13,bcbc2,3bc3,2.bc(2)由于0A,cos A=,所以sin A= .又SABC=2 ,即bcsin A=2 ,解得bc=6.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=13,132 2321222.(2011年江西卷)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acos A=ccos B+bcos C.(1)求cos A的值;(2)若a=1,cos B+cos C= ,求边c的值.【解析】(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C,两式相加有ccos B+bcos C=a,2 33代入已知条件得3acos A=a,即cos A=.13(2)由cos A=得sin A= ,则cos B=-cos(A+C)=-cos C+ sin C,代入cos B+cos C= ,得cos C+ sin C= ,从而得sin(C+)=1,其中sin =,cos =,且0.132 23132 232 332333632则C+=,于是sin C=,由正弦定理得c= = .263sinsinaCA32 真题索引情境构造角度切入2012年江西卷文16考查三角变换与解三角形.(1)利用差角的余弦公式展开已知式,便可求得cos A;(2)由三角形的面积公式求出bc=6,由余弦定理得到b2+c2=13,解这两个关于b,c的方程组便可求得b与c.2011年江西卷文17求三角形的边. 利用三角恒等变换求三角函数的值及三角形的边长.从这两年江西卷的命题情况可以看出,对正、余弦定理的考查是高考的热点,且试题常利用正、余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等,或以三角形或其他平面图形为背景,考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明.切入角度说明 解三角形中的角、边问题.第(1)问可由正弦定理先化边为角,再由三角恒等式作进一步的变换求角;第(2)问可由面积公式及余弦定理进行求解. 角度探究:切入角度说明三角恒等变换与解三角形的综合,求三角形的面积.先把条件化为正弦的形式,代入正弦定理,可证得第一问;第二问求面积,代入面积公式S=acsin B即可,但需先求出sin B的值.求三角形的面积.结合面积公式及题中所给条件,可先求sin A的值后代入面积公式,亦可先利用余弦定理求出边BC的长后再代入面积公式.121.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c= asin C-ccos A.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为 ,求b,c.33案例落实:由于sin C0,所以sin(A-)=.又0A,故A=.(2)ABC的面积S=bcsin A= ,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=8.解得b=c=2.6123123【解析】(1)由c= asin C-ccos A及正弦定理得 sinAsin C-cos Asin C-sin C=0.332.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求ABC的面积S.【解析】(1)在ABC中,由于sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,所以sin B( + )= ,sincosAAsincosCCsincosAAsincosCC即sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,所以sin Bsin(A+C)=sin Asin C,又A+B+C=,所以sin(A+C)=sin B,因此sin2B=sin Asin C.由正弦定理得b2=ac,即a,b,c成等比数列.(2)因为a=1,c=2,所以b= ,由余弦定理得cos B= = =,因为0B,所以sin B= =,故ABC的面积S=acsin B=12=.22222acbac221222 1 2 3421 cos B74121274743.ABC中,B=120,AC=7,AB=5,则ABC的面积为 .【解析】由正弦定理可得 = ,sin C= ,又0C60,cos C=,于是sin A=sin(60-C)=cos C-sin C= ,SABC=ABACsin A=57 = .【答案】 7sin1205sinC5 314111432123 31412123 31415 3415 34基础角度思路一、选择题(本大题共10小题,每小题5分)1.(基础再现)函数y=1-2sin x的最大值、最小值分别为( )(A)3、-1. (B)1、-1.(C)3、-3. (D)1、-3.【解析】-1sin x1,-1y3.【答案】A2.(基础再现)要得到函数y=sin(3x-)的图像,只需将函数y=sin 3x的图像( )(A)向左平移个单位. (B)向右平移个单位.(C)向左平移个单位. (D)向右平移个单位.5551515【答案】D【解析】y=sin (3x-)=sin 3(x-),只需y=sin 3x的图像向右平移个单位.515153.(视角拓展)若ABC的内角满足tan A-sin A0,则角A的取值范围是( )(A)(0,). (B)(,).(C)(,). (D)(,).4422434【答案】C【解析】由tan A-sin A0,得 0,所以1,从而A0,xR)的最小正周期为,则它的一条对称轴方程可以是( )(A)x=. (B)x=-.(C)x=. (D)x=-.3321212sin(2x+)的最小正周期为,=1,f(x)=sin(2x+),当x=时取最大值.【答案】C3312【解析】f(x)= (1+cos 2x)+ sin 2x- =3212326.(高度提升)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=4,a+c=2b,又知ABC的最大角为120,则边a等于( )(A)12. (B)14. (C)16. (D)8.【解析】由a+c=2b得a-b=b-c,又a-b=4,a-b=b-c=4,abc,故最大角是A,即A=120,b=a-4,c=b-4=a-8,cos 120= =-,化简得a2-18a+56=0.222(4)(8)2(4)(8)aaaaa12a=14或a=4(舍去).【答案】B7.(高度提升)已知函数y=Asin(x+)+B的一部分图像如右图所示,如果A0,0,|0,|),y=f(x)的部分图像如图所示,若f(x0)=,则x0等于( )(A).(B)+,kZ.(C)k+,kZ.23242k243(D)+,kZ.2k3【解析】由图像知:最小正周期T=,=2,将点(0,1)和(,0)代入f(x)得: 238tan1,3tan(2)0,8AAtan1,3,Z.4Akk又|0,解得 - .【答案】( - ,+)2ac2222bcabc22ac323216.(基础再现)在ABC中,求证: + + =0.【解析】 = = =4R2(cos B-cos A).22coscosabAB22coscosbcBC22coscoscaCA22coscosabAB22(2 sin)(2 sin)coscosRARBAB2224(1cos)(1cos)coscosRABAB2224(coscos)coscosRBAAB三、解答题(本大题共6小题,共75分)同理: =4R2(cos C-cos B), =4R2(cos A-cos C).左边=4R2(cos B-cos A)+4R2(cos C-cos B)+4R2(cos A-cos C)=0.原等式成立.22coscosbcBC22coscoscaCA17.(基础再现)已知(,),且sin +cos = .(1)求cos 的值;(2)若sin(+)=-,(0,),求sin 的值.【解析】(1)因为sin +cos = ,所以(sin +cos )2=,所以1+2sin cos =,sin =.2222 33352222 332243224313因为(,),所以cos =- =- =- .(2)因为(,),(0,),所以+(,),又sin(+)=-,得cos(+)=-.sin =sin (+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =(-) (- )-(-)= .221 sin 1192 23222323545352 2345136 241518.(视角拓展)设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且acos B=3,bsin A=4.(1)求边长a;(2)若ABC的面积S=10,求ABC的周长l.又由acos B=3知:cos B0,则cos B=,sin B=,则a=5.(2)由S=acsin B,得到c=5.由cos B= ,解得:b=2 ,所以l=10+2 .3545122222acbac55【解析】(1)由acos B=3与bsin A=4两式相除,有: = = = = ,34cossinaBbAsinaAcosBbsinbBcosBb1tanB19.(视角拓展)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设A,B,C为ABC的三个内角,若cos B=,f()=-,且C为锐角,求sin A.【解析】 (1)f(x)=cos(2x+)+sin2x =cos 2xcos -sin 2xsin + 3132C143331cos22x=-sin 2x.函数f(x)的最大值为 ,最小正周期为.(2)f()=-sin C=-,sin C=,因为C为锐角,所以C=,又因为在ABC中,cos B=,所以sin B=,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C12321322C123214323132 23= += .2321213322 23620.(高度提升)某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?【解析】由题设,画出示意图如图所示.设汽车前进20千米后到达B处.在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得cos C= = ,则sin2C=1-cos2C= ,sin C= ,2222ACBCABAC BC233124323112 331AMC=20+40=60,sin MAC=sin(120-C)=sin 120cos C-cos 120sin C= .在MAC中,由正弦定理得MC= = =35,从而有MB=MC-BC=15.答:汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.35 362sinsinACMACAMC313235 36221.(能力综合)函数f1(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的一段图像过点(0,1),如下图所示.2(2)将函数y=f1(x)的图像向右平移,得到函数y=f2(x),求y=f1(x)+f2(x)的最大值,并求此时自变量x的集合.【解析】(1)由题图知:T=,于是=2,函数的图像过点(0,1),(-,0). =,A=2.412sin(2 0)1,sin2 ()0,12AA 6(1)求函数f1(x)的解析式;故f1(x)=2sin(2x+).(2)依题意f2(x)=2sin2(x-)+=-2cos(2x+),故y=2sin(2x+)-2cos(2x+)=2 sin(2x-).当2x-=2k+,即x=k+,kZ时,ymax=2 .此时,x的取值集合为x|x=k+,kZ.6466662121227242724
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