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第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语第一节第一节 集合集合第二节第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件第三节第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词目 录第一章集合与常用逻辑用语知识能否忆起知识能否忆起 一、元素与集合一、元素与集合 1集合中元素的三个特性：集合中元素的三个特性： 、 、 2集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有有 和和 两种，表示符号为两种，表示符号为 和和 .确定性确定性互异性互异性无序性无序性属于属于不属于不属于 3常见集合的符号表示：常见集合的符号表示：4集合的表示法：集合的表示法： 、 、 集合集合自然自然数集数集正整数集正整数集 整数集整数集有理数集有理数集 实数集实数集表示表示列举法列举法描述法描述法韦恩图韦恩图NN*或或NZQR二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系描述描述关系关系文字语言文字语言符号语言符号语言集合集合间的间的基本基本关系关系相相等等集合集合A与集合与集合B中的所有元素都中的所有元素都相同相同子子集集A中任意一元素均为中任意一元素均为B中的元素中的元素 或或真真子子集集A中任意一元素均为中任意一元素均为B中的元素，中的元素，且且B中至少有一个元素中至少有一个元素A中没有中没有 或或空集空集空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集空集是任何空集是任何 的真子集的真子集_ABABBAABBA B非空集合非空集合 B(B ) 三、集合的基本运算三、集合的基本运算集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的补集集合的补集符号符号表示表示ABAB若全集为若全集为U，则集，则集合合A的补集为的补集为 UA图形图形表示表示意义意义x|xA，或或xBx|xA，且且xBx|xU，且，且x A小题能否全取小题能否全取1(2012大纲全国卷大纲全国卷)已知集合已知集合Ax|x是平行四边形是平行四边形，B x|x是矩形是矩形，Cx|x是正方形是正方形，Dx|x是菱形是菱形， 则则() AAB BCB CDC DAD 解析：选项解析：选项A错，应当是错，应当是BA.选项选项B对，正方对，正方 形一定是矩形，但矩形不一定是正方形选项形一定是矩形，但矩形不一定是正方形选项C错，错， 正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形选项正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形选项D 错，应当是错，应当是DA. 答案：答案： B2(2012浙江高考浙江高考)设集合设集合Ax|1x4，集合，集合Bx|x22x30，则，则A( RB) ()A(1,4) B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)解析：因为解析：因为 RBx|x3，或，或x1，所以，所以A( RB)x|3x4答案：答案：B3(教材习题改编教材习题改编)A1,2,3，BxR|x2ax10，aA，则，则ABB时时a的值是的值是 ()A2 B2或或3C1或或3 D1或或2解析：验证解析：验证a1时时B 满足条件；验证满足条件；验证a2时时B1也满足条件也满足条件答案：答案：D4.(2012盐城模拟盐城模拟)如图，已知如图，已知U1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10，集合，集合A2,3,4,5,6,8，B 1,3,4,5,7，C2,4,5,7,8,9，用列举，用列举 法写出图中阴影部分表示的集合为法写出图中阴影部分表示的集合为_ 解析：阴影部分表示的集合为解析：阴影部分表示的集合为AC( UB)2,8答案：答案： 2,8答案：答案：01.正确理解集合的概念正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分清其元素表示的意义是什么注意区分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同三者的不同2注意空集的特殊性注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：合为空集的可能性例如：AB，则需考虑，则需考虑A 和和A 两种可能的情况两种可能的情况例例1(1)(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知集合已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则，则B中所含元素的个数为中所含元素的个数为()A3 B6C8 D10 (2)已知集合已知集合M1，m，Nn，log2n，若，若MN，则，则(mn)2013_. 自主解答自主解答(1)B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5， x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4. B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， B中所含元素的个数为中所含元素的个数为10.答案答案 (1)10(2)1或或01研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性注意检验集合的元素是否满足互异性2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组组)进行求解，进行求解，要注意检验是否满足互异性要注意检验是否满足互异性1(1)(2012北京东城区模拟北京东城区模拟)设设P、Q为两个非空实数集为两个非空实数集合，定义集合合，定义集合PQab|aP，bQ，若，若P0,2,5，Q1,2,6，则，则PQ中元素的个数为中元素的个数为()A9 B8C7 D6(2)已知集合已知集合Aa2,2a25a,12，且，且3A，则，则a_.解析：解析：(1)PQab|aP，bQ，P0,2,5，Q1,2,6，当当a0时，时，ab的值为的值为1,2,6；当；当a2时，时，ab的值为的值为3,4,8；当；当a5时，时，ab的值为的值为6,7,11，PQ1,2,3,4,6,7,8,11，PQ中有中有8个元素个元素例例2(1)(2012湖北高考湖北高考)已知集合已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件，则满足条件ACB的集合的集合C的个数为的个数为()A1B2C3 D4 (2)已知集合已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若，若AB，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是(c，)，其中，其中c_. 自主解答自主解答(1)由由x23x20，得，得x1或或x2，A1,2 由题意知由题意知B1,2,3,4，满足条件的满足条件的C可为可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)由由log2x2，得，得0 x4，即即Ax|04，即，即c4.答案答案(1)4(2)41判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系示各集合，从元素中寻找关系2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析图帮助分析2 (2012郑州模拟郑州模拟)已知集合已知集合A2,3，Bx|mx60，若，若BA，则实数，则实数m的值为的值为 ()A3 B2C2或或3 D0或或2或或3答案：答案：D例例3 (1)(2011江西高考江西高考)若全集若全集U1,2,3,4,5,6，M2,3，N1,4，则集合，则集合5,6等于等于 ()AMNBMNC( UM)( UN) D( UM)( UN) (2)(2012安徽合肥质检安徽合肥质检)设集合设集合Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影，则图中阴影部分表示的集合为部分表示的集合为 () Ax|x1 Bx|4x2 Cx| 8x1 Dx|1x2自主解答自主解答 (1)MN1,2,3,4，( UM)( UN) U(MN)5,6(2)x22x80，4x2，Ax|4x2，又又Bx|x1，图中阴影部分表示的集合为图中阴影部分表示的集合为A( UB)x|1x0，Bx|ylg(x1)，则，则( UA)B等于等于()Ax|x2，或，或x0 Bx|1x2Cx|10 x|x2，或，或x0 x|x1， UAx|0 x2( UA)Bx|1x2答案答案C以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以型试题的一个热点，此类题目常常以“问题问题”为核心，为核心，以以“探究探究”为途径，以为途径，以“发现发现”为目的，常见的命题形为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力1创新集合新定义创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题A1B3C7 D31答案答案B 题后悟道题后悟道该题是集合新定义的问题，定义了该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决工利用，便可顺利解决2创新集合新运算创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的题的目的典例典例2设设P和和Q是两个集合，定义集合是两个集合，定义集合PQx|xP，且，且x Q，如果，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么，那么PQ ()Ax|0 x1 Bx|0 x1Cx|1x2 Dx|2x3解析解析由由log2x1，得，得0 x2，所以，所以Px|0 x2；由；由|x2|1，得，得1x3，所以，所以Qx|1x3由题意，得由题意，得PQx|0 x1答案答案B题后悟道题后悟道解决创新集合新运算问题常分为三步：解决创新集合新运算问题常分为三步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出其中对定义中提出的知识进行转换，有效地输出其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点的难点3创新集合新性质创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题识来解决有关的集合性质的问题A1 B1C0 Di解析解析Sa，b，c，d，由集合中元素的互异，由集合中元素的互异性可知当性可知当a1时，时，b1，c21，ci，由，由“对对任意任意x，yS，必有，必有xyS”知知iS，ci，di或或ci，di，bcd(1)01.答案答案B 题后悟道题后悟道 此题是属于创新集合新性质的题目，此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素相应的创新性质，确定集合的元素教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）答案：答案：1解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（一）测（一） ”2集合集合Sa，b，c，d，e，包含，包含a，b的的S的子集的子集共有共有 ()A2个个 B3个个C5个个 D8个个解析：包含解析：包含a，b的的S的子集有：的子集有：a，b；a，b，c，a，b，d，a，b，e；a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e；a，b，c，d，e共共8个个答案：答案： D3某班有某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组已知参加数学、物组，每名同学至多参加两个小组已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数，同时参加数学和物理小组的有学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人，则同时参加数学和化学小组的有_人人解析：由题意知，同时参加三个小组的人解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为数为0，设同时参加数学和化学小组的人，设同时参加数学和化学小组的人数为数为x，Venn图如图所示，图如图所示，(20 x)654(9x)x36，解得，解得x8.答案：答案：84已知集合已知集合Ax|x22xa0，Bx|ax4a9，若若A，B中至少有一个不是空集，则中至少有一个不是空集，则a的取值范围是的取值范围是_解析：若解析：若A，B全为空集，则实数全为空集，则实数a满足满足44a4a9，即，即1ab”是是“a2b2”成立的充分条件；成立的充分条件；“|a|b|”是是“a2b2”成立的必要条件；成立的必要条件；“ab”是是“acbc”成立的充要条件成立的充要条件答案：答案：1.充分条件与必要条件的两个特征充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若对称性：若p是是q的充分条件，则的充分条件，则q是是p的必要条件，的必要条件，即即“pq”“q p”；(2)传递性：若传递性：若p是是q的充分的充分(必要必要)条件，条件，q是是r的充分的充分(必要必要)条件，则条件，则p是是r的充分的充分(必要必要)条件条件注意区分注意区分“p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件”与与“p的一个充分的一个充分不必要条件是不必要条件是q”两者的不同，前者是两者的不同，前者是“pq”而后者是而后者是“qp” 2从逆否命题，谈等价转换从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正正难则反难则反”例例1 A B C D 自主解答自主解答中否命题为中否命题为“若若x2y20，则，则xy0”，正确；中，正确；中，14m，当，当m0时，时，0，原，原命题正确，故其逆否命题正确；中逆命题不正确；命题正确，故其逆否命题正确；中逆命题不正确；中原命题正确故逆否命题正确中原命题正确故逆否命题正确答案答案B 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的原命题，也就相应的有了它的“逆命题逆命题”“否命题否命题”“逆否命逆否命题题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手要从概念本身入手1以下关于命题的说法正确的有以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正填写所有正确命题的序号确命题的序号)“若若log2a0，则函数，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定在其定义域内是减函数义域内是减函数”是真命题；是真命题；命题命题“若若a0，则，则ab0”的否命题是的否命题是“若若a0，则，则ab0”；命题命题“若若x，y都是偶数，则都是偶数，则xy也是偶数也是偶数”的逆命题的逆命题为真命题；为真命题；命题命题“若若aM，则，则b M”与命题与命题“若若bM，则，则a M”等价等价解析：对于，若解析：对于，若log2a0log21，则，则a1，所以函数，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是原命题的逆命题是“若若xy是偶数，则是偶数，则x、y都是偶数都是偶数”，是，是假命题，如假命题，如134是偶数，但是偶数，但3和和1均为奇数，故不正均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题确；对于，不难看出，命题“若若aM，则，则b M”与命题与命题“若若bM，则，则a M”是互为逆否命题，因此二者等价，所是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有以正确综上可知正确的说法有.答案：答案：例例2(1)(2012浙江十校联考浙江十校联考)设设xR，那么，那么“x0”是是“x3”的的 ()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2012北京高考北京高考)设设a，bR,“a0”是是“复数复数abi是纯虚数是纯虚数”的的 ()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件自主解答自主解答(1)取取x0，则，则x22x0，故由，故由x2不不能推出能推出x22x0；由；由x22x0得得0 x2，故由，故由x22x0可以推出可以推出x2.所以所以“x2”是是“x22x0”的必要而不充的必要而不充分条件分条件(2)当当a0，且，且b0时，时，abi不是纯虚数；若不是纯虚数；若abi是纯虚数，则是纯虚数，则a0.故故“a0”是是“复数复数abi是纯虚数是纯虚数”的必要而不充分条件的必要而不充分条件答案答案(1)B(2)B充要条件的判断，重在充要条件的判断，重在“从定义出发从定义出发”，利用命题，利用命题“若若p，则，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清要注意分清“谁是条件谁是条件”“谁是结论谁是结论”，如，如“A是是B的什么条的什么条件件”中，中，A是条件，是条件，B是结论，而是结论，而“A的什么条件是的什么条件是B”中，中，A是结论，是结论，B是条件有时还可以通过其逆否命题的真是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分假加以区分2下列各题中，下列各题中，p是是q的什么条件？的什么条件？(1)在在ABC中，中，p：AB，q：sin Asin B；(2)p：|x|x，q：x2x0. 例例3已知已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0且且a1，则，则“函数函数f(x)ax在在R上是减函数上是减函数”是是“函数函数g(x)(2a)x3在在R上是增上是增函数函数”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件常规解法常规解法“函数函数f(x)ax在在R上是减函数上是减函数”的充要条的充要条件是件是p：0a0，即，即a0且且a1，所以，所以“函数函数g(x)(2a)x3在在R上是上是增函数增函数”的充要条件是的充要条件是q：0a2且且a1.显然显然pq，但，但q/ p，所以，所以p是是q的充分不必要条件，的充分不必要条件，即即“函数函数f(x)ax在在R上是减函数上是减函数”是是“函数函数g(x)(2a)x3在在R上是增函数上是增函数”的充分不必要条件的充分不必要条件答案答案A1充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法和等价转化法2三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断判断 巧思妙解巧思妙解p：“函数函数f(x)ax在在R上是减函数上是减函数”等等价于价于0a0，即，即a2.而而a|0a1是是a|a至少有至少有一个一个至多有至多有一个一个对任意对任意xA使使p(x)真真否定否定形式形式不是不是不都不都是是一个也一个也没有没有至少有至少有两个两个存在存在xA使使p(x)假假答案：答案：C 典例典例(2012湖北高考湖北高考)命题命题“存在一个无理数，存在一个无理数，它的平方是有理数它的平方是有理数”的否定是的否定是 () A任意一个有理数，它的平方是有理数任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数任意一个无理数，它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是有理数存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数存在一个无理数，它的平方不是有理数 尝试解题尝试解题特称命题的否定为全称命题，即将特称命题的否定为全称命题，即将“存在存在”改为改为“任意任意”，并将其结论进行否定原命，并将其结论进行否定原命题的否定是题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理任意一个无理数，它的平方不是有理数数” 答案答案B 1.因只否定量词不否定结论，而误选因只否定量词不否定结论，而误选A. 2.对含有一个量词的命题进行否定时，要明确否定对含有一个量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律要求，同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.解析：全称命题的否定是存在性命题，全称量词解析：全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任任何何”改为存在量词改为存在量词“存在存在”，并把结论否定，并把结论否定答案：存在答案：存在xR，使得，使得|x2|x4|32命题命题“能被能被5整除的数，末位是整除的数，末位是0”的否定是的否定是_解析：省略了全称量词解析：省略了全称量词“任何一个任何一个”，否定为：有些可，否定为：有些可以被以被5整除的数，末位不是整除的数，末位不是0.答案：有些可以被答案：有些可以被5整除的数，末位不是整除的数，末位不是0解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（三）测（三）”教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）Ap1，p4 Bp2，p3Cp1，p3 Dp2，p4解析：对于解析：对于p1：ab0a0或或b0或或ab，当，当a0，则，则a方向任意，方向任意，a，b不一定垂直，故不一定垂直，故p1假，否定假，否定B、D，又，又p3显然为真，否定显然为真，否定C.答案：答案： A3已知已知p：方程：方程x2mx10有两个不等的负根；有两个不等的负根；q：方：方程程4x24(m2)x10无实根若无实根若p或或q为真，为真，p且且q为为假，求假，求m的取值范围的取值范围
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