高考数学总复习 第2节 证明不等式的基本方法课件 新人教A版选修45

第二节证明不等式的基本方法1了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法；能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式2会用数学归纳法证明不等式一、不等式证明的基本方法1比较法(1)作差比较法理论依据：ab ；ab ；abab0.证明步骤：作差 得出结论ab0ab0变形判断符号ab ab 变形 判断与1的大小关系 2综合法一般地，从 出发，利用 、 、 、 等，经过一系列的 、 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫 和 已知条件定义公理定理性质推理论证顺推证法由因导果法3分析法证明命题时，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至所需条件为 或 (定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种 的思考和证明方法要证的结论充分条件已知条件一个明显成立的事实执果索因 综合法和分析法有何内在联系？提示：综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程4反证法(1)假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用 等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明 ，我们把它称为反证法(2)证明步骤反设 肯定原结论要证的命题不成立定义、公理、定理、性质命题的条件原命题成立归谬5放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法(2)理论依据ab，bca c.放大缩小二、数学归纳法证明不等式1数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 时命题成立；(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法nn0nk(kn0)nk12数学归纳法的基本过程1已知x、yR，Mx2y21，Nxyxy，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMN D不能确定2若|xa|m，|ya|n，则下列不等式一定成立的是()A|xy|2m B|xy|2nC|xy|nm D|xy|nm5已知|ab|c(a、b、cR)，给出下列不等式：abc；abc；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_(把所有成立的不等式的序号都填上)答案：1.比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法，当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式，一般使用作差比较法，当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法2综合法是由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，但是，要求考生要有较强的观察与变形的能力分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求严谨，二者各有所短，相互补充凡是能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明 已知a，b，c，d都是实数，且a2b21，c2d21，求证：|acbd|1.【思路点拨】本题使用综合法、分析法、比较法都可证明【活学活用】 1.已知：abc0，求证：abbcca0.放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性进行证明不等关系，即要证ab，只需先证明ap，且pb.其中p的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力，以及一定的解题经验【特别提醒】在解答本题的过程中，易出现结论的假设错误，从而导致无法推证，造成这种错误的原因是对结论的理解不到位【活学活用】 2.设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：|f(x)f(a)|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1)|f(x)f(a)|2(|a|1).2使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下： (2012青岛模拟)设二次函数f(x)x2px1.求证：|f(1)|与|f(1)|中至少有一个不小于2.【思路点拨】题目中要求证的结论有多种情况，难以一一证明，因而可考虑使用反证法【自主解答】证明：假设|f(1)|与|f(1)|都小于2，即|f(1)|1p1|2p|2，|f(1)|1p1|2p|2，则4(2p)(2p)|2p|2p|4矛盾，假设不成立原结论成立与自然数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设同时，这一步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合手段【思路点拨】由于本问题是含有正整数n的命题，可以考虑用数学归纳法证明【心得】数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误第(1)步中，验算nn0中的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等第(2)步中，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k到k1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.