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第第3课时平面的基本性质及课时平面的基本性质及两直线位置关系两直线位置关系第八章立体几何第八章立体几何教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.平面的基本性质及推论平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质平面的基本性质性质性质1：如果一条直线上的：如果一条直线上的_在一在一个平面内个平面内,那么这条直线上的所有点那么这条直线上的所有点都在这个平面内都在这个平面内.两点两点性质性质2：经过：经过_的三的三点点,有且只有一个平面有且只有一个平面.性质性质3：如果不重合的两个平面有一个：如果不重合的两个平面有一个公共点公共点,那么它们那么它们_过这个过这个点的公共直线点的公共直线.不在同一条直线上不在同一条直线上有且只有一条有且只有一条(2)平面基本性质的推论平面基本性质的推论推论推论1：经过一条直线和：经过一条直线和_的一的一点点,有且只有一个平面有且只有一个平面.推论推论2：经过两条：经过两条_,有且只有且只有一个平面有一个平面.推论推论3：经过两条：经过两条_,有且只有有且只有一个平面一个平面.直线外直线外相交直线相交直线平行直线平行直线2.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 位置关系的分类位置关系的分类 共面直线共面直线 _异面直线：既不异面直线：既不_又不又不_的直线的直线 平行直线平行直线相交直线相交直线相交相交平行平行思考探究思考探究1.如果两条直线没有任何公共点如果两条直线没有任何公共点,则两条则两条直线为异面直线直线为异面直线,此说法正确吗此说法正确吗?提示：提示：不正确不正确.如果两条直线没有公共如果两条直线没有公共点点,则两条直线平行或异面则两条直线平行或异面.3.平行公理平行公理平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线_.4.等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平空间中如果两个角的两边分别对应平行行,并且方向相同并且方向相同,那么这两个角那么这两个角_.互相平行互相平行相等相等思考探究思考探究2.本定理中本定理中,这两个角方向相反这两个角方向相反,两角有两角有何关系何关系?提示：提示：当这两个角的两边方向相反时这当这两个角的两边方向相反时这两个角相等两个角相等.课前热身课前热身1.分别在两个平面内的两条直线的位分别在两个平面内的两条直线的位置关系是置关系是()A.异面异面B.平行平行C.相交相交 D.以上都有可能以上都有可能答案：答案：D2.已知已知a,b是异面直线是异面直线,直线直线c直线直线a,则则c与与b()A.一定是异面直线一定是异面直线 B.一定是相交直线一定是相交直线C.不可能是平行直线不可能是平行直线 D.不可能是相交直线不可能是相交直线答案：答案：C3.(2011高考浙江卷高考浙江卷)若直线若直线l不平行于不平行于平面平面,且且l ,则则()A.内的所有直线与内的所有直线与l异面异面B.内不存在与内不存在与l平行的直线平行的直线C.内存在唯一的直线与内存在唯一的直线与l平行平行D.内的直线与内的直线与l都相交都相交解析：选解析：选B.由题意知由题意知,直线直线l与平面与平面相相交交,则直线则直线l与平面与平面内的直线只有相交内的直线只有相交和异面两种位置关系和异面两种位置关系,因而只有选项因而只有选项B是是正确的正确的.4.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,异面异面直线直线AC与与B1C1所成的角为所成的角为_.答案：答案：455 . 三 条 直 线 两 两 相 交三 条 直 线 两 两 相 交 , 可 以 确 定可 以 确 定_个平面个平面.答案：答案：1或或3考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1点共线问题点共线问题证明共线问题：证明共线问题：(1)可由两点连一条直可由两点连一条直线线,再验证其他各点均在这条直线上；再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定可直接验证这些点都在同一条特定的直线上的直线上两相交平面的唯一交线两相交平面的唯一交线,关键是通过绘出图形关键是通过绘出图形,作出两个适当的作出两个适当的平面或辅助平面平面或辅助平面,证明这些点是这两个证明这些点是这两个平面的公共点平面的公共点. 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,对对角线角线A1C与平面与平面BC1D交于点交于点O,AC、BD交于点交于点M,求证：点求证：点C1、O、M共线共线.例例1【证明证明】如图所示如图所示,A1AC1C,则则A1A与与C1C可确可确定平面定平面A1C.互动探究互动探究1.在本例中在本例中,若若E、F分别为分别为D1C1、B1C1的中点的中点,A1C1EFQ,ACBDP,A1C面面EFBDR,试探究试探究P、Q、R三点是否共三点是否共线线.考点考点2线共点问题线共点问题证明共点问题一般是证明三条直线交于证明共点问题一般是证明三条直线交于一点一点.首先证明其中的两条直线相交于首先证明其中的两条直线相交于一点一点,然后再说明第三条直线是经过这然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线两条直线的两个平面的交线,由公理由公理3可可知两个平面的公共点必在两个平面的交知两个平面的公共点必在两个平面的交线上线上,即三条直线交于一点即三条直线交于一点.例例2【思路分析思路分析】先证先证E、F、G、H四点四点共面共面,再证再证EF、GH交于一点交于一点,然后证明这然后证明这一点在一点在AC上上.【思维总结思维总结】证明线共点的方法一般证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点是先证两条直线相交于一点,然后再证然后再证明这一点在第三条直线上明这一点在第三条直线上,而证明后者而证明后者,往往是利用这点在两个平面的交线上往往是利用这点在两个平面的交线上.互动探究互动探究所以四边形所以四边形EFGH为梯形为梯形,设设EH与与FG交交于点于点P,则则P平面平面ABD,P平面平面BCD,所以所以P在两平面的交线在两平面的交线BD上上,所以所以EH、FG、BD三线共点三线共点.考点考点3点、线共面问题点、线共面问题证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点)共面共面,一般来一般来说有两种途径：一是首先由题目条件中说有两种途径：一是首先由题目条件中的部分线的部分线(或点或点)确定一个平面确定一个平面,然后再证然后再证明其余的线明其余的线(或点或点)均在这个平面内；二均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分是将所有元素分为几个部分,然后分别然后分别确定几个平面确定几个平面,再证这些平面重合再证这些平面重合.本类题最容易忽视本类题最容易忽视“三线共点三线共点”这一种这一种情况情况.因此因此,在分析题意时在分析题意时,应仔细推敲问应仔细推敲问题中每一句话的含义题中每一句话的含义. 如 图如 图 , 在 正 方 体在 正 方 体 A B C D A1B1C1D1中中,点点E、F分别是棱分别是棱AA1、CC1的中点的中点,求证：求证：D1、E、F、B共面共面.【思路分析思路分析】连结连结D1E、D1FD1E与与DA相交相交,D1F与与DC相交相交证明两交点与证明两交点与B共线共线.例例3【名师点评名师点评】题中是先说明题中是先说明D1、E、F确定一平面确定一平面,再说明再说明B在所确定的平面内在所确定的平面内,也可证明也可证明D1EBF,从而说明四点共面从而说明四点共面.考点考点4异面直线异面直线判定两条直线是否异面判定两条直线是否异面,可依据定义来可依据定义来进行进行,还可依据定理还可依据定理(过平面外一点与平过平面外一点与平面内一点的直线面内一点的直线,和平面内不经过该点和平面内不经过该点的直线是异面直线的直线是异面直线)进行进行.反证法是证明反证法是证明两直线异面的有效方法两直线异面的有效方法.求异面直线所成的角的一般步骤是：一求异面直线所成的角的一般步骤是：一作作,二证二证,三计算；作出异面直线所成的三计算；作出异面直线所成的角的方法是角的方法是“平移法平移法”,常常使用特殊位常常使用特殊位置的点置的点,如利用线段的中点或线段的端如利用线段的中点或线段的端点等进行平移点等进行平移,利用图中已有的平行线利用图中已有的平行线进行平移进行平移,利用补形的方法进行平移等利用补形的方法进行平移等,通常将角放在某个三角形中通常将角放在某个三角形中. 如图所示如图所示,正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,M、N分别是分别是A1B1、B1C1的的中点中点.问：问：(1)AM和和CN是否是异面直线是否是异面直线?说明理由；说明理由；(2)D1B和和CC1是否是异面直线是否是异面直线?说明理由；说明理由；(3)求求A1C1与与B1C所成角的大小所成角的大小.例例4【思路分析思路分析】(1)可证得可证得MNAC,故故AM、CN共面；共面；(2)利用反证法或定理法；利用反证法或定理法；(3)利用利用A1C1AC.【方法指导方法指导】若从正面入手证明两条若从正面入手证明两条直线异面比较困难时直线异面比较困难时,可考虑用反证法可考虑用反证法.方法技巧方法技巧1.主要题型的解题方法主要题型的解题方法(1)要证明要证明“线共面线共面”或或“点共面点共面”可可先由部分直线或点确定一个平面先由部分直线或点确定一个平面,再证再证其余直线或点也在这个平面内其余直线或点也在这个平面内(即即“纳纳入法入法”).(2)要证明要证明“点共线点共线”可将线看作两个可将线看作两个平面的交线平面的交线,只要证明这些点都是这两只要证明这些点都是这两个平面的公共点个平面的公共点,根据公理根据公理3可知这些点可知这些点在交线上在交线上,因此共线因此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点判定定理：平面外一点A与平面内一与平面内一点点B的连线和平面内不经过该点的连线和平面内不经过该点B的直的直线是异面直线线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面交或证明两线不可能共面,从而可得两从而可得两线异面线异面.3.求两条异面直线所成角的大小的方法求两条异面直线所成角的大小的方法一般方法是通过平行移动直线一般方法是通过平行移动直线,把异面把异面问题转化为共面问题来解决问题转化为共面问题来解决.根据空间根据空间等角定理及推论可知等角定理及推论可知,异面直线所成角异面直线所成角的大小与顶点位置无关的大小与顶点位置无关,往往将角的顶点取在其中的一条直线往往将角的顶点取在其中的一条直线上上,特别地特别地,可以取其中一条直线与另一可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端条直线所在平面的交点或异面线段的端点点.总之总之,顶点的选择要与已知量有关顶点的选择要与已知量有关,以以便于计算便于计算,具体步骤如下：具体步骤如下：(1)利用定义构造角利用定义构造角,可固定一条可固定一条,平移另平移另一条一条,或两条同时平移到某个特殊的位或两条同时平移到某个特殊的位置置,顶点选在特殊的位置上；顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角或其补角证明作出的角即为所求角或其补角;(3)利用三角形来求解利用三角形来求解.失误防范失误防范1.异面直线是不同在任何一个平面内异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线的两条直线,而不是分别在两个平面内而不是分别在两个平面内.一定要理解定义一定要理解定义.2.求异面直线所成的角要特别注意异求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是面直线所成角的范围是(0,90.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,异面直线所异面直线所成的角、异面直线的判定是高考的热成的角、异面直线的判定是高考的热点点,题型既有选择题、填空题题型既有选择题、填空题,又有解答又有解答题题,难度为中、低档难度为中、低档.客观题主要考查异面直线所成角的概念客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法及求法,考查平移直线法、向量法求异考查平移直线法、向量法求异面直线所成的角；主观题主要考查立体面直线所成的角；主观题主要考查立体几何的有关知识、异面直线所成角的求几何的有关知识、异面直线所成角的求法及异面直线的判定等法及异面直线的判定等,同时还考查了同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力学生的空间想象能力和运算能力.预测预测2013年高考仍将以求异面直线所年高考仍将以求异面直线所成的角为主要考查点成的角为主要考查点,重点考查学生的重点考查学生的空间想象能力和运算能力空间想象能力和运算能力.规范解答规范解答 (本题满分本题满分12分分)如图如图,已知两个已知两个正方形正方形ABCD和和DCEF不在同一平面不在同一平面内内,M,N分别为分别为AB,DF的中点的中点.例例(1)若若CD2,平面平面ABCD平面平面DCEF,求求MN的长；的长；(2)用反证法证明：直线用反证法证明：直线ME与与BN是两条是两条异面直线异面直线.【名师点评名师点评】(1)不会利用平面不会利用平面ABCD平面平面DCEF创建线线垂直创建线线垂直,将所将所求求MN放置于可解的直角三角形内放置于可解的直角三角形内.(2)否定结论后否定结论后,不会利用假设与线面平不会利用假设与线面平行的性质导出行的性质导出ABEN,从而找不到矛盾从而找不到矛盾所在所在.反证法证题的关键在于充分利用反证法证题的关键在于充分利用假设与条件推出矛盾假设与条件推出矛盾,从而肯定结论正从而肯定结论正确确.
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