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第七节函数的图象及函数与方程第七节函数的图象及函数与方程考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考第第七七节节函函数数的的图图象象及及函函数数与与方方程程双基研习双基研习面对高考面对高考1常用的图象变换常用的图象变换双基研习双基研习面对高考面对高考思考感悟思考感悟1函数函数yf(x)的图象关于原点对称与函数的图象关于原点对称与函数yf(x)和和yf(x)的图象关于原点对称一致的图象关于原点对称一致吗？吗？提示：提示：函数函数yf(x)的图象关于原点对称是指的图象关于原点对称是指函数函数yf(x)自身的图象关于原点对称，而函自身的图象关于原点对称，而函数数yf(x)和和yf(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称是指这两种函数各有自己的图象，但是这两是指这两种函数各有自己的图象，但是这两种函数的图象关于原点对称种函数的图象关于原点对称2函数与方程函数与方程(1)函数的零点函数的零点对于函数对于函数yf(x)(xD)，使，使f(x)0成立的实数成立的实数x叫做函数叫做函数yf(x)(xD)的零点的零点函数函数yf(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)0的实数根，的实数根，亦即函数亦即函数yf(x)的图象与的图象与x轴交点的轴交点的_即：即：方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图象与的图象与x轴轴有交点有交点函数函数yf(x)有有_横坐标横坐标零点零点求函数求函数yf(x)的零点的零点a(代数法代数法)求方程求方程f(x)0的实数根的实数根b(几何法几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点性质找出零点零点存在性定理零点存在性定理函数在区间函数在区间a，b上的图象是连续的，且上的图象是连续的，且f(a)f(b)0，那么函数，那么函数f(x)在区间在区间a，b上有零点上有零点思考感悟思考感悟2一个图象连续的函数在区间一个图象连续的函数在区间a，b上，上，若若f(a)f(b)0，在什么情况下，在什么情况下，f(x)在区间在区间a，b上有且只有一个零点？上有且只有一个零点？提示：提示：零点存在性定理只需再满足零点存在性定理只需再满足“函数在函数在区间区间a，b上是单调的上是单调的”这一条件，就可使这一条件，就可使f(x)在区间在区间a，b上有且只有一个零点上有且只有一个零点(2)用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解对于在区间对于在区间a，b上连续，且满足上连续，且满足f(a)f(b)0的函数的函数yf(x)，通过不断地把函，通过不断地把函数数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做似值的方法叫做_二分法二分法1为了得到函数为了得到函数y2x3的图象，只需把函数的图象，只需把函数y2x的图象上所有的点向的图象上所有的点向_平移平移_个单位长度个单位长度答案：右答案：右3答案：答案：3.设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为5,5，若当，若当x0,5时，时， f(x)的图象如图，则不等式的图象如图，则不等式f(x)0的解集的解集是是_答案：答案：x|2x0或或2x54用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)x23x1的零点时，的零点时，第一次经过计算第一次经过计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一，可得其中一个零点个零点x0_，第二次应计算，第二次应计算_答案：答案：(0,0.5)f(0.25)考点探究考点探究挑战高考挑战高考作图作图作函数的图象不仅依据函数的解析式，而且还依作函数的图象不仅依据函数的解析式，而且还依赖于它的定义域用两个不同的函数解析式表示赖于它的定义域用两个不同的函数解析式表示的函数，只有在对应法则相同、定义域相同的条的函数，只有在对应法则相同、定义域相同的条件下，才是相同函数，才有相同的图象作函数件下，才是相同函数，才有相同的图象作函数图象，除了运用描点法外，还常常利用平移变换、图象，除了运用描点法外，还常常利用平移变换、对称变换等方法对称变换等方法【思路分析思路分析】所给函数为非基本初等函数，所给函数为非基本初等函数，因此要利用基本初等函数的图象进行变换作因此要利用基本初等函数的图象进行变换作图，首先应将原函数式变形图，首先应将原函数式变形(4)首先作出首先作出ylog2x的图象的图象C1，然后将，然后将C1向向左平移左平移1个单位长度，得到个单位长度，得到ylog2(x1)的图的图象象C2，再把，再把C2在在x轴下方的图象作关于轴下方的图象作关于x轴对轴对称的图象，即为所求图象称的图象，即为所求图象C3：y|log2(x1)|，如图如图(实线部分实线部分)【名师点评名师点评】作图象使用图象变换法时，作图象使用图象变换法时，应依次变换、循序渐近，同时要结合函数的应依次变换、循序渐近，同时要结合函数的有关性质来变换图象有关性质来变换图象变式训练变式训练1分别画出下列函数的图象分别画出下列函数的图象(1)y|lgx|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.识图识图观察函数图象并能正确解读出图象所反映出的函观察函数图象并能正确解读出图象所反映出的函数性质是数性质是“数形结合法数形结合法”的基本要求，这也是的基本要求，这也是“数数形结合形结合”的本质所在抓住图象基本的特征并结的本质所在抓住图象基本的特征并结合相关的性质可以识别图象，但也要变换认识的合相关的性质可以识别图象，但也要变换认识的角度，才能更好地理解图象所反映出的信息角度，才能更好地理解图象所反映出的信息【思路分析思路分析】由对数函数、二次函数由对数函数、二次函数的有关性质判断的有关性质判断【答案答案】【名师点评名师点评】识别函数图象可抓住函数的性识别函数图象可抓住函数的性质如定义域、值域质如定义域、值域(最值点最值点)、单调性、单调性(趋向趋向)、对、对称性等来判断，对函数出现的一些特殊点，如称性等来判断，对函数出现的一些特殊点，如与坐标轴的交点，以及函数值的正负等情况，与坐标轴的交点，以及函数值的正负等情况，都是判别函数的图象时常用到的对不同的图都是判别函数的图象时常用到的对不同的图象也可采取对比比较来判断象也可采取对比比较来判断变式训练变式训练2如图是两个函数在定义域如图是两个函数在定义域2,3上的图象，上的图象，给出下列函数及其相应的图象，则其中正确给出下列函数及其相应的图象，则其中正确的是的是_解析：解析：根据根据f(x)，g(x)的定义域，值域单调的定义域，值域单调性可知性可知(2)(3)错误错误答案：答案：(1) 函数图象与零点函数图象与零点函数零点可转化成方程的根，而方程的根函数零点可转化成方程的根，而方程的根往往可转化成两函数图象的交点横坐标往往可转化成两函数图象的交点横坐标 (2009年高考山东卷年高考山东卷)若函数若函数f(x)axxa(a0且且a1)有两个零点，则有两个零点，则实数实数a的取值范围是的取值范围是_【解析解析】设函数设函数y1ax(a0且且a1)和函数和函数y2xa，则函数，则函数f(x)axxa(a0且且a1)有两个有两个零点，就是函数零点，就是函数y1ax和和y2xa有两个交点，有两个交点，由图象可知当由图象可知当0a1时，两函数只有一个交点，时，两函数只有一个交点，不合题意不合题意当当a1时，时，函数函数y1ax(a1)图象过点图象过点A(0,1)而直线而直线y2xa和和y轴交于轴交于B(0，a)必在必在A(0,1)上上方，故必有两个交点，方，故必有两个交点，a1.【答案答案】a1【名师点评名师点评】本题考查了指数函数的图象本题考查了指数函数的图象和直线的位置关系，函数零点往往可转化成和直线的位置关系，函数零点往往可转化成两函数图象的交点两函数图象的交点变式训练变式训练3设设x0是方程是方程2xx80的解，且的解，且x0(k，k1)，kZ，则，则k_.解析：解析：设设y12x，y28x，在同一坐标系内作出，在同一坐标系内作出它们的图象，从图象可见这两图象有且只有一个交它们的图象，从图象可见这两图象有且只有一个交点且这个交点横坐标在点且这个交点横坐标在2和和3之间，故之间，故k2.答案：答案：2二次函数零点的分布二次函数零点的分布二次函数零点的分布问题即一元二次方程根二次函数零点的分布问题即一元二次方程根的分布问题，解决此类问题关键是结合图象的分布问题，解决此类问题关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组把根的分布情况转化为不等式组 m为何值时，为何值时，f(x)x22mx3m4.(1)有且仅有一个零点；有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比有两个零点且均比1大大【思路分析思路分析】二次函数零点分布问题，即一元二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程把根的分布情况转化为不等式组或方程【名师点评名师点评】本题为二次函数有关根的问题，本题为二次函数有关根的问题，常结合二次函数的图象及有关方程的知识解常结合二次函数的图象及有关方程的知识解决方程根的问题也往往转化为相应的函数图决方程根的问题也往往转化为相应的函数图象的交点问题，因而数形结合是常用的解法象的交点问题，因而数形结合是常用的解法互动探究互动探究4本例题改为：若本例题改为：若f(x)有一个零点有一个零点x(0,1), 求求m的取值范围的取值范围方法技巧方法技巧1作函数图象的一般步骤是：作函数图象的一般步骤是：(1)求出函数的定义域；求出函数的定义域；(2)化简函数式；化简函数式；(3)讨论函数的性质讨论函数的性质(如奇偶性、周期性如奇偶性、周期性)以及图以及图象上的特殊点、线象上的特殊点、线(如渐近线、对称轴等如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象利用基本函数的图象画出所给函数的图象2平移变换、对称变换和伸缩变换是三种常平移变换、对称变换和伸缩变换是三种常见的变换平移变换：见的变换平移变换：“左加右减、上正下负左加右减、上正下负”；伸缩变换：伸缩变换：“纵伸横缩纵伸横缩”；绝对值变换：；绝对值变换：“部分部分对折对折”3函数的图象形象地显示了函数的性质，为研函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了究数量关系问题提供了“形形”的直观性，它是探的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正确的重要工具，也是运用数形结合思想解题的确的重要工具，也是运用数形结合思想解题的前提前提从图象的左右分布分析函数的定义域；从图象从图象的左右分布分析函数的定义域；从图象的上下分布分析函数的值域；从图象的最高点、的上下分布分析函数的值域；从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；从图象的对称最低点分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等函数的单调性、周期性等4证明图象的对称性时应注意：证明图象的对称性时应注意：(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心任意一点关于对称中心(或对称轴或对称轴)的对称点仍的对称点仍在图象上在图象上(2)证明曲线证明曲线C1和和C2的对称性，即要证明的对称性，即要证明C1上任上任一点关于对称中心一点关于对称中心(对称轴对称轴)的对称点在的对称点在C2上，上，反之亦然反之亦然5函数零点的性质函数零点的性质(1)从从“数数”的角度看：即是使的角度看：即是使f(x)0的实数的实数x；(2)从从“形形”的角度看：即是函数的角度看：即是函数f(x)的图象与的图象与x轴轴交点的横坐标；交点的横坐标；(3)若函数若函数f(x)的图象在的图象在xx0处与处与x轴相切，则轴相切，则零点零点x0通常称为不变号零点；通常称为不变号零点；(4)若函数若函数f(x)的图象在的图象在xx0处与处与x轴相交，则轴相交，则零点零点x0通常称为变号零点通常称为变号零点6函数零点的求法函数零点的求法(1)(代数法代数法)求方程求方程f(x)0的实数根的实数根(常用公式法、常用公式法、因式分解、直接求解等因式分解、直接求解等)；(2)(几何法几何法)对于不能用求根公式的方程，可以对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；数的性质找出零点；(3)(二分法二分法)主要用于求函数零点的近似值主要用于求函数零点的近似值失误防范失误防范1函数图象的对称性中，函数图象的对称性中，yf(x)与与yf(x)，yf(x)与与yf(x)间的对称性易混淆间的对称性易混淆yf(|x|)与与y|f(x)|中绝对值号所起的作用易记错中绝对值号所起的作用易记错2函数图象的判断与识别要充分利用函数的性函数图象的判断与识别要充分利用函数的性质解答有关问题时，常忘记有关的函数性质，质解答有关问题时，常忘记有关的函数性质，如对称性中易忘记从奇偶性的角度来考虑如对称性中易忘记从奇偶性的角度来考虑3若若f(x)在在(a，b)上是连续的，上是连续的，f(a)f(b)0是是f(x)在在(a，b)上有零点的充分不必要条件上有零点的充分不必要条件近几年的江苏高考对函数图象的考查主要集近几年的江苏高考对函数图象的考查主要集中在基本初等函数的认识和把握上，能识别、中在基本初等函数的认识和把握上，能识别、判断和应用图象解决问题是重点结合考查判断和应用图象解决问题是重点结合考查数形结合的思想方法是高考的必考内容之一，数形结合的思想方法是高考的必考内容之一，但形式不固定，可以在填空题或解答题中出但形式不固定，可以在填空题或解答题中出现现预测在预测在2012年的江苏高考中，以数形结合解年的江苏高考中，以数形结合解决问题仍然会成为考查的热点决问题仍然会成为考查的热点考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考 (2010年高考课标全国年高考课标全国卷改编卷改编)如图，质点如图，质点P在半径为在半径为2的圆周上逆时针运动，其初的圆周上逆时针运动，其初始位置为始位置为P0(，)，角速度为，角速度为1，那么点那么点P到到x轴距离轴距离d关于时间关于时间t的函数图象大致为的函数图象大致为_【答案答案】【名师点评名师点评】函数图象的确定关键在于仔细读函数图象的确定关键在于仔细读题，探寻变量的关系与联系规律，结合函数的一题，探寻变量的关系与联系规律，结合函数的一些取值变化情况来判断，要多种途径多种角度考些取值变化情况来判断，要多种途径多种角度考虑问题，避免片面化造成错误虑问题，避免片面化造成错误【思路分析思路分析】对比各个图象或选取某些值检验对比各个图象或选取某些值检验1方程方程2xx23的实数解的个数为的实数解的个数为_答案：答案：22已知函数已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如的图象如图所示，则图所示，则b的范围为的范围为_答案：答案：(，0)答案：答案：(0,1)答案：答案：温馨提示：巩固复习效果，检验教学成温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果。请进入果。请进入“课时闯关课时闯关决战高考决战高考(10)”，指导学生每课一练，成功提升成绩指导学生每课一练，成功提升成绩.
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