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32空间向量在立体几何中的应用 1知识与技能 理解直线的方向向量 掌握空间直线的向量参数方程及线段的向量公式 能够确定直线上点的位置 能够用向量语言证明线线、线面、面面的平行关系 2过程与方法 用向量的观点研究直线和直线与直线的位置关系 3情感态度与价值观 让学生体会代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与相互转让的 重点：理解直线的向量参数方程及向量中点公式 难点：利用向量证明平行垂直问题 1直线的方向向量是一个很重要的概念，由定点A和方向向量a不仅可以确定直线l的位置，还可具体表示出l上的任意点；还可确定直线平行的条件，计算两条直线所成的角等 2判定直线平行或垂直：v1l，v2m，lmv1v2；lmv1v2. 5设两条直线所成角为(锐角)，则直线方向向量的夹角与相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2_. 答案1.直线l的参数方程(t为参数) 3v1v2 4vv1(或vv2)或存在两个实数x，y，使vxv1yv2 5v1v2，coscos 例1设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1、l2的位置关系 (1)a(2，1，2)，b(6，3，6)； (2)a(1,2，2)，b(2,3,2)； (3)a(0,0,1)，b(0,0，3) 分析设l1、l2的方向向量分别为a，b，则l1l2ab，l1l2ab，由此判断 解析(1)显然有b3a，即ab，l1l2(或l1与l2重合) (2)观察知ab，又ab1(2)23(2)22640，ab，l1l2. (3)显然b3a，即ab，故l1l2(或l1与l2重合) 说明首先根据a，b的坐标，对a，b的关系(平行、垂直或其他情况)作出初步判断，然后再用有关知识给予验证，从而得到相关结论直线的方向向量在研究线线、线面位置关系，求角或距离等有关问题时要用到，希望注意 l，m是两条直线，方向向量分别是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若lm，则() Ax1x2，y1y2，z1z2 Bx1kx2，y1py2，zqz2 Cx1x2y1y2z1z20 Dx1x2，y1y2，z1z2 答案D 解析由向量平行的充要条件可得. 例2在长方体OAEBO1A1E1B1中，|OA|3，|OB|4，|OO1|2，点P在棱AA1上，且|AP|2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQRS. 证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)， A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0) |AP|2|PA1|， 在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点证明：OMBC1. 解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz. 例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD. 如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AMDN. 求证：MN平面BCE. 例4正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点证明：(1)BD1AC；(2)BD1EB1. 如图所示，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点 求证：EFCF. 解析建立如图的空间直角坐标系Dxyz. 例5如图，已知F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求异面直线A1C1与DF所成角的余弦值 说明求两条异面直线所成角常用的方法有两种： (1)向量法：即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线的夹角 (2)定义法(平移法)：由两条异面直线所成角定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解求解的方法是解三角形 在本例给出的正方体中，E为棱AA1的中点，求异面直线BE与AC所成角的大小 分析利用线面平行满足的条件，转化为向量运算求待定量 方法二：如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系 说明运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透，选哪种方法，多多体验；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择，根据题目中所给的空间体选择合适的解题途径如正方体、长方体、直棱柱等往往通过建系用坐标方法解决更为方便 例7已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形ABC60，AB2PA，E是线段BC中点 (1)判断PE与AD关系； (2)在线段PD上是否存在一点F，使得CF平面PAE，并给出证明 误解(1)取A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PA1，则P(0,0,1)，B(2,0,0)，O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)， 辨析首先应建立适当的空间直角坐标系，其次用向量表示形式验证求解 正解四边形ABCD是ABC60的菱形，E为边BC的中点， AEBC，AEAD，又PA平面ABCD， PAAE，PAAD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB2， A(1,3，3)B(9,1,1) C(1，3,3) D(9，1，1) 答案B 答案B A28 B28 C14 D14 答案D 二、填空题 4已知a(2，2,3)，b(4,2，x)，且ab，则x_. 解析代入夹角公式，求得
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