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课程目标1双基目标(1)了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发展中的作用(2)掌握演绎推理的基本模式，体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异(4)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点2情感目标(1)结合已学过的数学实例和日常生活中的实例，让学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系(2)通过合情推理与演绎推理的学习，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识，学习合情推理有助于培养学生进行归纳时的严谨学风，从而形成实事求是、力戒浮夸的思维习惯 (3)通过本章的学习，有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养 (4)通过本章的学习，有助于发展学生的创新意识和创新能力重点难点本章重点：演绎推理和两种证明方法直接证明和间接证明本章难点：对演绎推理和反证法的理解学法探究学习本章时要注意基本数学思想，如归纳、类比、演绎推理以及综合法、分析法、反证法的思想的理解和应用学习过程中应结合实例，运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想学习重点在于理解与掌握研究问题的思维方式，感悟到猜测一个问题有时比证明一个问题更重要，以逐步形成科学的探索精神，而不要刻意去追求对概念的抽象表述21合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理1知识与技能(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义(2)能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2过程与方法(1)通过探索、研究、归纳、总结形成本节的知识结构(2)让学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，科学结论和数学证明的发现主要是靠合情推理3情感、态度与价值观(1)结合本节内容，强调推理与其他学科以及实际生活的联系，体会推理的意义及重要性(2)体会合情推理有助于培养学生进行归纳的严谨学风，从而形成实事求是的思维习惯本节重点：合情推理的含义及归纳推理和类比推理的定义本节难点：归纳和类比推理的基本方法 归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么，推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现问题的重要方法类比推理是寻找事物之间的共同性质，类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠 类比推理就是根据两个(或两类)对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似地推理形式类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证 在高考中，归纳推理，主要形式是先由已知条件归纳出一个结论，并对结论进行证明类比推理主要作为题目的已知条件给出，并要求考生加以应用或证明，以及由特殊到一般，由特殊到特殊的处理问题方法 1推理 (1)定义：根据一个或几个已知得出一个判断，这种就是推理 (2)结构：一般由两部分组成，一部分是 ，叫做前提；一部分是由已知，叫做结论 (3)分类：推理一般分为与事实(或假设)思维方式已知的事实(或假设)推出的判断合情推理演绎推理 2合情推理 (1)定义：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理 (2)分类：数学中常用的合情推理有和可能为真归纳推理类比推理 (3)归纳和类比推理的定义、特征及步骤：名称归纳推理类比推理定义根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理，叫做归纳推理根据两类不同事物之间具有 ，推测其中一类事物具有 的推理，叫做类比推理部分对象所有对象某些类似(或一致)性与另一类事物类似(或相同)的性质名称归纳推理类比推理特征由部分到 ，由 到 的推理由 到 的推理步骤通过观察 发现 从已知的 中推出 找出两类事物之间的 用一类事物的 去推测 整体特殊一般特殊特殊个别情况某些相同性质相同性质一个明确表述的一般性命题(猜想)相似性或一致性性质 另一类事物的性质得出一个明确的命题(猜想，)解析(1)当n1时，a10，由an1an(2n1)(nN)，得a2a111，a3a234，a4a359.由a102，a212，a322，a432，可归纳出an(n1)2.说明解答本题可先求出前有限项，再归纳猜想出通项公式所谓归纳推理是一种从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理的手段，但它又不同于数学归纳法，我们这里的归纳推理就是通过归纳而得到的猜想结论解析要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩(1)考察相邻两数的差：514,954，1394,17134，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17421.31,26，(),16,11.括号中的数应填入21.所以，两括号内依次填入8,21.说明类比推理又称类比法它是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理简单地说，类比推理是由特殊到特殊的推理 根据等差数列的性质，利用类比方法试写出等比数列的一些性质.等差数列性质an，公差d等比数列性质bn，公比q若mnpq则amanapaq若mn2p，则aman2apak，akm，ak2m，构成公差为md的等差数列Sn为前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成公差为n2d的等差数列aman(mn)d解析由等差数列、等比数列性质，不难类比得到的性质若mnpq，则bmbnbpbq若mn2p，则bmbnbbk，bkm，bk2m构成公比为qm的等比数列公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列，公比为qnbmbnqmn. 例3平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这n个圆把平面分割成的区域数，试求f(n)解析f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数，若再有一个圆和这n个圆相交，则增加2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面被分割成的区域数增加2n个，即f(n1)f(n)2n，故f(n1)f(n)2n.由递推公式得f(2)f(1)21，f(3)f(2)22，f(4)f(3)23，f(n)f(n1)2(n1)，将以上n1个等式相加得：f(n)f(1)2123(n1)n2n.又f(1)2，故f(n)n2n2.说明这类问题直接求解较复杂，可转化为推测任何相邻两项的关系，再用数列的知识求解. 例4如图所示，在四面体SABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA，SB，SC与底面ABC所成的角分别为1，2，3，三个侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想分析与DEF相对应的是四面体SABC，与三角形三条边长相对应的是四面体三个侧面的面积，与三角形三个角相对应的是四面体的三条侧棱与底面所成的三个角根据平面几何中三角形的正弦定理，用类比的方法，推广到四面体中说明常见的类比有：三角形四面体；圆球；点线；正方形正方体；直线平面；长方形长方体；平面角二面角；面积体积；平形四边形平行六面体；角平分线二面角的平分面 在ABC中，若C90，则cos2Acos2B1，用类比推理的方法，猜想三棱锥的类似性质解析将平面图形(如图)类比到空间图形(如图)中，有：在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，与底面所成的角分别为，则有cos2cos2cos21.例5在RtABC中，三边长分别为a，b，c，则c2a2b2，类比在三棱锥中有何结论辨析应在VA、VB、VC两两相互垂直的三棱锥VABC中，才有以上结论成立一、选择题1命题“对顶角相等”的说法中正确的是()A前提是“对顶角”，结论是“相等”B前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”C前提是“两个角相等”结论是“这两个角是对顶角”D前提是“两个角相等”，结论是“两个角相等”答案B解析经判断B正确2数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，的第100项的值是()A13 B14 C15 D16答案B3若f(n)n2n21，nN，下列说法中正确的是()Af(n)可以为偶数 Bf(n)一定为奇数Cf(n)一定为质数 Df(n)必为合数答案B解析f(n)n(n1)21，n(n1)是偶数，n(n1)21是奇数二、填空题4在下列由火柴杆拼成的一系列图形中，如图，第n个图形由n个正方形组成通过观察可以发现，第4个图形中，火柴杆有_根；第n个图形中，火柴杆有_根答案133n1解析由图可知n1时，a21；n2时，a27；n3时，a310；n4时，a413，an43(n1)3n1.5对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中类比上述命题，可以得到命题_答案夹在两平行平面间的平行线段相等 解析利用类比推理可知，平面中的直线应类比空间中的平面.
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