高中数学 312空间向量的基本定理课件 新人教B版选修21

1知识与技能 通过本节学习理解向量共线的条件，共面向量定理和空间向量基本定理 能够判定空间向量是否共面 了解基向量、基底的概念、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 2过程与方法 通过对空间向量基本定理的学习，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的数学思想 3情感态度与价值观 事物之间可以相互转化，渗透由特殊到一般的思想，通过对空间向量基本定理的运用，增强学生的应用意识 重点：共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理 难点：空间向量分解定理 1共线向量定理 (1)在前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即有：共线向量定理：对空间两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数x，使axb. (2)对于空间任意两个向量a、b(b0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：ab存在唯一实数x使axb；存在唯一实数x，使axbab. 是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理，若要作此结论判定a、b的基线平行，还需a(或b)上有一点不在b(或a)上 说明：在此定理中必须要有b0这个条件，在axb中，对于确定的x和b，axb表示空间与b平行的且长度为|xb|的所有向量，利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线 2共面向量基本定理 a是指a的基线在平面内或平行平面.共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面 在证明充要条件问题时，要证明两个方面充分性和必要性共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便于我们对向量进行运算 利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等 三个向量共面，又称做三个向量线性相关反之，如果三个向量不共面，则称做三个向量线性无关 可用此结论证明四点共面问题 三个非零向量a、b、c，其中无二者共线，则它们共面的充要条件是存在三个非零实数l、m、n，使lambnc0 . 3空间向量基本定理 用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 1共线向量定理 对于空间两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数x，使_ 2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使_ 3空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x，y，z，使p_. 表 达 式 x a y b z c ， 叫 做 a ， b ， c 的_ 4如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xayb zc能生成所有的空间向量，a，b，c叫做空间的一个_，记作_，其中a，b，c都叫做_ 5空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 答案1.axb 2cxayb 3xaybzc线性表达式或线性组合 说明判断向量a，b共线的方法有两种： (1)定义法 即证明ab先证明a，b所在基线平行或重合 (2)利用“axbab”判断此种方法依据题目条件分为两类题型： ax1e1y1e2z1e3，bx2e1y2e2z2e3(其中e1，e2，e3不共面)，令ab，即(x1x2)e1(y1y2)e2(z1z2)e3 a，b为立体图形中的有向线段，一般方法是选择一个(或多个)含有a，b的空间封闭多边形建立向量等式，并将其化简求得关系式ab即可 说明(1)判断三个以上空间向量共面的一般方法，先选择其中两个向量(或依题意选择适当的一组基底)，另外向量(或所有向量)用这两向量(基向量)表示成axbyc形成即可完成 分析本题是空间向量分解定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就表示所需向量，再对照目标即基底a，b，c，将不符合的向量化作新的所需向量，如此反复，直到所涉及向量都可用基底表示 说明用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则 AA、B、DBA、B、C CB、C、D DA、C、D 分析要证明三点共线，需证明从同一点发出的两个向量共线 答案A 已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，则x_，y_. 答案138 解析ab，ba. (x1)m8n2yp3m2n4p， 辨析利用向量共面的充要条件，也可考虑利用向量共面的定义来证明 一、选择题 1下列命题中正确的是() A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C零向量没有确定的方向 D若ab，则存在惟一的实数，使ab 答案C 解析由零向量定义知选C. 2若e1，e2是同一个平面内的两个向量，则() A平面内任一向量a，都有ae1e2(，R) B若存在实数1，2，使1e12e20，则120 C若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有ae1e2(，R) D若e1，e2不共线，则平面内任一向量a，都有ae1e2(，R) 答案D 解析由共面向量定理知选D. 答案D 5已知a，b，c不共面，且m3a2bc，nx(ab) y ( b c ) 2 ( c a ) ， 若 mn ， 则 x y _. 答案4 解析n(x2)a(yx)b(y2)c， 三、解答题 6对于任意空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面 解析如图所示，空间四边形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得，