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第第8课时正弦定理和余弦定课时正弦定理和余弦定理的应用举例理的应用举例第三章三角函数、解三角形第三章三角函数、解三角形教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.仰角和俯角：仰角和俯角：在视线和水平线所成的在视线和水平线所成的角中角中,视线在水平线视线在水平线_的角叫仰角的角叫仰角,在在水平线水平线_的角叫俯角的角叫俯角(如图如图).上方上方下方下方2.方位角：方位角：从正从正_方向顺时针转到目方向顺时针转到目标方向线的角标方向线的角(如图如图,B点的方位角为点的方位角为).北北思考探究思考探究1.仰角、俯角、方位角有何区别仰角、俯角、方位角有何区别?提示：提示：三者的参照位置不同三者的参照位置不同.仰角与俯仰角与俯角是相对于水平线而言的角是相对于水平线而言的,而方位角是而方位角是相对于正北方向而言的相对于正北方向而言的.3.方向角：方向角：相对于某一正方向的角相对于某一正方向的角(如如图图).(1)北偏东北偏东：指从正北方向顺时针旋转：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向到达目标方向.(2)东北方向：指北偏东东北方向：指北偏东45或东偏北或东偏北45.(3)其他方向角类似其他方向角类似.思考探究思考探究2.如何用方位角、方向角确定一点的位如何用方位角、方向角确定一点的位置置?提示：提示：利用方位角或方向角和目标与观利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置测点的距离即可唯一确定一点的位置.课前热身课前热身1.(2012阜新调研阜新调研)若点若点A在点在点B的北偏的北偏西西30,则则B点在点在A点的点的()A.北偏西北偏西30B.北偏西北偏西60C.南偏东南偏东30 D.东偏南东偏南30答案：答案：C2.在某次测量中在某次测量中,在在A处测得同一半平面处测得同一半平面方向的方向的B点的仰角是点的仰角是60,C点的俯角为点的俯角为70,则则BAC等于等于()A.10 B.50C.120 D.130答案：答案：D答案：答案：B4.我舰在敌岛我舰在敌岛A南偏西南偏西50相距相距12海里海里的的B处处,发现敌舰正由岛发现敌舰正由岛A沿北偏西沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小时的速度航行小时的速度航行,我我舰要用舰要用2小时追上敌舰小时追上敌舰,则需要的最小速则需要的最小速度为度为_.答案：答案：14海里海里/小时小时5.(2011高考上海卷高考上海卷)在相距在相距2千米的千米的A、B两点处测量目标点两点处测量目标点C,若若CAB75,CBA60,则则A、C两点之间两点之间的距离为的距离为_千米千米.考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1测量距离测量距离对于不可抵达的两地之间距离的测量问对于不可抵达的两地之间距离的测量问题题(如海上、空中两地测量如海上、空中两地测量,隔着某一障隔着某一障碍物两地测量等碍物两地测量等),解决的思路是建立三解决的思路是建立三角形模型角形模型,转化为解三角形问题转化为解三角形问题.一般根据题意一般根据题意,从实际问题中抽象出一从实际问题中抽象出一个或几个三角形个或几个三角形,然后通过解这些三角然后通过解这些三角形形,得到所求的量得到所求的量,从而得到实际问题的从而得到实际问题的解解,解题时应认真审题解题时应认真审题,结合图形去选择结合图形去选择定理定理.例例1【规律小结规律小结】求距离问题一般要注意：求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当基线的选取要准确恰当(在测量上在测量上,我我们根据测量需要适当确定的线段叫做基们根据测量需要适当确定的线段叫做基线线,如例题中的如例题中的CD).(2)选定或创建的三角形要确定选定或创建的三角形要确定.(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定利用正弦定理还是余弦定理要确定.考点考点2测量高度测量高度测量高度问题一般是利用地面上的观测测量高度问题一般是利用地面上的观测点点,通过测量仰角、俯角等数据计算物通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度体的高度;这类问题一般用到立体几何这类问题一般用到立体几何知识知识,先把立体几何问题转化为平面几先把立体几何问题转化为平面几何问题何问题,再通过解三角形加以解决再通过解三角形加以解决. 测量河对岸的塔高测量河对岸的塔高AB时时,可选取可选取与塔底与塔底B在同一水平面内的两个测点在同一水平面内的两个测点C与与D,现测得现测得BCD75,BDC60,CDs,并在点并在点C处测得塔顶处测得塔顶A的仰的仰角为角为30,求塔高求塔高AB.例例2【思路分析思路分析】在在BCD中中,求得求得CB,在在ACB中中,求出求出AB.【失误点评失误点评】例例2有两处易错点：有两处易错点：(1)图形中为空间关系图形中为空间关系,极易当做平面问题极易当做平面问题处理处理,从而致错从而致错;(2)对仰角、俯角等概念对仰角、俯角等概念理解不够深入理解不够深入,从而把握不准已知条件从而把握不准已知条件而致错而致错.考点考点3测量角度测量角度解决有关海上或空中测量角度的问题解决有关海上或空中测量角度的问题(如确定目标的方位、观察某一建筑物如确定目标的方位、观察某一建筑物的视角等的视角等)的关键是根据题意和图形及的关键是根据题意和图形及有关概念有关概念,确定所求的角在哪个三角形确定所求的角在哪个三角形中中,该三角形中已知哪些量该三角形中已知哪些量,需求哪些量需求哪些量等等. (2010高考福建卷节选高考福建卷节选)某港口某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在航行的轮船上,在小艇出发时在小艇出发时,轮船位轮船位于港口于港口O北偏西北偏西30且与该港口相距且与该港口相距20海里的海里的A处处,并正以并正以30海里海里/时的航行速时的航行速度沿正东方向匀速行驶度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿假设该小艇沿直线方向以直线方向以v海里海里/时的航行速度匀速行时的航行速度匀速行驶驶,经过经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇.例例3(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在为保证小艇在30分钟内分钟内(含含30分钟分钟)能与轮船相遇能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的试确定小艇航行速度的最小值最小值.【思路分析思路分析】(1)满足满足AOC为为Rt时最小时最小;(2)利用余弦定理构造利用余弦定理构造v关于关于t的函数的函数.【名师点评名师点评】首先应明确方位角的含首先应明确方位角的含义义,在解应用题时在解应用题时,分析题意分析题意,分清已知与分清已知与所求所求,再根据题意正确画出示意图再根据题意正确画出示意图,这是这是最关键、最重要的一步最关键、最重要的一步,通过这一步可通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的将实际问题转化成可用数学方法解决的问题问题,解题时也要注意体会正、余弦定解题时也要注意体会正、余弦定理理“联袂联袂”使用的优点使用的优点.互动探究互动探究本例条件不变本例条件不变,问是否存在问是否存在v,使得小艇以使得小艇以v海里海里/时的航行速度行驶时时的航行速度行驶时,总能有两种不总能有两种不同的航行方向与轮船相遇同的航行方向与轮船相遇?若存在若存在,试确定试确定v的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.方法技巧方法技巧解三角形的一般步骤解三角形的一般步骤(1)分析题意分析题意,准确理解题意准确理解题意.分清已知与所求分清已知与所求,尤其要理解应用题中尤其要理解应用题中的有关名词、术语的有关名词、术语,如坡角、仰角、俯如坡角、仰角、俯角、方位角等角、方位角等.(2)根据题意画出示意图根据题意画出示意图.(3)将需求解的问题归结到一个或几个将需求解的问题归结到一个或几个三角形中三角形中,通过合理运用正弦定理、余通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解弦定理等有关知识正确求解.演算过程演算过程中中,要求算法简练要求算法简练,计算正确计算正确,并作答并作答.(4)检验解出的答案是否具有实际意义检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍对解进行取舍.失误防范失误防范在解实际问题时在解实际问题时,需注意的两个问题需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角并能准确地找出这些角;(2)要注意将平面几何中的性质、定理要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来与正、余弦定理结合起来,发现题目中发现题目中的隐含条件的隐含条件,才能顺利解决才能顺利解决.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,利用正弦定利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点有关的实际问题是高考的热点,一般以一般以解答题的形式考查解答题的形式考查,主要考查计算能力和分析问题、解决实主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力际问题的能力,常与解三角形的知识及常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查三角恒等变换综合考查.预测预测2013年高考仍将以利用正弦、余年高考仍将以利用正弦、余弦定理弦定理,解决与测量、几何计算有关的解决与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点实际问题为主要考点,重点考查应用所重点考查应用所学知识解决实际问题的能力学知识解决实际问题的能力.规范解答规范解答例例【名师点评名师点评】本题考查了利用正、余本题考查了利用正、余弦定理解实际应用题弦定理解实际应用题,难度较小难度较小,但考生但考生做得极不理想做得极不理想,其原因是平时做的这一其原因是平时做的这一类题太少类题太少.考生失分点是：一是对方位考生失分点是：一是对方位角的概念不清角的概念不清,二是二是BD的长度计算出错的长度计算出错,三是不能利用三是不能利用ABD求求BD.
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