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第二讲第二讲 数形结合思想数形结合思想一、数形结合的思想一、数形结合的思想所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结结合合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过“以形助数，以形助数，以数解形以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合的规律性与灵活性的有机结合数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化几何化，几何问题代数化二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系系4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式证明不等式5构建立体几何模型研究代数问题构建立体几何模型研究代数问题6构建构建解析几何解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题题7构建方程模型，求根的个数构建方程模型，求根的个数8研究图形的形状、位置关系、性质等研究图形的形状、位置关系、性质等三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，具体操巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：作时，应注意以下几点：1准确画出函数图象，注意函数的定义域准确画出函数图象，注意函数的定义域2用图象法讨论方程用图象法讨论方程(特别是含参数的方程特别是含参数的方程)的解的个数是一的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于有时可能先作适当调整，以便于作图作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解，然后作出两个函数的图象，由图求解四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：下四点：1要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征征2要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化3要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏4精心联想精心联想“数数”与与“形形”，使一些较难解决的代数问题，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解几何化，几何问题代数化，以便于问题求解不等式问题中的数形结合不等式问题中的数形结合【解析】【解析】在平面直角坐标系中作出函数在平面直角坐标系中作出函数y2xm及及yf(x)的图象的图象(如图如图)，由于不等式，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函数恒成立，所以函数y2xm的图象应总在函数的图象应总在函数yf(x)的图象的下方，因此，当的图象的下方，因此，当x2时，时，y4m0，所以，所以m4，所以所以m的取值范围是的取值范围是4，)【答案答案】4，)解决这类问题，往往需要构造函数，其标准是简洁明了，易解决这类问题，往往需要构造函数，其标准是简洁明了，易于作出图象，便于操作，这也是解题的关键于作出图象，便于操作，这也是解题的关键答案答案B解析几何中的数形结合解析几何中的数形结合解本题时，不少同学可能会依常理解本题时，不少同学可能会依常理“出牌出牌”构造函数，将构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得事实上，问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得事实上，求抛物线的焦点求抛物线的焦点(或准线或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后利用三点共线或形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后利用三点共线或三角形的三边关系加以处理三角形的三边关系加以处理答案答案C【标准解答】【标准解答】方程方程x2ax2b0的两根在区间的两根在区间(0,1)和和(1,2)上的几何意义分别是：函数上的几何意义分别是：函数yf(x)x2ax2b与与x轴的两轴的两个交点的横坐标分别在区间个交点的横坐标分别在区间(0,1)和和(1,2)内，内，参数范围中的数形结合参数范围中的数形结合在如图所示的在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点坐标平面内，满足条件的点(a，b)对应对应的平面区域为的平面区域为ABC(不包括边界不包括边界)(6分分)在本例中，求在本例中，求(a1)2(b2)2的值域的值域解析解析(a1)2(b2)2表示区域内的点表示区域内的点(a，b)与定点与定点(1,2)之间距离的平方，之间距离的平方，(a1)2(b2)2(8,17)
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