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第二讲第二讲 函数的性质及应用函数的性质及应用1函数的单调性函数的单调性对于定义域内某一区间对于定义域内某一区间D内任意的内任意的x1，x2且且x1x2 (1)若若f(x1)f(x2)恒成立恒成立f(x)在在D上上 (2)若若f(x1)f(x2)恒成立恒成立f(x)在在D上上 单调递增单调递减2函数的奇偶性的性质函数的奇偶性的性质(1)函数函数yf(x)是偶函数是偶函数yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称函数函数yf(x)是奇函数是奇函数yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称(2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性性 ，且在，且在x0处有定义时必有处有定义时必有f(0) ，即，即f(x)的图象的图象过过 (3)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性性 y轴原点相同(0,0)相反03指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数的性质指数函数指数函数yax(a0，且，且a1)对数函数对数函数ylogax(a0，且，且a1)定义域定义域值域值域不变性不变性恒过定点恒过定点恒过定点恒过定点增减性增减性a1时为时为 ，0a1时为时为a1时为时为 ，0a1时为时为奇偶性奇偶性图象特征图象特征图象始终在图象始终在x轴上方轴上方图象始终在图象始终在y轴右侧轴右侧(，)(，)(0，)(0，)(0,1)(1, 0)增函数减函数增函数减函数非奇非偶函数非奇非偶函数4.函数的零点与方程的根的关系函数的零点与方程的根的关系 函数函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)g(x)的的根根，即函数，即函数yf(x)的图象与函数的图象与函数yg(x)的图的图象象 5函数有零点的判定函数有零点的判定 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线，并且有断的一条曲线，并且有 ，那么函数，那么函数yf(x)在区间在区间 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使，使得得 ，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根 交点的横坐标f(a)f(b)0(a，b)f(c)0121log (21)x2(2011课标全国卷课标全国卷)下列函数中，即是偶函数又在下列函数中，即是偶函数又在(0，)单调递增的函数是单调递增的函数是Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|解析解析本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题，可本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题，可以直接判断：以直接判断：A是奇函数，是奇函数，B是偶函数，又是是偶函数，又是(0，)的增的增函数，故选函数，故选B.答案答案B答案答案C答案答案20答案答案2 函数是高中数学的知识主干，是高考考查的重点高考对函数函数是高中数学的知识主干，是高考考查的重点高考对函数的性质及应用的考查一般是以指数函数、对数函数、幂函数为载体的性质及应用的考查一般是以指数函数、对数函数、幂函数为载体考查函数的定义域、值域、图象、单调性、奇偶性以及函数的零点，考查函数的定义域、值域、图象、单调性、奇偶性以及函数的零点，以选择题、填空题的形式出现高考对函数内容的考查是考查能力以选择题、填空题的形式出现高考对函数内容的考查是考查能力的重要素材，很多考查能力的试题都是以函数为基础素材，以灵活的重要素材，很多考查能力的试题都是以函数为基础素材，以灵活多变的形式命制的所以复习本部分内容时要培养用函数的性质与多变的形式命制的所以复习本部分内容时要培养用函数的性质与函数的图象分析问题解决问题的能力，尤其需注意函数与方程的思函数的图象分析问题解决问题的能力，尤其需注意函数与方程的思想方法在解答与函数有关的试题中的应用想方法在解答与函数有关的试题中的应用函数的定义域与值域函数的定义域与值域【答案】【答案】(1)C(2)D 1求函数的定义域时要记住几类基本初等函数求函数的定义域时要记住几类基本初等函数的定义域，一般要解方程的定义域，一般要解方程(组组)求得求得 2求函数的值域时需注意其定义域对值域的制求函数的值域时需注意其定义域对值域的制约作用，在熟练掌握常用方法的基础上选择最优方约作用，在熟练掌握常用方法的基础上选择最优方法去解决遇到含字母参数或参数区间的一类问题法去解决遇到含字母参数或参数区间的一类问题时，应对字母参数进行讨论时，应对字母参数进行讨论函数的定义域和值域都要写成集合的形式函数的定义域和值域都要写成集合的形式答案答案C答案C函数的性质及应用函数的性质及应用【答案】【答案】(1)A(2)A 高考对函数性质的考查是奇偶性、周期性、单高考对函数性质的考查是奇偶性、周期性、单调性的综合应用求函数值时往往需函数的奇偶性、调性的综合应用求函数值时往往需函数的奇偶性、周期性交互使用，函数的单调性往往与不等式、方周期性交互使用，函数的单调性往往与不等式、方程的解等问题交汇，一般与奇偶性结合，应用单调程的解等问题交汇，一般与奇偶性结合，应用单调性的定义把问题转化为一元二次不等式性的定义把问题转化为一元二次不等式(组组)或一次或一次不等式不等式(组组)解决解决3(2011韶关模拟韶关模拟)设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且f(x3)f(x)1，f(1)2，则，则f(2 011)_.答案2答案答案C函数的图象及应用函数的图象及应用(2)(5分分)(2011陕西陕西)方程方程|x|cos x在在(，)内内A没有根没有根B有且仅有一个根有且仅有一个根C有且仅有两个根有且仅有两个根 D有无穷多个根有无穷多个根【解题切点解题切点】(1)利用函数的性质，采用排除法可得利用函数的性质，采用排除法可得答案答案(2)数形结合法、构造函数并画出函数的图象、观察直观判数形结合法、构造函数并画出函数的图象、观察直观判断断(2)构造两个函数构造两个函数y|x|和和ycos x，在同一个坐标系内画出它，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根方程有且仅有两个根(5分分)1识图的方法：在观察分析图象时，需注意到图象的分布识图的方法：在观察分析图象时，需注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系2图象的应用：在研究函数性质特别是单调性、最值、零图象的应用：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意应用函数的图象解决问题，此时解题的关键是点时，要注意应用函数的图象解决问题，此时解题的关键是构造恰当的函数并正确地作出其图象构造恰当的函数并正确地作出其图象5(2011江南十校联考江南十校联考)函数函数f(x) 的图象大致是的图象大致是2log2x由数形结合知，实数由数形结合知，实数c需有需有1c2或或2c1，故选，故选B.答案答案B【解题切点】【解题切点】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的值域、单调性进行判断的值域、单调性进行判断函数的零点函数的零点【答案】【答案】B确定函数零点的常用方法：确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法：若方程易解时应用此法解方程判定法：若方程易解时应用此法(2)利用零点的存在性定理利用零点的存在性定理(3)利用数形结合法，尤其是当方程两端对应的函数类型不同利用数形结合法，尤其是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数形结合法求解形结合法求解答案答案B
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