浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题三第二讲 数列求和及综合应用课件 理 新人教版

第二讲数列求和及综合应用第二讲数列求和及综合应用主干知识整合主干知识整合2数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧(1)转化法转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法错位相减法这是在推导等比数列的前这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列这种方法主要用于求数列anbn的前的前n项和，其中项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法倒序相加法这是在推导等差数列前这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列也就是将一个数列倒过来排列(反序反序)，当它与原，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和的和3数列的应用题数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将文字语言转化为数学应当提高阅读理解能力，将文字语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公，利用该数列的通项公式、递推公式或前式或前n项和公式求解项和公式求解高考热点讲练高考热点讲练裂项相消求和裂项相消求和例例1错位相减求和错位相减求和例例2【归纳拓展】【归纳拓展】若若an是等差数列，是等差数列，bn是等比是等比数列，则数列，则cnanbn的前的前n项和可利用错位相减法项和可利用错位相减法求得所谓求得所谓“错位错位”，就是要找，就是要找“同类项同类项”相相减要注意的是相减后得到部分等比数列的和，减要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数此时一定要查清其项数变式训练变式训练2已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)(1)求数列求数列an的通项的通项an；(2)求数列求数列nan的前的前n项和项和Tn.数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题例例3 已知已知an是公比为是公比为q的等比数列，且的等比数列，且a12a23a3.(1)求求q的值；的值；(2)设设bn是首项为是首项为2，公差为，公差为q的等差数列，其的等差数列，其前前n项和为项和为Tn.当当n2时，试比较时，试比较bn与与Tn的大小的大小【归纳拓展归纳拓展】一般在数列不等式的证明中，一般在数列不等式的证明中，解题有个角度：放缩法，但在放缩过程中要注解题有个角度：放缩法，但在放缩过程中要注意放缩的方向具有一致性，在放缩的度上始终意放缩的方向具有一致性，在放缩的度上始终把待证结果作为放缩的目标，适时调整放缩度，把待证结果作为放缩的目标，适时调整放缩度，不能放得过大或过小当然数列与不等式的交不能放得过大或过小当然数列与不等式的交汇还有很多，具有数列与不等式的双重角色，汇还有很多，具有数列与不等式的双重角色，蕴涵着两种不同的思想，但在解题时，依然以蕴涵着两种不同的思想，但在解题时，依然以数列与不等式的基础知识与方法作为解题的依数列与不等式的基础知识与方法作为解题的依据，综合分析并解答问题据，综合分析并解答问题解：解：(1)因为因为Sn2ann，令，令n1，解得，解得a11，再分别令再分别令n2，n3，解得，解得a23，a37.(2)因为因为Sn2ann，所以，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)，两式相减，得，两式相减，得an2an11，所以所以an12(an11)(n2，nN*)又因为又因为a112，所以，所以an1是首项为是首项为2，公比为，公比为2的等比数的等比数列列则则an12n.故故an2n1. 假设某市假设某市2011年新建住房年新建住房400万平方米，万平方米，其中有其中有250万平方米是中低价房预计在今后的万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪万平方米那么，到哪一年底一年底数列的实际应用问题数列的实际应用问题例例4(1)该市历年所建中低价房的累计面积该市历年所建中低价房的累计面积(以以2011年为累计的第一年年为累计的第一年)将首次不少于将首次不少于4750万平方万平方米？米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于面积的比例首次大于85%?(2)设新建住房面积形成数列设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是等比数列是等比数列其中其中b1400，q1.08.则则bn400(1.08)n1.由题意可知由题意可知an0.85bn，有有250(n1)50400(1.08)n10.85.解得满足上述不等式的最小正整数解得满足上述不等式的最小正整数n6.到到2016年底，当年建造的中低价房的面积占年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于该年建造住房面积的比例首次大于85%.【归纳拓展归纳拓展】(1)用数列知识解相关的实际问用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型题，关键是合理建立数学模型数列模型，数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，求通项，还是解递推关系问题，即搞清是求和，求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，解不等式所求结论对应的是一个解方程问题，解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果得出实际问题的结果(2)解这类数列问题，在列项时，一般先不算出解这类数列问题，在列项时，一般先不算出最后结果，这样便于发现其中的规律，进而写最后结果，这样便于发现其中的规律，进而写出通项公式出通项公式变式训练变式训练4某市投资甲、乙两个工厂，某市投资甲、乙两个工厂，2011年年两工厂的年产量均为两工厂的年产量均为100万吨，在今后的若干年万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，万吨，乙工厂第乙工厂第n年比上一年增加年比上一年增加2n1万吨记万吨记2011年年为第一年，甲、乙两工厂第为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记年的年产量分别记为为an，bn.(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并厂将被另一工厂兼并解：解：(1)因为因为an是等差数列，是等差数列，a1100，d10，所以所以an10n90.因为因为bnbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以所以bn1002222n12n98.(2)当当n5时，时，anbn且且an2bn.当当n6时，时，anbn，所以甲工厂有可能被乙工厂，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并兼并2anbn即即2(10n90)2n98，解得解得n8，故，故2018年底甲工厂将被乙工厂兼并年底甲工厂将被乙工厂兼并考题解答技法考题解答技法例例本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放