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基础知识基础知识 一、函数的综合问题主要表现在以下几个方面：一、函数的综合问题主要表现在以下几个方面： 1函数的概念、函数的概念、 和方法的综合问题和方法的综合问题 2函数与其它代数知识，主要是函数与其它代数知识，主要是 、 、 的综合问题的综合问题性质性质方程方程不等式不等式数列数列 3函数与解析几何知识的综合问题函数与解析几何知识的综合问题 解决函数的综合问题，要认真分析、处理好各种关系，加深对函数的基解决函数的综合问题，要认真分析、处理好各种关系，加深对函数的基础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住函数的本质特征；掌握求函数表达函数的本质特征；掌握求函数表达式式 、 、 、 、 、 的方法；的方法； 定义域定义域值域值域最值最值单调区间单调区间反函数反函数对于函数与方程的综合问题，研究方程解的实质是确定函数图象与对于函数与方程的综合问题，研究方程解的实质是确定函数图象与 交点的位置问题，可以看作是函数图象的一种特殊状态，这类问题考查的热交点的位置问题，可以看作是函数图象的一种特殊状态，这类问题考查的热点是方程解的讨论或方程解的条件，常以二次方程或对数方程中含有参数的点是方程解的讨论或方程解的条件，常以二次方程或对数方程中含有参数的问题出现，关键是运用相关知识和方法把问题转化为混合组处理，尤其注意问题出现，关键是运用相关知识和方法把问题转化为混合组处理，尤其注意 的思想方法；对于函数与不等式的综合问题，要注意用运动变化的观点去观的思想方法；对于函数与不等式的综合问题，要注意用运动变化的观点去观察、分析问题察、分析问题 思想、思想、 思想、思想、 思想及思想及 思想是解决这类综合问题的关键；对于函数与解析几何的综合问题一般来说思想是解决这类综合问题的关键；对于函数与解析几何的综合问题一般来说难度较大，应综合运用曲线与方程等相关知识，综合运用多种数学思想方法难度较大，应综合运用曲线与方程等相关知识，综合运用多种数学思想方法解决解决x轴轴等价转化等价转化函数方程函数方程分类讨论分类讨论数形结合数形结合等价转化等价转化 二、解决应用问题是新教材所要求的一个重要能力，而函数型的应用问二、解决应用问题是新教材所要求的一个重要能力，而函数型的应用问题是应用问题的主要题型之一，在学习中应抓住以下一些能力的训练：题是应用问题的主要题型之一，在学习中应抓住以下一些能力的训练： 1阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清楚数据之间的关系、数据的单位等等；快速弄清楚数据之间的关系、数据的单位等等； 2建立函数模型的能力：关键是正确选择建立函数模型的能力：关键是正确选择 ，将问题的目标表示为，将问题的目标表示为这个变量的函数这个变量的函数(但在许多问题中，考虑到这个问题的难度，命题中会给但在许多问题中，考虑到这个问题的难度，命题中会给出自变量出自变量)，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；常用的函数模型有：函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；常用的函数模型有：自变量自变量 一次函数型一次函数型ykxb(k0)； 反比例函数型反比例函数型y (x0)； 二次函数型二次函数型yax2bxc(a0)； 指数函数型指数函数型y (增长率问题增长率问题)(x0)； yx 型型(x0)； 分段函数型分段函数型N(1p)x 3求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大大(小小)值值(注意这些能力目前还不高，只能解答一些简单的问题注意这些能力目前还不高，只能解答一些简单的问题)、计算函、计算函数值等等，注意发挥函数图象的作用数值等等，注意发挥函数图象的作用 易错知识易错知识 一、知识综合运用失误一、知识综合运用失误 1已知实数已知实数x、y满足满足y ，则，则 的最小值应是的最小值应是_ 答案：答案： 二、参数问题转换失误二、参数问题转换失误 2若若m0,1时，时，mx22(2m1)x4m70总成立，则总成立，则x取值范围取值范围是是_ 答案：答案：(，3)(1， ) 三、审题失误三、审题失误 3某不法商人将彩电先按原价提高某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上，然后在广告中写上“大酬宾，大酬宾，八折优惠八折优惠”，结果是彩电平均每台比原价高了，结果是彩电平均每台比原价高了270元，那么每台彩电原价元，那么每台彩电原价是是_元元 答案：答案：2250 四、在建立数学模型过程中，未过好事理关或文理关或数理关失误四、在建立数学模型过程中，未过好事理关或文理关或数理关失误 4下图是一份统计表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是下图是一份统计表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是_ (1)这几年人民生活水平逐年得到提高；这几年人民生活水平逐年得到提高； (2)人民生活费收入增长最快的一年是人民生活费收入增长最快的一年是2000年；年； (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；年； (4)虽然虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善因而人民生活有较大的改善 答案：答案：(1)(2)(4) 回归教材回归教材 1(课本课本P54例例2改编改编)电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费分钟收费0.2元，超过元，超过3分钟以后，每增加分钟以后，每增加1分钟收费分钟收费0.1元，不足元，不足1分钟按分钟按1分钟计费则通话费分钟计费则通话费s(元元)与通话时间与通话时间t(分钟分钟)的函数图象可表示成如图中的函数图象可表示成如图中的的() 解析：解析：由题意列出在由题意列出在0t6时的函数表达式：时的函数表达式： s 由图象可知应为由图象可知应为B. 答案：答案：B 2在一定范围中，某种产品的购买量在一定范围中，某种产品的购买量y吨与单价吨与单价x元之间满足一次函数关元之间满足一次函数关系，如果购买系，如果购买1000吨，每吨为吨，每吨为800元，如果购买元，如果购买2000吨，每吨为吨，每吨为700元，元，一客户购买一客户购买400吨，单价应该是吨，单价应该是() A820元元B840元元C860元元D880元元 解析：解析：设设yaxb(a0)，则，则 ， 解得解得 ， y10 x9000，由，由40010 x9000，得，得x860(元元) 答案：答案：C 3生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为件时的成本函数为c(x)202x x2(万元万元)，若售出一件商品收入是，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为大利润，应生产这种商品的数量为() A18件件B36件件C22件件D9件件 解析：解析：y20 xc(x)20 x202x x2 x218x20. x18时，时，y有最大值有最大值 答案：答案：A 4(课本课本P85例例1题改编题改编)据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为年产生的垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为，由此预测，该区下一年的垃圾量为_t,2008年的垃圾量为年的垃圾量为_ t. 解析：解析：由于由于2003年的垃圾量为年的垃圾量为a t，年增长率为，年增长率为b，故下一年的垃圾量为，故下一年的垃圾量为aaba(1b)t，同理可知，同理可知2005年的垃圾量为年的垃圾量为a(1b)2t，2008年年的垃圾量为的垃圾量为a(1b)5t. 答案：答案：a(1b)a(1b)5 5有一批材料可以建成有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图如图所示所示)，则围成的矩形最大面积为，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计围墙厚度不计) 答案：答案：2500m2 【例【例1】(2009重庆，重庆，10)已知已知T4为周期的函数为周期的函数 m ，x(1,1， f(x) 1|x2|，x(1,3，其中，其中m0，若方程，若方程3f(x)x恰有恰有5个实个实数解，则数解，则m的取值范围为的取值范围为() 命题意图命题意图考查函数性质的综合应用考查函数性质的综合应用 y2 为一条过原点的直线如图要使它们适合题意，需使为一条过原点的直线如图要使它们适合题意，需使l：y 与与曲线曲线C2(如图如图)有两交点，与有两交点，与C3没有交点没有交点 答案答案B (2008湖北八校第一次联考湖北八校第一次联考)定义在定义在R上的函数上的函数f(x)的图象关于点的图象关于点( ，0)成中心对称，对任意的实数成中心对称，对任意的实数x都有都有f(x)f(x )，且，且f(1)1，f(0)2，则，则f(1)f(2)f(3)f(2008)的值为的值为() A2B1C0D1 命题意图：命题意图：考查抽象函数的对称性与周期性考查抽象函数的对称性与周期性 解析：解析：函数函数f(x)的图象关于点的图象关于点( ，0)成中心对称，得成中心对称，得f(x)f( x)0，又，又f(x)f(x )，于是，于是f(x)是偶函数，且是偶函数，且f(x)f(x )f(x3)，即即3是函数是函数f(x)的周期，的周期，f(1)1f(2)f(1)f(4)，f(0)2f(3)，f(1) f(1)1.故选故选D. 答案：答案：D 【例【例2】1999年年10月月12日日“世界世界60亿人口日亿人口日”，提出了，提出了“人类对生育人类对生育的选择将决定世界未来的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前们的面前 (1)世界人口在过去世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ (2)我国人口在我国人口在1998年底达到年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在亿，若将人口平均增长率控制在1%以以内，我国人口在内，我国人口在2008年底至多有多少亿？年底至多有多少亿？ 以下数据提供计算时使用以下数据提供计算时使用数数N1.0101.0151.0171.3102.000对数对数1gN0.00430.00650.00730.11730.3010数数N3.0005.00012.4813.1113.78对数对数1gN0.47710.69901.09621.11761.1392 分析分析增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型模型 解析解析(1)设每年人口平均增长率为设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为年前的人口数为y， 则则y(1x)n60，则当，则当n40时，时，y30， 即即30(1x)4060，(1x)402， 两边取对数，则两边取对数，则40lg(1x)lg2， 则则lg(1x) 0.007525， 1x1.017，得，得x1.7%. (2)依题意，依题意，y12.48(11%)10， 得得lgylg12.4810lg1.011.1392， y13.78，故人口至多有，故人口至多有13.78亿亿 答：每年人口平均增长率为答：每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有年人口至多有13.78亿亿 探究拓展探究拓展此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中其中N是基础数，是基础数，p为增长率，为增长率，x为时间为时间)和幂函数模型和幂函数模型ya(1x)n(其中其中a为基础数，为基础数，x为增长率，为增长率，n为时间为时间)的形式解题时，往往用的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解 某电器公司生产某电器公司生产A种型号的家庭电脑，种型号的家庭电脑，2005年平均每台电脑生产成本为年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润元，并以纯利润20%标定出厂价标定出厂价.2006年开始，公司更新设备，加强年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低预计管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低预计2009年将平均年将平均每台每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2005年出厂价的年出厂价的80%，但却实，但却实现了纯利润现了纯利润50%高效益高效益 (1)求求2009年每台电脑的生产成本；年每台电脑的生产成本； (2)以以2005年生产成本为基数，求年生产成本为基数，求2005年至年至2009年生产成本平均每年降年生产成本平均每年降低的百分数低的百分数(精确到精确到0.01，以下数据可供参考：，以下数据可供参考： 2.236， 2.449) 解析：解析：(1)一方面可以根据一方面可以根据2005年的出厂价求得年的出厂价求得2009年的出厂价；另一方年的出厂价；另一方面根据题意可把面根据题意可把2009年的出厂价用年的出厂价用2009年的生产成本表示，列出方程求年的生产成本表示，列出方程求解解 设设2009年每台电脑的生产成本为年每台电脑的生产成本为x元，依题意，得元，依题意，得 x(150%)5000(120%)80%， 解得解得x3200(元元) (2)因为因为20052009年四年间成本平均每年降低的百分率相等年四年间成本平均每年降低的百分率相等 ，因此可，因此可把把2009年每台的生产成本用这个百分数表示，而这个量应与第年每台的生产成本用这个百分数表示，而这个量应与第(1)问中求问中求得的得的2009年每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解年每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解 设设2005年至年至2009年间每年平均生产成本降低的百分率为年间每年平均生产成本降低的百分率为y，则依题意，则依题意，得得5000(1y)43200. 解得解得y11 ，y21 (舍去舍去) 则则y1 0.1060.1111%. 所以所以2009年每台电脑的生产成本为年每台电脑的生产成本为3200元，元，2005年至年至2009年生产成本年生产成本平均每年降低约平均每年降低约11%. 反思归纳：反思归纳：(1)出厂价成本利润，利润成本出厂价成本利润，利润成本利润率利润率 (2)寻找等量关系是建立方程模型解答实际应用问题的关键寻找等量关系是建立方程模型解答实际应用问题的关键. 【例【例3】(2008宁夏银川宁夏银川5月月)电信局为了配合客电信局为了配合客户的不同需要，设有户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种两种优惠方案，这两种方案的应付电话费方案的应付电话费(元元)与通话时间与通话时间(分钟分钟)之间的关之间的关系如图所示系如图所示(实线部分实线部分)(注：图中注：图中MNCD)试问：试问： (1)若通话时间为若通话时间为2小时，按方案小时，按方案A、B各付话费多各付话费多少元？少元？ (2)方案方案B从从500分钟以后，每分钟收费多少元？分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案通话时间在什么范围内，方案B才会比方案才会比方案A优优惠？惠？ 解析解析由题图可知由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MNCD. 设这两种方案的应讨话费与通话时间的函数关系分别设这两种方案的应讨话费与通话时间的函数关系分别 0.3元元(n500)， 所以方案所以方案B从从500分钟以后，每分钟收费分钟以后，每分钟收费0.3元元 (3)由题图可知，当由题图可知，当0 x60时，时，fA(x)500时，时，fA(x)fB(x)； 当当60fB(x)得得x ，即当通话时间在，即当通话时间在( ，)时，方案时，方案B较方案较方案A优惠优惠 据气象中心观察和预测：发生于据气象中心观察和预测：发生于M地地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度动速度v(km/h)与时间与时间t(h)的函数图的函数图象如图所示，过线段象如图所示，过线段OC上一点上一点T(t,0)作横轴的垂线作横轴的垂线l，梯形，梯形OABC在直线在直线l左侧部分的面积即为左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所内沙尘暴所经过的路程经过的路程s(km) (1)当当t4时，求时，求s的值；的值； (2)将将s随随t变化的规律用数学关系式表示出来；变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若若N城位于城位于M地正南方向，且距地正南方向，且距M地地650km，试判断这场沙尘暴是否，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果城？如果不会，请说明理由不会，请说明理由 思维启迪：思维启迪：本题用一次函数、二次函数模型来考查生活中的行程问题，本题用一次函数、二次函数模型来考查生活中的行程问题，要分析出每段的速度随时间的关系式，再求距离要分析出每段的速度随时间的关系式，再求距离 30t150，t(10,20， t270t550，t(20,35 (3)t0,10时，时，smax 102150650. t(10,20时，时，smax3020150450650. 当当t(25,35时，令时，令t270t550650. 解得解得t130，t240，20t35， t30，所以沙尘暴发生，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到后将侵袭到N城城 1正确理解题意，选择恰当的函数模型解决数学问题正确理解题意，选择恰当的函数模型解决数学问题 2注意实际问题中函数自变量的取值范围应该以实际问题的合理性确定注意实际问题中函数自变量的取值范围应该以实际问题的合理性确定定义域定义域 3注意问题反馈把实际问题转化为数学模型解题后，对于数学模型得注意问题反馈把实际问题转化为数学模型解题后，对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性 4应用题必须明确写出答应用题必须明确写出答. 请同学们认真完成课后强化作业
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