资源描述
2abab 重要不等式重要不等式定理定理：如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当 时取时取“=”=”号）号）Rba,abba222ba 我们可以用比较法证明我们可以用比较法证明探究探究 你能从几何的角度解释定理吗？你能从几何的角度解释定理吗？ 几何解释课本第五页几何解释课本第五页ab22ab 动画动画几何解释几何解释221aab221ba几何解释几何解释 思考思考 1220,0,2ababab当在中以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?2abababba2( (当且仅当当且仅当 时取时取“ “ = = ”号）号） ba 如果如果 是正数，那么是正数，那么 ,a b 基本不等式基本不等式定理定理（均值定理）（均值定理）概念概念如果、都是正数，我们就称如果、都是正数，我们就称为、为、的的算术平均数算术平均数，称为、的称为、的几何平均数几何平均数。2abab均值定理可以描述为：均值定理可以描述为： 两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于（即大于或等于）不小于（即大于或等于）它们的它们的几何平均数几何平均数ab.均值定理的均值定理的几何意义几何意义2abab2ab半径不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaD 当且仅当当且仅当 中的中的“ “ = = ”号成立号成立 ba 时时2abab这句话的含义是这句话的含义是: 思考思考 2ba abba2当当ba abba2当当 和成立的条件相同吗？ 如： 成立，而 不成立。abba222abba2)5() 1(2)5() 1(22)5() 1(2)5() 1( 思考思考 3abba222成立的条件_abba2成立的条件_a，bRabR，222abcabbcac （1 1） 典例探讨典例探讨222abbcca222变式:求证:2a +2b +2c例例1 1 求证：求证：（）已知（）已知, , ,a b c d都是正数，求证都是正数，求证()()4abcd acbdabcd证明：证明：由, , ,a b c d都是正数，得都是正数，得02abcdab cd02acbdac bd()()4abcd acbdabcd()()4abcd acbdabcd即2., ,a b c巳知均为正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1 .0 ,0 ,11: ()()4 .ababab巳 知求 证 练习练习1例例2 2 求证：求证：（1）在所有周长相同的矩）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（形中，正方形的面积最大；（2）在所有）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。面积相同的矩形中，正方形的周长最短。变形变形.1 如果积 已知yx,都是正数，求证：xy是定值 ,P那么当 yx 时,和 yx 有最小值 2P2 如果和 yx 是定值 ,S那么当 yx 时,积 xy有最大值 214S证：证： Ryx, xyyx21当 xyP（定值）时，2xyP 上式当 yx 时取“=” 当 yx 时， xy有最小值2 P2当 xyS (定值)时， 2Sxy 214xyS 上式当 yx 时取“=” 当 yx 时， 214xyS有最大值yx 2 P注意：注意：1、最值的含义（最值的含义（“”取最小取最小值，值，“”取最大值）取最大值） 2、用极值定理求最值的三个必要条用极值定理求最值的三个必要条件：件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2()2()abab 22a+b由 公 式 a +b2ab,ab2可 得 以 下 结 论 ：ab(1)、同 号 ；baab（ 2）、异 号 。ba练习练习21.巳知x0,y0且xy=100,则x+y的最小 值是 _,此时x=_,y= _242.0,xxx巳知则6的最小值是_,此时x=_.3.,2.x yxyyx巳知都是正数,求证:4.证明证明210loglgxx（1）) 1(x证：证： 1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_2xx （2）(01)x解解： 10 x0lgx010logx于是 2)10log()lg(xx从而 210loglgxx？1.yxx5、求函数的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx时当,1,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y解解： 1x 01x011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 当且仅当当且仅当 111xx即即 0 x时 11xx有最小值有最小值1例例3.若，则为何值时若，则为何值时 11xx有最小值，最小值为几？有最小值，最小值为几？1(3)821xxxx21、求函数y=的最小值；x-3、求函数y=的值域. 练习练习347(3)3aaa3、求证其中已知，求（）的最大值例例4 4 sin232sinxyx求（0 x）的最小值。 1210,( )312(2)0,( )3xf xxxxf xxx若求的最小值；若的最大值。 注意注意:利用算术平均数和集合平均利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件数定理时一定要注意定理的条件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一个条件达不有一个条件达不到就不能取得最值到就不能取得最值. 练习练习4求求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值的最值.例例5.5.且 1、已知、已知 Ryxba,1ybxa， 求yx 的最小值解： yx yxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxayba当且仅当 yxbxay即 bayx时 2()xyab取最小值:1abc2、 已 知31cabcab求证：1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222证明证明：cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意注意:本题条件本题条件a,b,c为实数为实数22219(1),1,1,1211(sin)(cos)sincosx yRxyxyba bRaab已知:且求的最小值.(2)已知:且求的最大值.(3)设 为锐角,求的最小值. 练习练习5作业 课本作业；课本作业；P1P1、
展开阅读全文