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圆圆复复习课习课（1 1）圆的对称性 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称轴？轴？O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?n圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？你又是用什么方法解决这个你又是用什么方法解决这个问题的问题的? ?圆的对称性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. .它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .用旋转的方法即可解决这个用旋转的方法即可解决这个问题问题. .n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质: :圆的圆的旋转不变性旋转不变性圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧. 直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半每一部分都叫做半圆圆(如弧如弧ABC).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmDAM=BM,垂径定理 AB是是 O的一条弦的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?图中有图中有:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.做一做垂径定理三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理及其推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半径为在半径为3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法练一练练一练挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗? 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.挑战自我画一画 如图如图,M,M为为O O内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMAB作法：1.连结OM, 2.过M作ABOM, 则AB即为所求作的弦.驶向胜利的彼岸挑战自我填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）垂径定理的应用 例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一上的一点点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. .n解解: :连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为注意闪烁注意闪烁的三角形的三角形的特点的特点.船能过拱桥吗 2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？ 相信自己能独立相信自己能独立完成解答完成解答.船能过拱桥吗 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R=3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理三角形在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意两中，已知其中任意两个量个量, ,可以求出其它两个量可以求出其它两个量. .EOABDCd + h = rd + h = r222)2(adrOA=r, OE=d, AB=a, DE=hAB圆心角 圆心角圆心角 顶点在圆心的角顶点在圆心的角(如如AOB). 弦心距弦心距 过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离圆心与垂足之间的距离(如线段如线段OD). 如图如图,在在 O中中,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOB和和AOB, 将其将其中的一个旋转一个角度中的一个旋转一个角度,使得使得OA和和OA重合重合.n 你能发现那些等量关系你能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由.OOABDOABDABABABABABABDDDDDDABD圆心角 圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 如图如图,如果在两个等圆如果在两个等圆 O和和 O中中,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOB和和AOB,固定圆心固定圆心,将其中的一个旋转一个角度将其中的一个旋转一个角度,使使得得OA和和OA重合重合.OABOABn 你又能发现那些等量关系你又能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由.OABOABABABABABABABDDDD圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的圆心角所对的弧相等所对的相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等弦相等, ,所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等. .OABDABDOABDOABD由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出拓展与深化 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果轮换下面四组条件如果轮换下面四组条件: : 两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦心距, ,你能得出什么结论你能得出什么结论? ?与同伴交流你的想法和理由与同伴交流你的想法和理由. .OABDABDOABDOABD如由条件如由条件: AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB推论 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两两条弦条弦, ,两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所对那么它们所对应的其余各组量都分别相等应的其余各组量都分别相等. .OABDABDOABDOABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB化心动为行动 1.已知已知A,B是是 O上的两点上的两点,AOB=1200,C是是 的中点的中点,试确定四试确定四边形边形OACB的形状的形状,并说明理由并说明理由.n2.2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案条件的图案: :n(1)(1)是轴对称图形但不是中心对称图形是轴对称图形但不是中心对称图形; ;n(2)(2)即是轴对称图形又是中心对称图形即是轴对称图形又是中心对称图形. .n3.3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关性有关, ,试举几例试举几例. .AB反思自我想一想想一想, ,你的收获和困惑有你的收获和困惑有哪些哪些? ?说出来说出来, ,与同学们分享与同学们分享. .作业 86页，1，2，3，4
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