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第4讲转化与化归思想1(2012浙江)设a0，b0，A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abC若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则ab真题感悟自主学习导引解析设f(x)2x2x，则f(x)在(0，)上为增函数，由2a2a2b3b及b0，得2a2a2b2b，即f(a)f(b)，故有ab，即A正确，B错误对于命题C、D，令a2，则2b3b0，即b为g(x)2x3x的零点，而g(0)10，g(2)20，g(4)40，故0b2或b2，即0ba或ba，即命题C，D都是错误的，故选A.答案A2(2012重庆)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是A相离B相切C相交但直线不过圆心D相交且直线过圆心解析直线ykx1过定点(0,1)，而02122，所以点(0,1)在圆x2y22内部，直线ykx1与圆x2y22相交且直线不经过圆心故选C.答案C转化与化归的思想体现在高考试题中的各个方面，无论是直接转化还是间接转化，都是解决问题不可缺少的方法解此类题目时，要善于发现和挖掘题目条件与结论之间的内在联系，通过代数运算或推理实现二者的转化，即为解题过程 考题分析数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法在高中数学的学习中，它无处不在比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等方法突破1转化与化归的原则(1)目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；(2)和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；(3)具体化原则：即化归方向应由抽象到具体；(4)低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题；(5)正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解2转化与化归常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径；(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径；(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时；原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而得证；(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA使原问题得以解决高频考点突破考点一：抽象与具体、一般与特殊之间的转化【例1】若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是Af(x)为奇函数 Bf(x)为偶函数Cf(x)1为奇函数 Df(x)1为偶函数审题导引条件中的函数f(x)是抽象函数，可以把它具体化，结合选择题只有一个正确选项可得规范解答(特殊函数法)由条件f(x1x2)f(x1)f(x2)1，可取f(x)x1，所以f(x)1x是奇函数，故选C.答案C【规律总结】具体化与特殊化原则(1)具体化原则，就是把一些抽象问题化归为具体问题，从而解决问题一般地，对于抽象函数、抽象数列等问题，可以借助于熟悉的具体函数、数列等知识，探寻抽象问题的规律，找到解决问题的突破口和方法(2)数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题其解题模式是：首先设法使问题特殊(或一般)化，从而降低难度，然后解这个特殊(或一般)性的问题，从而使原问题获解【变式训练】答案C考点二：正向思维与逆向思维的转化与化归【例2】若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c使得f(c)0，求实数p的取值范围审题导引从“至少存在一个”的反面来考虑问题，求在1,1内不存在c使f(c)0的p的范围，然后求其补集【规律总结】正难则反的应用原则正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中【变式训练】2已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)0，By|y26y80，若AB ，则实数a的取值范围为_解析由题意得Ay|ya21或ya，By|2y4，我们不妨先考虑当AB 时a的取值范围如图：考点三：以换元为手段的转化与化归【例3】已知aR，求函数y(asin x)(acos x)的最小值审题导引本题考查函数的最值问题、化归思想及运算能力观察到等式右边是关于sin xcos x与sin xcos x的三角式，可设tsin xcos x，则原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题【规律总结】换元法的应用形如f(x)asin2xbsin xc的函数，其最值的求解可利用换元法，通过配方转化为二次函数的最值问题处理，但要注意三角函数自身的取值范围限制对于解析式中含有sin xcos x和sin xcos x的函数，往往通过换元也可转化为二次函数的最值问题，利用配方法求解最值其基本的思维过程是：换元、整理、配方、求最值【变式训练】名师押题高考【押题1】当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5押题依据本题以不等式恒成立为背景考查了函数的值域，体现了函数、不等式问题之间的相互转化，强化了知识，突出了能力，故押此题【押题2】已知各项均为正数的等差数列an的公差d不等于0，a12，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列bn的前三项(1)求数列anbn的前n项和Tn；(2)将数列an中与bn中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列cn，设其前n项和为Sn，求S2nn122n132n1(n2，nN)的值押题依据数列一直是高考重点考查的内容，涉及数列的概念、数量的函数特性、等差、等比数列的概念和性质，通项与前n项之和本题难度适中，体现了转化与化归的数学思想方法
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