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第六节直接证明与间接证明第六节直接证明与间接证明1直接证明直接证明内容内容综合法综合法分析法分析法定义定义利用已知条件和某些数学定利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一义、公理、定理等，经过一系列的系列的_，最后，最后推导出所要证明的结论推导出所要证明的结论_从要从要_出发，出发，逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的_，直至最后，直至最后，把要证明的结论归结为判把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件定一个明显成立的条件实质实质由因导果由因导果执果索因执果索因推理论证推理论证成立成立证明的结论证明的结论充分条件充分条件框图表示框图表示文字语言文字语言因为因为所以所以或由或由得得要证要证只需证只需证即证即证2.间接证明间接证明反证法：假设原命题反证法：假设原命题 _(即在原命题的条件下，结论即在原命题的条件下，结论不成立不成立)，经过正确的推理，最后得出，经过正确的推理，最后得出_因此说明假因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法法不成立不成立矛盾矛盾1综合法和分析法的区别和联系是什么？综合法和分析法的区别和联系是什么？【提示】【提示】综合法的特点是：从综合法的特点是：从“已知已知”看看“可知可知”，逐步推，逐步推向向“未知未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法的特点：从的特点：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”其逐步其逐步推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用法和分析法结合起来使用2反证法的关键是推出矛盾，这些矛盾主要有哪些？反证法的关键是推出矛盾，这些矛盾主要有哪些？【提示】【提示】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等定理、事实矛盾等 1(教材改编题教材改编题)用反证法证明命题：用反证法证明命题：“a，bN，ab可被可被5整整除，那么除，那么a，b中至少有一个能被中至少有一个能被5整除整除”时，假设的内容应为时，假设的内容应为()Aa、b都能被都能被5整除整除Ba、b都不能被都不能被5整除整除Ca、b不都能被不都能被5整除整除 Da不能被不能被5整除整除【解析】【解析】“至少有一个至少有一个”的否定的否定“没有一个没有一个”【答案】【答案】B【答案】【答案】C3设设A、B、C是三个集合，那么是三个集合，那么“AB”是是“ACBC”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】ABACBC，但，但ACBCD/AB，如，如当当C ，AB时，时，ACBC ，选，选A.【答案】【答案】A对于定义域为对于定义域为0,1的函数的函数f(x)，如果同时满足以下三条：，如果同时满足以下三条：对任意的对任意的x0,1，总有，总有f(x)0；f(1)1；若若x10，x20，x1x21，都有，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数成立，则称函数f(x)为理想为理想函数函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，如果是，请予证是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由明；如果不是，请说明理由【思路点拨】【思路点拨】根据理想函数的定义，证明根据理想函数的定义，证明g(x)满足理想函数满足理想函数的三个条件即可的三个条件即可综合法综合法 【尝试解答】【尝试解答】g(x)2x1(x0,1)是理想函数是理想函数证明如下：证明如下：x0,1，2x1，2x10，即对任意，即对任意x0,1，总有，总有f(x)0，满足条，满足条件件.f(1)2111，故满足条件，故满足条件，当当x10，x20，且，且x1x21时，时，f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(x2)2x12x22，f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x212x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)，x10，x20，则，则2x110,2x210，f(x1x2)f(x1)f(x2)0，即即f(x1x2)f(x1)f(x2)，满足条件，满足条件，故函数故函数g(x)2x1(x0,1)是理想函数是理想函数 1综合法是综合法是“由因导果由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未的证明方法，它是一种从已知到未知知(从题设到结论从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断已证的真实判断(命题命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性出所要求证结论的真实性2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理本例中条件不变，问题变为本例中条件不变，问题变为“若函数若函数f(x)是理想函数，证明是理想函数，证明f(0)0”，如何求解？，如何求解？【解】【解】令令x1x20，则，则x1x21，f(00)f(0)f(0)，f(0)0，又由条件又由条件知知f(0)0，f(0)0.,【思路点拨】【思路点拨】先去分母，再合并同类项，化成积式先去分母，再合并同类项，化成积式【尝试解答】【尝试解答】m0，1m0，所以要证原不等式成立，只需证明，所以要证原不等式成立，只需证明，(amb)2(1m)(a2mb2)，即证即证m(a22abb2)0，即证即证(ab)20，而而(ab)20显然成立，显然成立，故原不等式得证故原不等式得证,分析法分析法 1分析法是分析法是“执果索因执果索因”的证明方法，其主要过程是从结论的证明方法，其主要过程是从结论出发逐步寻求使结论成立的充分条件用分析法证明命题的逻出发逐步寻求使结论成立的充分条件用分析法证明命题的逻辑关系是：辑关系是：B B1 B2 Bn A，它的常见书面表达是，它的常见书面表达是“要证要证只需证只需证”2对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢逐步靠拢“已知已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁 (1)用单调性的定义证明用单调性的定义证明f(x)在在(1，)上为增函数上为增函数(2)用反证法证明：方程用反证法证明：方程f(x)0没有负数根没有负数根【思路点拨】【思路点拨】(1)按照：设元按照：设元作差作差变形变形判号判号结论的步骤结论的步骤证明证明(2)需证明的是否定性结论，可用反证法证明需证明的是否定性结论，可用反证法证明反证法反证法 1当一个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”或或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法关键是在正确的以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等2直接证明与间接证明是数学证明的两类基本的证明方直接证明与间接证明是数学证明的两类基本的证明方法直接证明含综合法与分析法，间接证明的一种基本方法是法直接证明含综合法与分析法，间接证明的一种基本方法是反证法反证法 从近两年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是从近两年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列、立体几何中的平行、垂直、不等知识交汇点处命题，像数列、立体几何中的平行、垂直、不等式、解析几何等都有可能考查，在考查基础知识的同时，考查式、解析几何等都有可能考查，在考查基础知识的同时，考查等价转化，分类讨论思想以及逻辑推理能力在证明时一定要等价转化，分类讨论思想以及逻辑推理能力在证明时一定要注意步骤的规范化注意步骤的规范化规范解答之十用综合法证明不等式规范解答之十用综合法证明不等式易错提示：易错提示：(1)解答解答(1)时，没有去分母，等价转化不等式，导时，没有去分母，等价转化不等式，导致作差变形无法进行致作差变形无法进行(2)解答解答(2)时，没有注意到各项之间的时，没有注意到各项之间的倒数关系，从而无法使用对数的性质及换底公式等价转化不等倒数关系，从而无法使用对数的性质及换底公式等价转化不等式式防范措施：防范措施：(1)在证明不等式时，应综合考虑待证不等式的结在证明不等式时，应综合考虑待证不等式的结构特征，是否先去分母，应根据后面证明不等式的手段确定构特征，是否先去分母，应根据后面证明不等式的手段确定(2)解答第解答第(2)问有意识地运用第一问的结果或解题方法至关重问有意识地运用第一问的结果或解题方法至关重要，本题通过换元法使待证不等式的左右两边分别是倒数关系，要，本题通过换元法使待证不等式的左右两边分别是倒数关系，和和(1)中不等式类似，从而可利用中不等式类似，从而可利用(1)的结论证明的结论证明1(2012宁波模拟宁波模拟)定义：若数列定义：若数列An满足满足An1A，则称数，则称数列列An为为“平方递推数列平方递推数列”已知数列已知数列an中，中，a12，点，点(an，an1)在函数在函数f(x)2x22x的图象上，其中的图象上，其中n为正整数证明：为正整数证明：数列数列2an1是是“平方递推数列平方递推数列”
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