高考数学复习方案 第2单元第6讲 函数的奇偶性和周期性课件 理 北师大版

第第6 6讲讲 函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性知识梳理1函数的奇偶性函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义 如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内的任意定义域内的任意x都有都有_ _ _，则称则称f(x)为奇函数；为奇函数；如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内的任意定义域内的任意x都有都有_，则称则称f(x)为偶函数为偶函数 如果函数如果函数f(x)不具有上述性质，则不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性；如果函数同时具有上不具有奇偶性；如果函数同时具有上述两条性质，则述两条性质，则f(x)既是既是_，又是又是_ (2)利用定义判断函数奇偶性的步骤利用定义判断函数奇偶性的步骤 首先确定首先确定_，并判断其定义域是否关于并判断其定义域是否关于_对称对称； 确定确定_与与_的关系；的关系； 作出相应结论：若作出相应结论：若f(x)f(x)或或f(x)f(x)0，则，则f(x)是偶函数；若是偶函数；若f(x)f(x)或或f(x)f(x)0，则，则f(x)是奇函数是奇函数第第6 6讲讲 知识梳理知识梳理f(x)f(x) f(x)f(x) 奇函数奇函数 偶函数偶函数函数的定义域函数的定义域 原点原点 f(x) f(x) 第第6 6讲讲 知识梳理知识梳理原点原点 y轴轴 偶函数偶函数 偶函数偶函数奇函数奇函数 0 偶偶 奇奇 第第6 6讲讲 知识梳理知识梳理f(xT)f(x) 最小正周期最小正周期 要点探究 探究点探究点1判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性第第6 6讲讲 要点探究要点探究思路思路 从定义域入手，在定义域关于原点对称的情况下，判断从定义域入手，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与与f(x)的关系的关系 第第6 6讲讲 要点探究要点探究第第6 6讲讲 要点探究要点探究 点评点评 判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判断原点对称，再判断f(x)与与f(x)的关系；若定义域关于原的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但点对称，且函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变要保证定义域不变) 第第6 6讲讲 要点探究要点探究思路思路 分段函数的奇偶性，要将分段函数的奇偶性，要将x在每一段的情况都要验证，然后在整在每一段的情况都要验证，然后在整个定义域内得出个定义域内得出f(x)与与f(x)的关系的关系 第第6 6讲讲 要点探究要点探究第第6 6讲讲 要点探究要点探究思路思路 对对x1，x2合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断f(x)与与f(x)的关系的关系 (2)2010保定模拟保定模拟 已知函数已知函数yf(x)是定义在是定义在R上的不恒为零的函数，且上的不恒为零的函数，且对于任意对于任意x1，x2R，都有，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，则对函数，则对函数f(x)，下列，下列判断正确的是判断正确的是() Af(x)为奇函数为奇函数 Bf(x)为偶函数为偶函数 Cf(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数 Df(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 答案答案 A 解析解析 令令x1x20，得，得f(0)0，令，令x1x21，得，得f(1)0，令，令x1x21，得，得f(1)0，令，令x1x，x21，得，得f(x)f(x)0，因此因此f(x)f(x)，所以，所以f(x)是奇函数是奇函数 第第6 6讲讲 要点探究要点探究 点评点评 (1)分段函数的奇偶性的判断和分类讨论思想密切相关，分段函数的奇偶性的判断和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下的不同形式以及题目之间的相互关系，要注意自变量在不同情况下的不同形式以及题目之间的相互关系，一定要注意求一定要注意求f(x)时，将时，将x代入函数中的哪一段表达式中代入函数中的哪一段表达式中(2)抽抽象函数的奇偶性的判断，一般需要结合已知条件，对抽象函数进行象函数的奇偶性的判断，一般需要结合已知条件，对抽象函数进行恰当的变形，赋予恰当的数值，经过运算和推理，然后得出结论恰当的变形，赋予恰当的数值，经过运算和推理，然后得出结论 探究点探究点2函数奇偶性的性质及其应用函数奇偶性的性质及其应用 例例3 2010广州模拟广州模拟 已知已知f(x)是是R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0时，时，f(x)x2x1，求，求f(x)的解析式的解析式 第第6 6讲讲 要点探究要点探究第第6 6讲讲 要点探究要点探究 2010江苏卷江苏卷 设函数设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数是偶函数，则实数a_. 思路思路 利用奇偶函数的性质，得到参数利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方满足的方程程 答案答案 1 第第6 6讲讲 要点探究要点探究解析解析 本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为高考考纲中为B级要求级要求设设g(x)exaex，xR，由题意分析，由题意分析g(x)应为奇函数应为奇函数(奇奇函数函数奇函数偶函数奇函数偶函数)，xR，g(0)0，则，则1a0，所以，所以a1 点评点评 已知区间上函数的解析式求给定区间上的函数解已知区间上函数的解析式求给定区间上的函数解析式，一般都要借助于函数的奇偶性或周期性，要注意最后的析式，一般都要借助于函数的奇偶性或周期性，要注意最后的解析式一定是解析式一定是f(x)而不能是其他形式而不能是其他形式 探究点探究点3函数的周期性函数的周期性第第6 6讲讲 要点探究要点探究 思路思路 利用已知条件，求得函数的周期，通过函数的周期性和利用已知条件，求得函数的周期，通过函数的周期性和奇偶性，将自变量的值转化为在奇偶性，将自变量的值转化为在2,3内，再计算内，再计算 第第6 6讲讲 要点探究要点探究 答案答案 2.5 第第6 6讲讲 要点探究要点探究 思路思路 利用已知条件所给的式子，通过变形，并结合奇偶函数利用已知条件所给的式子，通过变形，并结合奇偶函数与周期函数定义判断与周期函数定义判断 (2)2010南昌模拟南昌模拟 定义在定义在R上的函数上的函数f(x)不是常数函数，不是常数函数，满足满足f(x1)f(x1)，f(1x)f(1x)，则函数，则函数f(x)() A是奇函数也是周期函数是奇函数也是周期函数 B是偶函数也是周期是偶函数也是周期函数函数 C是奇函数但不是周期函数是奇函数但不是周期函数 D是偶函数但不是周是偶函数但不是周期函数期函数 第第6 6讲讲 要点探究要点探究 答案答案 B 解析解析 由由f(x1)f(x1)，知，知f(x2)f(x)，所以，所以f(x)是以是以2为周为周期的周期函数，且用期的周期函数，且用x1代替代替f(1x)f(1x)中的中的x，得，得f(x)f(2x)f(x)，f(x)是偶函数故是偶函数故f(x)是偶函数也是周期函数是偶函数也是周期函数 第第6 6讲讲 要点探究要点探究 点评点评 (1)通过函数的周期性既可进行解析式通过函数的周期性既可进行解析式的代数变形，又可进行图像的几何变换，解题时要注的代数变形，又可进行图像的几何变换，解题时要注意这两方面的应用；意这两方面的应用；(2)判断一个函数是否是周期函判断一个函数是否是周期函数，主要通过定义来进行，步骤为：数，主要通过定义来进行，步骤为：先探求周期先探求周期T，证明证明f(xT)f(x)对任意属于定义域内的对任意属于定义域内的x都成都成立立 探究点探究点4函数性质的综合运用函数性质的综合运用第第6 6讲讲 要点探究要点探究 思路思路 (1)利用函数周期性的定义证明；利用函数周期性的定义证明；(2)要求某一区间上的函数要求某一区间上的函数解析式，一般把解析式，一般把x设在该区间上，然后利用奇偶性或周期性，转化到已设在该区间上，然后利用奇偶性或周期性，转化到已知的区间上，利用已知的解析式求未知的解析式；知的区间上，利用已知的解析式求未知的解析式；(3)解决周期函数的解决周期函数的有关问题，一般转化为解决一个周期内的有关问题，然后推广到定义域有关问题，一般转化为解决一个周期内的有关问题，然后推广到定义域范围内范围内 第第6 6讲讲 要点探究要点探究第第6 6讲讲 要点探究要点探究 点评点评 周期函数的研究方法是先研究周期函数周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期上的性质，再将它拓展到整个定义域上，在一个周期上的性质，再将它拓展到整个定义域上，这样，可简化对函数的研究这样，可简化对函数的研究规律总结第第6 6讲讲 规律总结规律总结 1判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将f(x)与与f(x)比较，得出结论其比较，得出结论其中，分段函数的奇偶性应分段证明中，分段函数的奇偶性应分段证明f(x)与与f(x)的关系，只有当对称的两段上都的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性满足相同的关系时才能判断其奇偶性 2利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径区间上的问题，是简化问题的一种途径 3函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇偶性就是运用函数图像的对称性偶性就是运用函数图像的对称性 4要善于发现函数特征，图像特征，运用数形结合，定向转化，分类讨要善于发现函数特征，图像特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准