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第第1111讲讲 函数与方程函数与方程知识梳理1一般地，如果函数一般地，如果函数yf(x)的图像与横轴有交点，我们把这个交点的的图像与横轴有交点，我们把这个交点的_称为这个函数的称为这个函数的_2方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图像与的图像与x轴有轴有_函数函数yf(x)有有_3(1)如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线；上的图像是连续不断的一条曲线；(2)并并且满足且满足_那么，函数那么，函数yf(x)在区间在区间(a，b)内有零点，即至少存在一内有零点，即至少存在一个个c(a，b)，使，使_满足上面条件满足上面条件(1)、(2)后，在后，在(a，b)内存在的内存在的c不一不一定只有一个定只有一个第第1111讲讲 知识梳理知识梳理横坐标横坐标 零点零点 交点交点 零点零点 f(a)f(b)0 f(c)0 4函数函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且在区间的图像是一条连续的曲线，且在区间a，b上有上有f(a)f(b)0，通过不断地选取区间的中点，把函数，通过不断地选取区间的中点，把函数f(x)所在的零点区间所在的零点区间_，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为_ 第第1111讲讲 知识梳理知识梳理一分为二一分为二 二分法二分法 要点探究 探究点探究点1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点第第1111讲讲 要点探究要点探究思路思路 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数 答案答案 B 第第1111讲讲 要点探究要点探究解析解析 当当x0时，令时，令x22x30，解得，解得x3；当；当x0时，令时，令2lnx0，解得，解得xe2，所以已知函数，所以已知函数有有2个零点，选个零点，选B. 点评点评 函数函数f(x)的零点是一个实数的零点是一个实数(不是点不是点)，就是方程，就是方程f(x)0的实数根，也是函数的实数根，也是函数yf(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标，轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程因此判断零点的个数就是判断方程f(x)0的实根个数，有时也的实根个数，有时也可以根据函数图像的交点来判断零点的个数，如：可以根据函数图像的交点来判断零点的个数，如： 第第1111讲讲 要点探究要点探究 函数函数ylnx2x6的零点个数为的零点个数为_ 答案答案 一个一个解析解析 在同一坐标系画出在同一坐标系画出ylnx与与y62x的图像，由图可知两的图像，由图可知两图像只有一个交点，故函数图像只有一个交点，故函数ylnx2x6只有一个零点只有一个零点 探究点探究点2函数零点位置的判断函数零点位置的判断第第1111讲讲 要点探究要点探究 思路思路 对于区间上连续不断的函数，在区间对于区间上连续不断的函数，在区间a，b内寻根，往内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)0，函数在区间，函数在区间a，b上上也可能存在零点，如：也可能存在零点，如：第第1111讲讲 要点探究要点探究 答案答案 D 2009天津卷天津卷 设函数设函数f(x)xlnx(x0)，则，则yf(x)() A在区间，在区间，(1，e)内均有零点内均有零点 B在区间，在区间，(1，e)内均无零点内均无零点 C在区间内有零点，在区间在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点内无零点 D在区间内无零点，在区间在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点内有零点 解答解答 由题意得由题意得f(x)，令，令f(x)0，得，得x3；令；令f(x)0，得，得0 x3；f(x)0，得，得x3，故知函数，故知函数f(x)在区间在区间(0,3)上为减函数，在区间上为减函数，在区间(3，)上为增函数，在点上为增函数，在点x3处有极小值处有极小值1ln30.又又f(1)，f(e)10，故选择，故选择D. 探究点探究点3二次函数零点的分布问题二次函数零点的分布问题 例例3 已知关于已知关于x的二次方程的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间内，另一根在区间(1,2)内，求内，求m的范围；的范围；(2)若方程两根均在区间若方程两根均在区间(0,1)内，求内，求m的范围的范围 第第1111讲讲 要点探究要点探究 思路思路 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制函数性质加以限制 点评点评本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对基本关系，有效地训练对“三个二次三个二次”的整体理解与掌握，解题过程的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法中的数形结合是数学的重要思想方法 第第1111讲讲 要点探究要点探究第第1111讲讲 要点探究要点探究第第1111讲讲 要点探究要点探究 求求a为何值时，方程为何值时，方程9|x2|43|x2|a0有实根有实根 探究点探究点4利用函数零点求参数利用函数零点求参数 例例4 (1)若函数若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数有且仅有一个零点，求实数a的值；的值；第第1111讲讲 要点探究要点探究 思路思路 函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解第第1111讲讲 要点探究要点探究 思路思路通过图像变换法作出函数的图像，利用数形结合思想求解通过图像变换法作出函数的图像，利用数形结合思想求解 (2)若函数若函数f(x)|4xx2|a有有4个零点，求实数个零点，求实数a的取值范围的取值范围 解答解答 若若f(x)|4xx2|a有有4个零点，即个零点，即|4xx2|a0有四个根，有四个根，即即|4xx2|a有四个根令有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出作出g(x)、h(x)的图像，由图像可知如果要使的图像，由图像可知如果要使|4xx2|a有四个根，那么有四个根，那么g(x)与与h(x)的图像应有的图像应有4个交点故需满足个交点故需满足0a4，即，即4a0.a的取的取值范围是值范围是(4,0) 第第1111讲讲 要点探究要点探究点评点评 函数形结合法是解决利函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思用函数零点求参数问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题图像的交点问题 第第1111讲讲 要点探究要点探究 已知函数已知函数f(x)x|x4|5，当方程，当方程f(x)a有有三个根时，求实数三个根时，求实数a的取值范围的取值范围 规律总结第第1111讲讲 规律总结规律总结 1方程的根方程的根(从数的角度看从数的角度看)、函数图像与、函数图像与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标(从从形的角度看形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2函数零点的求法：函数零点的求法： (1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)0的的根根 (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点 (3)二分法：主要用于求函数零点的近似值二分法：主要用于求函数零点的近似值 第第1111讲讲 规律总结规律总结 3要注意对于在区间要注意对于在区间a，b上的连续函数上的连续函数f(x)，若，若x0是是f(x)的零点，却不的零点，却不一定有一定有f(a)f(b)0，即，即f(a)f(b)0仅是仅是f(x)在在a，b上存在零点的充分条件，而上存在零点的充分条件，而不是必要条件不是必要条件 4有关函数零点的重要结论有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点至多一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变连续不断的函数图像通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变 5用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度不同，得到的结果也不不同，得到的结果也不同精确度为同精确度为是指在计算过程中得到某个区间是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于后，若其长度小于，即，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算精确度为认为已达到所要求的精确度，可停止计算精确度为0.001与精确到与精确到0.001是不是不同的同的
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