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考纲要求考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点x3了解指数函数 ya 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1).1.能进行指数式与对数式的互化，能根据运算法则、换底公式进行运算2能利用对数函数的单调性比较大小、解对数不等式，会解对数方程，利用图象判断解的个数3反函数的概念仅限于指数函数与对数函数之间4会求与不等式相结合的代数式的最值或参数的取值范围.第2讲对数式与对数函数1对数的概念(1)如果 axN(a0 且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)对数恒等式：loga10，logaa1， N.(3)以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN；以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 lnN.logaNa2对数的运算性质如果 a0，a1，M0，N0，则(1)logbN_(a，b0，a，b1，N0)(2)logbalogab_(a0，a1，b0)logaMlogaNnlogaMlogaMlogaN3换底公式 1ylogax(a1)ylogax(0ab1Bb1a0C0baa1解析：(1)令y1logax，y2logbx，由于loga2logb2，它们的函数图象可能有如下三种情况，由图D4(1)、(2)、(3)，分别得0a1b，ab1,0ba1. 图D4答案：D【互动探究】2如果函数 yax(a0，a1)是增函数，那么函数 f(x)loga1x1的图象大致是()D3已知函数 yf(x)(xR)满足 f(x1)f(x1)，且当 x-1,1时，f(x)x2，则方程 yf(x)与 ylog5x 的实根个数为()A2B3C4D5C图D5解析：由f(x1)f(x1)知函数yf(x)的周期为2，作出其图象如图D5，当x5时，f(x)1，log5x1；当x5时，f(x)0,1，log5x1，yf(x)与ylog5x的图象不再有交点，故选C.考点3 对数函数性质及其应用例3：已知 yf(x)是二次函数，且 f(0)8 及 f(x1)f(x)2x1.(1)求 f(x)的解析式；(2)求函数 ylog3f(x)的单调递减区间及值域解析：(1)设f(x)ax2bxc，由f(0)8得c8.由f(x1)f(x)2x1得a1，b2.f(x)x22x8.(2)ylog3f(x)log3(x22x8)log3(x1)29当x22x80时，2x4，单调递减区间为(1,4)，值域(，2设 a 为常数，试讨论方程 lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数解析：原方程等价于3x0，ax0，(x1)(3x)ax，即ax25x3，1x3.构造函数yx25x3(1x3)和ya，x10，作出它们的图象，如图321.易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况：图321【互动探究】增区间为()CA0，)B(，0C0,2)D(2,05关于 x 的方程 lg(ax1)lg(x3)1 有解，则 a 的取值范围是_.13a0，N0；在讨论对数函数的性质时，应注意定义域及底数的范围，必须时刻注意底数 a0 且a1，若不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分a1 和 0a1 两种情况进行讨论
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