高考数学一轮复习 第14单元第76讲 相似三角形的判定与性质课件 理 湘教版

123理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的三个判定定理的证明方法了解平行线分线段成比例定理理解并掌握直角三角形射影定理/7 3 .1. ABCMN DE BCAE ECDB AB如图，在中，若，则的值为 3737131033.0ADAEDBECABDB ABBD解析：所因为，以所以49 .2 . 两个相似三角形的周长分别是 和 ，则两个三角形的面积比是1111111214 16().891SaSabcabcabcacab解，所以因为析： 3 . CDABC如图，是直角三角形斜边上的高，则图中相似的三角形有对3 . .4 ADBCBCEADBECE如图，已知点 、 在直线上的射影分别为 、 ，点 为线段的中点，则与的大小关系为BECE /./ /.EEFBCFAB EF CDEADBEFBCEFBCCE过点 作于 ，则因为 为的中点，所以 为的中点，所以是的中垂线，解析：则- . 5ABCDABaBCbCCEBDEBE在矩形中，过 作于 ，则22222.BCBCBE BDbBEBDab由直角三角形解析： 所以射影定理可知，/4 3 6 . DE BCBF EFAC AE如图，已知，且，则/4 34./3.DE BCDEFCBFBF EFBCAC AEBC DEDEDE BCADEABC因为，所以，所以又解析： 所以因为，所以， 1_.21_3_ _1_x定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也推论 ： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必第三边经过梯形一腰平行线等分线段定理的中点，且与底边平行的直线另一腰_()_2_3_ _三条平行线截任意两条直线，所截出的成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线 ，所得的成比例对应角，对平行线分线段成比例定理及推论相似三角形应边的两个三角形叫做两个相似的定义三角形 1_2_3_1_.2_.3_45_判定定理 ：两角对应的两个三角形相似判定定理 ：两边对应，并且夹角的两个三角形相似判定定理 ：三边对应 的两个三角形相似相似三角形对应边上的高、中线和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形的面积比等于 相似三角形的判定相 似三角形的性质_._.6直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 ；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的直角三角形射理 影定【要点指南】 /6 9 _1._.AB EF CDABcmCDcmEF如图，已知，若，则例题型一题型一 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质/ 18 ./.11659EFCFABCEF ABABCBEFBFDBCEF CDCDBCEFEFCFBFABCDCBEFBCEmEFcF在中，因为，所以在中，因解为，所以两式相加，得，所，故以析：-/ /.BCABCDBCAB EF CDEF分由于是与的公共边，且，利用平行线分三角形成相似三角形可求析： 11. 1ABCDEF由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：评析：_1.ABCDOOEBCEABFABaBCbBFcBE如右图，平行四边形的对角线交于点 ，交于 ，交的延长线于 ，若，则素材 ： ”/ “ABBCBFOOG BCABGBEFGOF本题所给出的已知线段、位置分散，应设法利用平行四边形的等量关系，通过作辅助线将长度已知的线段 集中 到一个可解的图形中来为此，过作，交于 ，分析：构造求解/112211. .12/2222OOG BCABGOGABCOGBCbGBABaGOFFBcbbcBE OGBEFBBEFGOFGOFBEGOaaGFGcc过 作，交于 ，显然是的中位线，所以，在中，所以，即所以，解析： 解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作辅助线，使得分散的条件适评析：当集中2/45.2.ABCDAD BCACBDEABCEADADFBCGEADABHFGAF DFBG CGAH BH已知，如图，在梯形中，垂足为 ，过 作的垂线交于 ，交于 ，过 作的平行线交于求证：例题型二题型二 直角三角形射影定理及应用直角三角形射影定理及应用22. ACBDAEDBECEFADEGBCAF DFEFBG CGEG因为，故、都是直角三角形又，由射影定理可知，解析：22 AF DFEFBG CGEGFGFEEGEF EGAH BH由射影定理可知，故考虑将，然后只需寻分析找：与的关系222222245222. . 2FGFEEGFEEGFE EGAF DFBG CGFE EGABCAHBCAHFEBHEGFGAF DFBG CGFE EGAF DFBAH BHEF EGG CGAH BH又，因为，分别过点 、作直线与垂直，易知，故解析：所以 做平面几何证明题时要分析待证明的结论与已知条件的关系，逐步消评析：除差距392.0.Rt ABCBACADBCDDFACFDEABEADBC BE CF如图，在中，于 ，于 ，于 ，求证：素材 问题题设中含有直角三角形和斜边上的高，符合直角三角形射影定理的两个条件中，故考虑应用射影分析：定理求解2222243 .Rt ABCADBCADBD DCAD BCAB ACRt ABDRt ADCDEABDFACBDBE BADCCF ACADBC BEBDDCBE BA CF ACBE CF AD BCADCF在中，因为，所以，且在和中，因为，由射影定理，所以，证明：所以123.ABCDABADEADEFECEFABFABFCkkBCAEFECFDCEBCF如图，在矩形中， 为的中点，且交于 ，连接设，是否存在实数 的值，使、与都相似？若存在，给出证明；若不存在，请例说明理由题型三题型三 相似三角形判定定理及性质定理的应用相似三角形判定定理及性质定理的应用.90.90.90kAEFDCEECFEFECAEFAEFDECDCEADAEFDCECEDECEAEDEEAEFAFEFAFCEFEAECFF 假设存在实数 的值，满足题设先证明因为，所以而，故故得，而，解析： 所以所以又， 要证明这四个三角形都相似，可以逐次证明其中的三角形相似，由于这些三角形都是直角三角形，因此只要证明两个三角形有一组锐角相等或两组对应边成比分析：例即可2222.901211.231133().234232kAEFBCFAFEBFCAFEBCFAEFBCFAEBCAFEBFCAEBCAFBFAECDAFBFABAEFDCEAFDEABABBCABkBCBCk 再证明可以取到实数 的值，使由于，故不可能有，因此要使，应有，此时，有，但，故得由，可知因此，所以，求得可以验证解析： ，当时，60这四个三角形都是有一个锐角等于的直角三角形，故它们都相似 对于存在性问题，先假设其存在，再求解推理，若其解符合题意，则存在，否则评析：不存在./3./.ABCDABCBADAB CD如图，在四边形中，证：素求材 . /./ABCBADACBBDAABCDCABCDBABCBADCABDBADBACDAB CDB 由，得，故 、 、 、 四点共圆，从而再由，得因此，证明：所以 22 112 _.2/22_.ABCDAE EBAEFa cmCDFcmABCDE BCEF CDABADAF如图甲，平行四边形中，若的面积为，则的面积等于如图乙，在中，且，则备选例题 1.2AEFCDFAEFaDCF显然因为的面积为 ，要求的面积，运用相似三角形的性质即可；由于题目给出了两对平行线，求截得的线段长，用平行线分线段成比例定分析： 理可得 22221/11()()( )392/.99 .1/./AEFCCDFAEDFFAE DCAEFCDFSAEAESCDABAEAFEF CDAEFACDACADADAEDE BCADEABCABACAFASSaADADADFABAB解析： 所因为，所以，因为，所以，故又因为，所以，所以，所即以，以 平行线及其性质的运用，在解题、证题中是比较灵活的，应评析：好好体会11定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理 ，即两角对应相等的两个三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法，两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角相似三角形的证形与原三法：角形相似23相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方利用这些关系可以进行各种证明、求值在探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序、模式6 4 3: :()A1:2:3 B 6:4:3C 2:3:4 D 3:4:6abca b c 若三角形三边上的高分别为 、 、 ，这三边长分别为 、 ，则 6 4 3: :6:4:3B.abca b c 因为三边长分别为 、 ，三边上的高分别为 、 、 ，则其对应成比例，所以错 ，故选解：以直观的感受来判断线错解段分析： 成比例6 4 3643: :2:3:.4Cabcabca b c因为三边长分别为 、 ，三边上的高分别为 、 、 ，所以，从而正 ，解：故选