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121.掌握二项式定理及其通项公式，并会利用二项式定理及其通项公式解决有关多项式化简和展开式的项或项的系数相关的问题.2.掌握二项式系数的相关性质，会求展开式的系数和，能利用二项式定理进行近似计算、证明整除问题，证明不等式等综合问题.323414 16 14 11 Pxxxx 化简1. 得4444A 1 B. 2 C D 3xxxxB解析44112.BPxx 逆用二项式定理可得，故选423301232 222 2. xxaaxaxaxaR对任意，恒有，则 的值为 A 3 B.6C 9 D 12B解析3322223 23323 223222C22BC26.xxaxTxa 由于，为其展开式中含项的系数，又，故，故选易错点3322xx误将 转化为而计算错误5 28 3. nab 二项式的展开式中第二项的系数为 ， 则它的第三项的二项式系数为 A 24 B 18C 16 D 6D解析11126C2C 28DC24C6.rrn rrrn rrrnnnTababn 通项，可知，解得，故第三项的二项式系数为，故选易错点11rr 展开式中第项的系数与第项的二项式系数概念混淆64 ()256_4. nxx 已知的展开式的二项式系数和为，则展开 式中含 的项是第项解析88 2188425628.1C)C.82423nrrrrrrnTxxrxrx 由已知，求得从而由令，得，故含 的项为第 项3易错点C“C ”rnrnrr 于通项公式中项数与组合数中 的关系记忆错误，而误认为对应第 项7422601260126121_5. _ .xxaa xa xa xaaaa设多项式， 则，1161解析02401264126 ()0.111 (2 1 1) = 211613162.xxaaaaaaaa 赋值法 令得令得，故81.二项式定理(a+b)n= . .这个公式所表示的定理叫做 ,右边的多项式叫做(a+b)n的 .特别地,(1x)n= .2.展开式的特点(1)共有 项. an+ an-1b1+ an-2b2+ an-rbr+ bn(nN*)0nC1nC2nCrnCnnC二项式定理展开式1 x+ x2+(1)n xn1nC2nCnnCn+19(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数 ,即a与b的指数和为n.(3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由 逐项减1直到 ,字母b按 排列,从第一项起,次数由 逐项增1直到 .(4)二项式的系数依次为 , , , .3.二项式的展开式的通项二项式展开式的第r+1项是Tr+1= .n降幂n零升幂11零12n0nC1nC1nnCnnC13 an-rbrrnC104.二项式系数与展开式的系数第r+1项的二项式系数即 ,而展开式的第r+1项系数是该项的 (含项的性质符号)，是两个不同的概念.5.二项式系数的性质(1)二项式系数的结构规律和等量关系.在二项展开式中,与首末两端 “ ”的两项的二项式系数相等,即 .14rnC15常数部分等距离1617rn rnnCC11(2)二项式系数的大小规律.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项即 的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数;中间两项即 与 的二项式系数相等且最大.(3)二项式系数的和 .当n为偶数时, + + = .当n为奇数时, + + + = .1812nT1912nT20112nT210122nnnnnnCCCC0nC2nC4nCnnC22135112nnnnnnCCCC0nC2nC4nC1nnC2313512nnnnnnCCCC12题型一 二项式的通项公式及应用例1 2 11()314 3_ _ _23nxx 已知的展开式的第五项和第三项的二项式系数比为 ，则：展开式中二项式系数最大的项为；展开式中的常数项为；展开式中有项有理项13解析 42102510 5561021021101211431232 114432 11323872810.1()6312815281C()().272527311C()32( ) C32nnrrrrrCCn nnnn nnnnnxxTxxxTxxx 依题设， 即， 化简得，因此，故的展开式中二项式系数最大的项是第 项， 且，故填由5520.5502.2rrxrr 令，得14 2231055-21101( ) C5.312( ) C.35 50,2,4,6,8,10.2 6.356rrrrTTxrrZ 故展开式中的常数项为，故填由由，则因此可知展开式中的有理项共有 项，故填评析()“” 涉及二项式展开式的系数、次数、项的性质常数项、有理项等 ，则应用 通项公式 151220(1x )9135naaxxxa 设 ，若展开式中含 的项的系数等于含 的项的系数的 倍，且展开式中含 的项的系数为，求 的值素材1解析1622232323300.155270()69.3033nnnnnan nna 所以，化简得解得舍去 或，所以17题型二 可化为二项式问题及解法 例2 263531 1().(12) (1)_(2010)(_ 122010)_xxxxxxx的展开式中的常数项为_辽宁卷全国_的展开式中 的为卷系数 66 2163446561()C13C204C152 0155 . .51rrrrxTxxrTrT 的展开式的通项为，当时，当时，因此常数项为故填解析18 3r5323m35m35r335300032203535(12)C 2(1)C1.(12) (1)C 2 C1.1.230203,05,30C 2 C2CC. 2121rrmmrmxxxxxxxrmrrrmmmx的展开式的通项为，的展 开式的通项为 设的展开式中 的系数为 令 因为，所以或 故展开式中 的系数为评析“” 有关非 标准 二项式问题，通项是依据题设所给式的结构特征转化为二项式，并利用二项式定理的基本知识分析求解190nC0n1n1nC2nC2nnnCnn 设f(x)是定义在R上的一个给定的函数,函数g(x)= f( )x0(1-x)n+ f( )x(1-x)n-1 + f( )x2(1-x)n-2+ f( )xn(1-x)0(x0,1). (1)当f(x)=1时，求g(x); (2)当f(x)=x时，求g(x).素材2200nC1nCnnC0n1nnn0nC1nCnnCknCnn11knC01nC11nC11nnC01nC11nC11nnC (1)当f(x)=1时,g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+ xn=(1-x)+xn=1.(2)当f(x)=x时，g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+ xn.因为 = ,所以g(x)= x(1-x)n-1+ x2(1-x)n-2+ xn=x (1-x)n-1+ x(1-x)n-2+ xn-1=x(1-x)+xn-1=x.解析21题型三 展开式系数和问题及求法 例3 201122011012201120111222011 12()222 1xaa xa xaxaaa若，则的值为 A 2 B 0C1 D2 22212012212220242135212()2()()_2.nnnnnnnxaa xa xaxa xaaaaaaaa设，则22解析 20112011120220112011120220112011120022011201220123212121(12)22220.222011.22221(1) .221 12(1)2Cnnnnnxaaaaaaaaaaaxaaxaaaxaaaaaa 依题设，令， 得， 则 令，得，故，故选令，得 令，得，23220221321022132102213210122120123212222()() ()( ) ()()22 (1)(1)2211 ().2414nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 则故填评析“”“”“”“” 有关二项式展开式的 系数和 问题，通常是应用赋值法 求解，同时，赋值时一定要分析 已知与待求式的特征，恰当 取值 化归24素材3525012521xaa xa xa x设，求： 01234012345.12aaaaaaaaaaa；解析 525012501234550123455501234012345012345211113243.231312432132.2 1.f xxaa xa xa xfaaaaaafaaaaaaaaaaaafaaaaaaaaaaaaf 设，则，因为，所以251n1n1nC1n2nC21nnnC1nn1nC1n1n2(1)2!n nn3(1)(2)3!n nnn(1)(2)2 1!nn nnn n 12!13!1!n12212112n112n111(1)22112n若nN且n1,求证:2(1+ )n3. (1+ )n=1+ + + 1+ =2.又(1+ )n=2+ + +2+ + + 2+ + +=2+ =3- 3,故原不等式成立.证明261.二项式定理的应用常见的问题有：求展开式的某一项或适合某种条件的项；求展开式各项系数的和；取二项展开式的前几项进行近似计算；证明组合数等式；整数与整式的整除问题;证明不等式.因此必须牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征、二项式系数的性质等基本理论.272.关注二项式定理问题“四大热点、六条规律”.(1)四大热点是：通项运用型；系数配对型；系数和差型；综合应用型.(2)六条规律是：常规问题通项分析法；系数配对型问题分配法；系数和差型问题赋值法；近似问题截项法；整除（或余数）问题展开法；最值问题不等式法.28错解92792181911 92.S所以 被 除余29错解分析 90,82S由 于被除 所 得 余 数 应 是 属 于的整 数 ， 可 知 余 数 为的 判 定 是 错 误 的 正解977.S所以 被 除余 应填
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