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121能用坐标法解决简单的直线与圆锥 曲线的位置关系等问题2理解数形结合思想、方程思想的应用321 2.8 ,4yx过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有( )1 .2.3 .4ABCD 条条条 条B42.若ab且ab0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( )C522xyaa 由已知，直线方程可化为y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距，二次曲线方程可化为 =1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故选C.解析622 13.194xyykxk直线与椭圆的位置关系为( ) ABCD相交相切相离不确定A722 248024. ykxxyPQPQPQ 直线与椭圆相交于不同的两点 、 ，若的中点的横坐标为 ，则弦长等于解析22221122122121222122212122,4801416640.16()()22141644322141 6 5. 14ykxyxykxkxkP xyQ xyxxkkxxx xkPQkxxkxxx x 由于消去 整理得，设，则，得，从而，因此6 58222244()15. 54mxnyOxyxymn 若直线和圆 ：没有公共点， 则过点， 的直线与椭圆的交点个数 为2291直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若 0，则直线与椭圆_；若 =0，则直线与椭圆_；若 b0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则 =_， =_.点差法求弦的斜率的步骤是：()将端点坐标代入方程： ；()两等式对应相减： .()分解因式整理： 2222xyabABkABOMkk22221122222211xyxyabab，2222121222220 xxyyaabb22012122212120.ABb xyybxxkxxayya y 2020b xa y22ba13(2)运用类比的方法可以推出：已知AB是双曲线 - =1的弦，弦AB的中点为M( ， )，则 =_.已知抛物线 =2px(p0)的弦AB的中点为M( )，则 =_. 22xa22yb0 x0yABk2y00 xy，ABk2020b xa y0py143弦长公式15题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 22222212 (201130330)1lyk xxyaaABxCOkak设直线 ：与椭圆相交于 、 两个不同的点，与 轴相交于点枣庄模拟，记 为坐标原点证明：；若OAB求的面积的最大值分析 120(1)2OABSOC yy联立方程、消元、利用易证结合条件分析出易求16解析 22222222222220001011.11312(3)10. 21()4(3) 103 .13 1kaakyk xxykxyxyaxkyyakklakkkak 证明：依题意，当时，由知，显然成立当时，可化为将代入，消去 ，得由直线 与椭圆相交于两个不同的点，得，化简整理得原命题得证17 1122122112212()()1,02 13( 1)(1)22. 2 A xyB xyCkyykACxyCBxyACCByy 设，由题意知 由得， 因为， 由，得 由联立，解得2212222213133| 22133|3 .22 3 |3132.OABkykkOABSOCyyykkkkS，的面积上式取等号的条件是，所以的最大值为18 评析 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形22221,21,2C xyPPllC 已知双曲线 ：与点，求过点的直线 的斜率的取值范围，使 与 分别有一个交点，两个交点，没有交点19素材1解析 2222221222460. *22*lxlxlyk xCkxkk xkkkk 当 垂直 轴时，此时直线与双曲线相切当 不与 轴垂直时，设直线 的方程为，代入双曲线 的方程中，并整理得：当，即时为一次方程，显然只有一解；202222232232222424 2464832 .3023048320230483222320.2kkklCkkklCkkkkkkkkkkkkklC 当时，令，可解得；令 ，即 ，此时 ；令 ，即所以当或或 不存在时， 与 只有一个公共点当 或 或 时，此时与 有两个交点当 时， 与 没；有交点21题型二 弦长及中点弦问题例2 21.142lyxABABFlAB 设过原点的直线 与抛物线交于 、两点，且以为直径的圆恰好过抛物线的焦点求：直线 的方程；的长分析 .102k要注意讨论斜率 是否为利用弦长公式22 222112212122211222,04(1)440.00.44()().0(1)(2)(12)AFBFlykxFyxk xxykxklxkA xyB xyxxx xkkAFBFAF BFkkAFxyBFxy 设 ：，抛物线的焦点， 由 当时， 与 轴重合，不合题意，所以 设，则， 因为，所以或用， 又，2121212240222.2k x xx xxxyklx 得， 代入得，所以 ：解析23 1212221212188144 3 4 3 .2xxx xABkxxBxxA 由得，弦以的长为 所评析()xy 求直线被二次曲线截得的弦长，通常是将直线与二次曲线方程联立，得到关于 或 的一元二次方程，然后利用韦达定理及弦长公式求解“”“2,3 ABFABl 本例中将 以为直径的圆恰好过抛物线的焦点改为的中点为，求 的方程24素材2解析1122211222121212121212()()4(1)4(1) 423232.3lA xyB xyyxyxyyyyxxyyyykxxlyx设，则，得，因为，所以，故直线 的方程为25评析 1122112212 ()“”)(lCABA xyB xyxyxy有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标问题，一般采用如下两种方法：若直线 与圆锥曲线 有两个交点和 ，一般地，首先设出交点坐标，其中有四个参数 ， ， ， ，它们只是过渡性符号，通常是不需要具体求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的设而不求 的方法作方法在差法给定的圆锥1122112212121212()0()()()()0()022ABf xymnABA xyB xyABf xyf xyyyxxmyynkxxAB曲线，中，求中点为， 的弦所在直线方程时，一般可设，利用 ， 在曲线上，得，及，故可求出斜率，最后由点斜式写出直线的方程262212 过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点，直线y= x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.题型三 直线与圆锥曲线的综合问题例3272212ca222aba121212yyxx12122()xxyy002xy1212 (方法一)由e= = ,得 = ,从而a2=2b2,c=b.设椭圆的方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12-x22)+2(y12-y22)=0,即 =- .设线段AB的中点为(x0,y0)，则kAB=- .又(x0,y0)在直线y= x上，所以 = x0，解析0y28于是- =-1,故kAB=-1,所以直线l的方程为y=-x+1.设右焦点(b,0)关于直线l的对称点为(x,y), =1 x=1 y=1-b.由点(1,1-b)在椭圆上，得1+2(1-b)2=2b2,则b2= ,故a2= .所以所求椭圆C的方程为 =1,直线l的方程为y=-x+1.002xy则,解得yxb122yxb 916982281699xy29(方法二)由e= = ，得 = ,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,直线l的方程为y=k(x-1).将直线l的方程代入椭圆C的方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2= ,故y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- .22ca222aba1222412kk2212kk30直线l:y= x过线段AB的中点( , ),则 = ,解得k=0或k=-1.若k=0,则直线l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不可能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=-1，故直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同方法一.122xx12212yy212kk2212212kk311212 由题设情境中点在直线y= x上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线y= x上而求得直线l的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解.评析292yxMNykxk 在已知抛物线上存在两个不同的点、关于直线对称，求 的取值范围32素材3分析92190.2920MNykxMNyxbkMNykxMNykxbk 抛物线上两点、 关于直线对称，则直线的方程可设为，代入抛物线方程中，可知又线段的中点在直线上，由根与系数的关系可得线段的中点，代入可得 与 的关系式，结合求解33解析22112222121212221212222212122()()11.9194.222221()4()222111.164411()(44M xxN xxlxxMNlxxxxkkMNlxxxxkkkxxxxkkkkk 设，、，关于已知直线 对称，所以，所以，即又的中点在 上，所以因为中点必在抛物线开口内,所以，即，所实数 的取值以，则或故所是求范围，) ，34 22 12.211lykxC xyABkkABCFk直线 ：与双曲线 ：的右支交于不同的两点 、求实数 的取值范围；是否存在实数 ，使得以线段为直径的圆经过双曲线 的右焦点 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由解析 2222 11212220. lykxCxykxkxlC将直线 的方程代入双曲线 的方程后，整理得依题意，直线 与双曲线 的右支交于不同两点，35 112222() (2.)kABxyxyk 解得 的取值范围是设 、 两点的坐标分别为，、 ， ， 则由式得36121212122212122,00.110110. 652 660.26666( 2)()56655kABCF cFAFBxcxcy yxcxckxkxkx xkcxxcckkkkACkB 假设存在实数 ，使得以线段为直径的圆经过双曲线 的右焦点则由，得即，整理得把式及代入式化简得解得或， 舍去 可知使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点1(0)xkk本例主要涉及的知识有直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力直线交双曲线右支，联立方程后得到的关于 的方程的根分布的区间 ，上，由一元二次方程根分布的区间的充要条件得到了关于 的不等式组，可求出 的取评析：值范围 22kABCFFAFBkk问题中，假设存在实数 ，使得以线段为直径的圆经过双曲线 的右焦点 ，这时用了圆的几何性质，再转化为坐标之间的关系，结合韦达定理，得到的方程，求出 值391.直线与圆锥曲线位置关系探究方法.直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切.从代数角度一般通过他们的方程来研究：设直线l:Ax+By+C=0，二次曲线C:f(x,y)=0.联立方程组 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的个数判定，同时应注意如下五种情况：40(1)对于椭圆来说，a不可能为0，即直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆必相切；反之，直线与椭圆相切，则直线与椭圆必有一个公共点.(2)对于双曲线来说，当直线与双曲线有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.(3)对于抛物线来说，当直线与抛物线有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.41(4)0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件.(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.422.数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：(1)过双曲线 外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；22221xyab43P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这样的直线.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.443.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.4520,12Pyx 求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程错解1.Pykx设过点 的直线方程为x消去 ，化简整理，22222210.12240211211.2k xkxkkkyxyx 得由，解得，即直线与抛物线有且只有一个公共点，故所求直线方程为46错解分析PPPPPPP 一般地，点 在抛物线内，则过点 且和抛物线有且只有一个公共点的直线有且只有一条；点在抛物线上，则过点 且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条；点 在抛物线外，则过点 且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有三条因此，在求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程时要考虑周全，不要出现漏解的情况另外，在求直线与抛物线的位置关系时，消元后的方程不要忘记讨论二次项系数为零的情况47正解 10,10.Px 若直线斜率不存在，则过点的直线方程为 00,021.xPykx 即直线与抛物线有且只有一个公共点若直线斜率存在，则设过点 的直线方程为 222210.k xkx 得482211022402112101. 12xyyxykkkkyx即直线与抛物线有且只有一个公共点；当时，由，解得，即直线与抛物线有且只有一个公共直线点综上所述，所求方程为或或
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