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专题一 函数与导数专题八 数学思想与方法1分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的数学思想方法要正确的对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分为若干个类别科学的分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏划分只是手段，分类研究才是目的因此分类与整合思想方法，在这其中体现的是由大化小，由整体化部分，由一般分类与整化特殊的合的思想解决问题的思想方法 12234在解题过程中分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的范围；认清为什么要分类，确定分类标准，进行合理分类，注意做到不重不漏；逐类讨论，获得阶段性结果；整合讨论 2212121122194|_|,12,4| 4()123A.B.12C.777xyFFPPFFPFPFPFPFkABkACABABC Z设 ，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点已知 ， ，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值为已知，若，则是直角三角形的概率是 一、由几何特征确定分类标准例14D.722221121212121122122222212121112112290|6 |2 5144|7.33|290|(6|)|422.|72.|2PF FPFPFF FPFPFF FPFPFPFPFF PFF FPFPFPFPFPFPFPFFFPPPF若，则，因为，解得，所以若，则，所以，所以综上知，解或析： 2|41590,12,402.902,42,308()920ABkkABCBACAB ACkkACBAC BCkkABCAB BC Z由，又，由为直角三角形，则时，有若时，有舍去 若时，有 ,12,3013.2C13.7.,3kkkkABCP 或所以，时，为直角三角形，故概率选所求有关几何问题，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论，如按圆锥曲线的类型进行分类讨论，按各类定义中的角的范围进行【点评】讨论等 01lglog 10()A. B.2)C.(2D.(2122)02sin()_xxxyxxxxxxx R若且，则函数的值域为 ，对于实数，定义符号表二、由运算策略确定示不超过 的最大整数，则方程的解集是以弧度为例2单位分类标准_ 11lglog 10lglg12 lg2lg101lglog 10lg()2lg(22)02sin2.02sin112sin22sin2D.0112201 1622xxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxxxx 解当时，；当时，所以函数的值域为，由且故析故选，有或：或依题设情境，问题的研究需要进行某种推理或变形，而在不同情况下推理或变形的方法有所不同，此时，则由运算策略确定分类标准【点评】和类别 2110(1,2,3)322nnnnnnnnnaqnSnqbaabnTST三、由参变量取值确定分类设等比数列的公标比为 ，前 项和， 求 的取值范围；设，记的前 项和为，试比较与准例3的大小 12nqb根据条件列出关于 的不等式，注意分类讨论 能否判断为特殊数列进而求和作差、作商比【分析】较大小 111100010110110(1,2)1,00)110110.1010111.nnnnnnnnaSaSqqSnaaqqSqqnqqqqqqqq 因为是等比数列， ，可得 ，；当时， ；当时， ，即， ，则故 的取值范有，或由得 ，由围是，得 解析： 2212233()223()231(1)()222010011202120021202.2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaa qqTqq STSS qqS qqSqqqqTSTSqqTSTSqqTSTS 由，所以，于是，又 且 或 ，则当 或 时， ，即 ；当且时，即；当或时，即 11qqq【点本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法作差比较法同时含有字母 ，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一评定要分和】讨论 ln.031e212afxxxafxfxa已知函数当时，求函数的单调区间；若函数在 ， 上的最小值是，求例4的值 22ln(0)1.00.(0)1e1011311e22af xxxaxafxxxxafxf xafxf xfaf x函数的定义域为 ，因为，所以故函数在其定义域 ，上是单调递增的在 ， 上，分如下情况讨论：当时，函数单调递增，其最小值为，这与函数在， 上的最小解析值是：相矛盾； 1(1e31121e1)01)(e0(eln1.3ln1e.2af xfaafxf xaafxf xaf xf aaaa 当时，函数在 ， 上单调递增，其最小值为，同样与最小值是 相矛盾；当时，在 ，上，有，则在 ，上单调递减；在 ， 上，有，则在 ， 上单调递增所以函数的最小值为由，得 e1e)01ee232e1e3e.122afxf xfaf xeaeaf 当时，在 ， 上，有，则在 ， 上单调递减，其最小值为，这与最小值是相矛盾；当时，显然函数在 ， 上单调递减，其最小值为，仍与最小值是相矛盾综的上所述，值为分类讨论时，特别注意要做到不重不漏，必要时可作数轴，把参数的分界点在数轴上标出，逐段进【点评】行讨论 3232113.f xaxxaf xyf xAByABxa 已知函数讨论函数的单调性；若曲线上两点 、 处的切线都与 轴垂直，且线段与 轴有公共点，求实数 的取备选题 值范围 21202363()200.0(0)10afxaxxax xafxxxaaxfx 由题设知，令，得，当时，若，则解：析， (0)2(0)02(0)2()02()02()0f xxfxaf xaxfxaf xaaxfxa 所以在区间，上是增函数；若， ，则，所以在区间 ， 上是减函数当，则，所以在区间，上是增函数当时，当， ，则， 2()2(0)02(0)(0)0(0)1220f xaxfxaf xaxfxf xyf xAByf xxxa所以在区间， 上是减函数若，则，所以在区间，上是增函数若，则，所以在区间 ，上是减函数由的讨论及题设知，曲线上的两点、 的纵坐标均为函数的极值，且函数在，处分别取得极值 223324301( )1.20( )0433(1)(1)01340.13400.1,031034.,4ffaaaaABxffaaaaaaaaa aaaaaaa ，因为线段与 轴有公共点，所以，即，所以故且解得或即所求实数 的取值范围是1有些数学题，在审题时，我们并不明确是否需进行分类讨论但随着解题的深入，数学问题的参变量或者结论有多种可能性，必须进行分类整合在进行分类时，关键是分类标准的确定，一般地分类标准是由问题进一步推算遇到的障碍确定的2进行分类讨论时，应正确应用基础知识和方法，寻找分类的线索，理清分类的界限，力求做到分类“不重不漏”即各类的交集为空集，各类的并集为题设条件的全集
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