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专题一 函数与导数专题八 数学思想与方法1化归与转化的思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略一般情况下，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将较难的问题转化为较容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，等等2转化有等价转化与非等价转化等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果非等价转化其过程是充分或必要的，对转化后的结论要进行必要的修正，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时要确保其等价性，保证逻辑上的正确 132化归应遵循以下五种原则：熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据 345和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解 2212422211,10()1131 3A (1) B ( 3) C ( 3) D ()2222 21_1fxxpxppcf cpsinxysinx已知二次函数，若区间内至少有一个实数 ，使，则实数 的取值范围是 ， ， ，函数的一、正与反的转化例1值域为 1,110( 1,0)10sinsi12nxffyxxy 转化为考虑问题的反面：在区间内，二次函数的图象都在 轴下方或过，即求【分析的补集用 表示，通过的】有界性确定 的范围 2210210)102390333( 3)2211sin11111012C.1)101fppfpppppsinxyyxsinxyyyysinxysinx 由或，所以， ，由，得，所以，解此不等式组得，所以析：故选，的域为解值sincossin (cos )sinyfxyfxyxxxy求或函数的值域可以用 表示或，利用的有界性建立关于 的不等式，由此可以求出值域，这种求值域的方法也称为【点评】反解法 22( 3 0)2()4241. . . .53712BCFACFyxFMABC BFBCFACFSSABCD设抛物线的焦点为 ，过点，的直线与抛物线相交于 、 两点，与抛物线的准线相交于点 ，则与的二、数与形的转化与化归及应面积例2用之比 ()()4_2_OABPOBABOPxOAyOBxyy 如图，在中，点 是线段及的延长线所围成的阴影区域内 含边界 的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对，所表示的区域在直线的下侧部分的面积是 111111.|1212 .121 12132223.BCFACFBBAABBBBBBBAAAASBCBBSACAAxxxxBFxxy如图过 作准线，交准线于 ，过 作准线，交准线于由题知，又由，得，：所以解析 0203233322131421415001() . 2MAMBMAMBAAABCFBACFAyyyyABMxxxxxxxSxSxBPOPOBBPOBmOBnABmnOPmOBn OBOAA 由 、 、三点共线，有，即，故，所以，连接，则其中，所以故选 1mnOBnOA ，01100410109.2xnxymnymxxxyxyxy 所以，所以，即，故约束条件为，画出可行域，所以所求区域的面积为 12 xy本题充分利用数形结合思想实现数与形的转化，将三角形面积比转化为线段比，然后利用抛物线的定义将线段转化为坐标的比而求解本题【点评是向量的线性运算与可行域的综合问题，通过向量的线性运算找到 ， 所满足的约束条件，将向量问题化归为线性约束条件的可】行域面积问题 1212ln(1e1,1e2.12xfxaxaafxxxfxfx 已知函数，其中， 讨论的单调性；求证：对，都三、转化与化归综合应用例3有 minmaxlnlnln(1000000.11,00,1001max11 1(0)(0ln2)111lxxf xaxafxaaaaefxxfxxfxxf xxf xf xf xff xfffaafa因为，所以， 由，可得；，可得；，可得证明：由知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得所以在，上单调递减，在 ，上单调递增最小值，又，解析：na， 2212121112ln .1( )2ln ,(1, .1211(1)0(110111,11ln1,11010ln1ffaaag aaa aeag aaaag aegfff xfaaxxf xf xffffaa 因为，所以在 ， 上单调递增又，所以，所以在上，的最大值为，所以对，都有又， 1212ma1212x1,1ln1.1ln1(1e10(1eee1,1e2.2ln1e2.xxf xf xaah aaaah aah ahxxf xaaafhx 综即对，都有设， ，上所述，对，都有则，所以在 ， 上单调递增，所以，所以 2本题第问充分运用特殊与一般的转化化归技巧将问题转化化归为函数的最大值与最小值的差分【点评】析求解 124lg3( 1xxafxaxfxa R设，其中，如果，时，有意义，求 的备选题取值范围 (11240(1 2xxxfxat欲使函数在，上有意义，只需在，上恒成立，令，进而转化为二次函析：分数问题 2220,2100,2101011,3010020,110100232043010. 443xtatttg tattgag ttg tag ttaaag tg tag ttagaa 令，则问题转化为在上恒成立设，且，所以当时，满足；当时，的对称轴，此时，图象恒过点，此时，满足；：综上当时，的对称轴，只要即可所述， 的取值范围是，即，解方法 ：解得析. 222max11)2212430111()()242113( )124.424xxttxaattatttttta 分离参数法设，则，则恒成立，可转化为恒成立，则 应大于的最大值，由二次函数知识所以，方法 ： .“” 本题需要转化为不等式恒成立，进而恰当换元转化为二次函数问题，换元后新变元的取值应作相应转化指数、对数函数常通过换元法转化为二次函数问题，这也是近几年高考的一大热点 换元法 是一种重要的数学方法，通过换元将生疏的转化为熟悉的问题，将复杂的转化为简单【评】的问题点转化化归的常用途径：转化化归的常用途径：1数形结合法：把形(数)转化为数(形)，数形互补、互换获得问题的解题思路2参数法：通过引参，转化问题的形式，如转化为函数、方程、不等式问题等，易于解决3建模法：构造数学模型，把实际问题转化为数学问题或把一类复杂的数学问题转化为另一类简单常规的数学问题4类比法：类比是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同的属性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法，一般由特殊向一般类比，抽象向具体类比，低维向高维类比，平行类比5特殊化法：将一般问题特殊化，从特殊问题的解决中，寻找原问题的解题策略
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