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专题一 函数与导数专题五 计数原理、概率与统计 12C1n kkknpnkP kpp古典概型、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率均是高考考查的知识点，其中独立重复试验的概念及其概率计算是难点也是重点独立重复试验也叫做贝努利试验，这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么事件发生，要么不发生，并且任何一次试验中事件发生的概率是一样的；如果一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率为. 112222112221 2.().123iinnnnPxpiEx px px pababEaEbE abaEbB npEnpxEpxEpxEp离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量 的概率分布为， ，则称为 的数学期望若，其中 、 是常数，则 也是随机变量，数学期望为，即若 ，则方差：把叫做随机变量的均方差，简2()1DD aba DB npDnpp称为方差；标准差是，；若 ，那么 222222222211_.3,3210_12_xyCmnmnxyAxmnP Aabxxaxb 曲线 的方程为，其中 、是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件方程表示焦点在 轴上的椭圆 ，那么在区间内任取两个数分别记为 、 ，则使得关例1于 的方程有实根的概率为一、古典概型与几何概型 22223661515360445.1236.3101.61332xmnP AabababP 试验中所含基本事件个数为；若想表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉 种可能；既然椭圆焦点在 轴上，则，又只剩下一半情况，即种，因此要使方程有实根，则，即，即又，由几何概型得解析：古典概型与几何概型问题分析求解时应恰当应用是转化化归思想和分类讨【点评】论思想 60%75%13212为加强新农村建设，提高农民收入，某地区农业部门为农民免费提供果树栽培和水产养殖技术培训，每位农民可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过果树栽培培训的有，参加过水产养殖培训的有，假设每位农民对培训项目的选择是相互独立的，且不同农民的选择相互之间没有影响任选 位农民，求该人参加过培训的概率二、互；任选 位农民，至斥、独立事件的概率计算少有 位参加例2过培训的概率 1211“”“”0.60.75( )0.4( )0.25.11()( )(0.9.)0.40.250.1.110.1ABABP AP BP AP BPP A BP AP BPP选 位农民，记 该人参加过果树栽培培训 为事件 ，该人参加过水产养殖培训 为事件 ，由题设知，事件 与 相互独立，且，则，任选 位农民，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过解培训的概率是析； 342233343423C0.90.10.2430.90.729.20.2972.PPPPPP设有 位农民参加过培训的概率为 ，有 位农民参加过培训的概率为 ，因为每个人的选择是相互独立的，所以，所以至少有 位农民参加过培训的概率为“”概率题的实际背景，往往与现实生活，社会热点问题坚密相关，本小题选择以关注民生的热点问题 新农村建设 为背景；高考题中的概率题是对几种概率模型的综合考查，所以在最后的冲刺训练，要注意概率综合【点评】题的训练 QQQQQQQQQQQQ1 1 1QQ2 3 6QQQQ12为了拓展网络市场，腾讯公司为用户推出了多款应用，如“农场”、“音乐”、“读书”等市场调查表明，用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为 、 ，现有甲、乙、丙三位用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加求三人所选择的应用互不相三、二项分布及应同的概率；记 为三人中选择的应用是“农场”或“音乐”的人数，求 的分3用例布列与数学期望 123123123123123“QQQQQQ1,2,3.(1,2,3)111.23361611iiiijkiiiiABCiAAABBBCCCABC ijkijkP AP BP CPP AB CP A P BP C记第 名用户选择的应用是农场”、“音乐”、“读书”分别为事件 、 、 ，由题意知 ， ， 相互独立， ， ，相互独立， ，相互独立，且 ， ，且， 互不相同 相互独立，且，他们选择的应用互不相同的概率！解析：.6 3332231230333QQ1(3)361103C ( )6216151512C ( )66216157521C ( )( )66216512530C ( ).62162BPPPPPPPP设 位用户选择的应用是“读书”的人数是 ，由已知 ， ，且，所以，115751250123.212.56216216216E 故 的分布列是：的数学期望是二项分布问题与独立重复试验紧密相关，因此在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验，从而将问题转化为二项分布问【点评】题求解7,8,9,10甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在环内，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布条形图如下图所示四、离散型随机变量的分布列、期，若将频率视为概率，回答例4望下列问题 9(9)319(9)123129(9).E求甲运动员在一次射击中击中 环以上含 环 的概率；求甲运动员在 次射击中至少有 次击中环以上 含 环 的概率；若甲、乙两运动员各射击 次， 表示这次射击中击中 环以上 含 环 的次数，求的分布列及 122337,80.190.45.7,8,9,101010.450.10.10.359(9)0.450.35(10.20.8)319(9)C 0.8 0.0.2C28.810PAP A 由图可知，一次射击中甲击中环的概率均为，击中 环的概率为又因为他们击中的环数都稳定在环内，因此击中 环的概率为，所以甲击中 环以上 含 环 的概率为或设甲运动员在 次射击中至少有 次击中 环以上 含 环 为事件 ，则解析： 233330.2C 0.80.0960.3840.50.99212(10.20.992)P A 或 0,1,29(9)0.7500.200.250.0510.800.250.75 0.2001.55.3520.800.750.60.00.051 0.3520.603PPPE 由题意可知，由图可知乙一次射击击中 环以上 含 环 的概率为，因此 的分布列为： 30211.312 45甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得 分，负者得分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为求甲获第一名且丙获第二名的概率备选；设在该次比赛中，甲得分为 ，求 的分布列和题数学期望 211.346141.5514650,3,6,22.1110(1)(1)344125P甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙所以甲获第一的概率为丙获第二，则丙胜乙，其概率为所以甲获第一名且丙获第二名的概率为可能取的值为甲两场比赛皆输的概率为解析：，211273(1)(1)3443122116346171036411.4126PPE 甲两场只胜一场的概率为，甲两场皆胜的概率为，所以 的分布列为所以 1()C1.n kkknnmP AnP ABP AP BP A BP AP BnP kpp解决概率问题的一般步骤可概括如下：第一步：确定事件的性质，等可能事件、互斥事件、几何概型、独立事件或独立重复试验第二步：判断事件的运算为积事件还是和事件第三步：运用公式，等可能性事件：；互斥事件：；独立事件：； 次独立重复试验：2离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题，一是求出 的所有取值，二是求出 取每一个值时的概率求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提
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