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专题一 函数与导数专题四 立体几何(0 90 1两异面直线所成的角：过空间任意一点分别引两条异面直线的平行线，那么这两条相交直线所成的角就叫做这两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角的范围是，求异面直线所成的角，最关键是要找到一个点，然后把两条异面直线平移至同一个平面90 .0 .0 90 2AOAB直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角叫做斜线与平面所成的角如果直线与平面垂直，那么就说直线与平面所成的角为如果直线与平面平行或者在平面内，那么就说直线和平面所成的角为直线与平面所成的角的范围是，求直线与平面所成的角关键是过直线上一点向平面作垂线03180AOOBAOB一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是射线、，则叫做二面角的平面角二面角的平面角的取值范围是，求二面角的平面角的方法有：定义法、线面垂直法、射影面二面角：积法等 4123空间的距离包括两点间的距离、点线距离、点面距离、线面距离、面面距离、两平行线间的距离在六种距离中，求点到平面的距离是重点，点到平面的距离是指：自点向平面引垂线，点到垂足间的距离求点到平面的距离方法有： 直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长； 转移法，转化成求另一点到该平面的距离；空体间的离：积法距 000()A1B1CDABCDAB ACAD ACAD ABBCD 一、空间向设 ， ， ， 是空间不共面的四个点，且满足，则的形状是 钝角三角形 直角三角形锐角三角形 例量及其运 算无法确定 19060_2_ABCDABACACDACABCDDB在平行四边形中，将它沿对角线折起，使与成角，则 、 间的距离是 22() ()0.1009200.:BC BDACABADABAC ADAC ABAB ADABABDB DCCB CDACDAC CDBBCDA AC 同理，因为所以为锐角三角形，所以同理，解析0.6060120 .ABCDBACD 因为与成角，所以， 或222222222224,6032 1 1 cos2,BDBAACCDBDBAACCDBA ACBA CDAC CDBAACCDBA CDBACDBACD 又因为，所以， ， .120| 2222.BACDBDBD ， 所以或，即 、 间的距离为 或用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几何中要灵活运用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍【点评】然成立 /312122/ABCDEFFAABCDAD BC FEABADMECAFABBCFEADBFDEAMDCDEACDE如图，在五面体中，平面，为的中点，求异面直二、空间角的线与所成的角的大小；证明平面平面；求二分析与计算面角例的余弦值 /().1.2601:BF CECEDBFDEPADEPPCFEAPFAEPABPCFAABCDEPABCDPCADABCDEPPCEPADABADPCADFAaEPPCPDaCDDEECaCED由题设知，所以或其补角为异面直线与所成的角设 为的中点，连接，因为，所以 ，同理， 又平面，所以平面而，都在平面内，故，由，可得设，解则，故方法 ：析6.0 .BFDE所以异面直线与所成的角的大小为 .2.DCDEMCEDMCEMPMPCEMPDMMAMDCCEAMDCDEDEEC证明：因为且为的中点，所以连接，则又，故平所以平面平，面面而平面 3.623.31.223Rtcos3QCDPQEQCEDEEQCDPCPDPQCDEQPACDEEPPQEQaPQaPQEPQEQPEQACDE设 为的中点，连接，因为，所以因为，所以，故为二面角的平面角由可得，于是在中，所以二面角的余弦值为 11,0,01,1,00,2,00,1,1110,0,1(1)221,20,1(01,1)0011cos.2|60|221.AABBCDEFMBFDEBF DEBF DEBFDEBFDE 如图所示，建立空间直角坐标系，点 为坐标原点设，依题意得， ， ，于是， 所以异面直线与所成的角的大小为方法 ： 11(1)1,0,1220,2,000.2.AMCEADCE AMCE ADCEAMCEADAMADACEAMDCECAMDDDECE 证明：由， ， ，可得，因此，又，故平面而平所以平面平面面， ()00.0011,1,10,0,10013cos.|33331.3CDExyzCExzyzDExACDACDE 设平面的法向量为， ， ，则，于是令，可得又由题设，平面的一个法向量为所以， ， 因为二面角为锐角，所以其余弦值为uuuuvu vuvu v几何法求空间角时关键是找到这个角，再通过解三角形求出这个角，而向量法的关键则是求平面的法向量，同时注意各类角的取【点评】值范围 390132123PABCDADCDCBADBCPCCDPCABCDEABPDEPACPCPDEBPDE 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，底面， 为的三、空间距离的分析中点求证：平面平面；求直线与平面所成的角的正弦值；求点 到平例面与计算的距离 141tan.21tan2.1ACDEGDECBFDAEFBEBFADCFDCCFDCFADACDDCCFDACD证明：证明：设与的交点为 ，延长交的延长线于点 ，则，所以，所以又因为，所以解析：方法 909090.2.1ACDACFCFDACFCGFACDEPCABCDPCDEACPCCDEPACDEPDEPGCCHPGHPDEPACPDPGCHPDEEPACCPHCPGPC 因为，所以，所以，所以又因为底面，所以而，所以平面又平面，连接，过点 作于点 ，则由知，平面平面，且是交线根据面面垂直的性质定所以理，得平面，从而即为直平面线面平与平面PDE所成的角 2222222224 5Rt.5214 52 55Rttan.252.311.444 5245Rt34 5325CDDCACGACCGPCGCPGPCPCPDEBFCFBPDECPDECHPC CGPOGCHPCCG 在中，在中，即直线与平面所成的角的正弦值为由于，所以可知点 到平面的距离等于点 到平面的距离的 ，即在中，0,0,02,1,00,3,00,0,22,0,01,22,01.3BPDECCDCBCPxyzCxyzCABPDE从而点 到平面的距离等于如图所示，以点 为坐标原点，直线、分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，方法 ： 1,2,01,2,00,0,21,2,02,1,001,2,00,0,21(20.)AECACPDE CADE CPDECADECPCPCACDEPACDEPDPDEExyzPPDECEDA 证明：由于，所以，所以，而，所以平面又平面，设， ， 是平面的一个所以平法向面平，量，则面nnn0.1,2,0(1,22)PEDEPE 由于，( , , ) ( 1,2,0)20( , , ) (1,2, 2)2202122,1,2(0,02)|sin|cos,| | 2120 02 | 21DEx y zxyPEx y zxyzxyznPCPDEPCPCpcPC 所以令，则，即再设直线与平面所成的角为 ，而，所以， ， ， ，nnnnn22 | | 0 0233.|2PCPDE ， ，即直线与平面所成角的正弦值为 22,1,2(11,0)| 2121 10 |13.33nPDEBEBPDEn BEdn 由知，是平面的一个法向量，而，所以点 到平面的距离为 2BPDEBPDECPDE利用几何法求 点到平面的距离时，充分利用第问的结论，将点 到平面距离转化为求点 到平面的距离，这种转化思想值得好【点评】好体会 21232.ABCDOEBDBCACBCCDBDABADAOBCDABCDEACD如图，四面体中， 、 分别是、的中点，求证：平面；备选求异面直线与所成角的余弦值；求题 点 到平面的距离 22222.221()21122sin603.490.1DOCABADOBDBCCDCABDAOBDCOBDOAABBDOCOACOAOCACAOCAOOCAOBDBDOOCCAOB 证明：连接因为， 是的中点，所以，在中，所以，所以平则又，面，解析: ./1211.222121c2.42os24ACMOMMEOEEBCME ABOE DCOEEMABCDOMEEMABOEDCOMRt AOCACOMACOEMABCD取的中点，连接、由 为的中点知，所以直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角在中，因为是的斜边上的中线，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为 222.1133.2212722.22213312242312121.273.772CDEEACDA CDEACDACDCDECDEACDEACDhVVh SAO SACDCACDADSAOSAO ShSEACD 设点 到平面的距离为 因为，所以在中，所以而，所以所以点 到平面的距离为 1.11,0,00,0,11,0,0(030)13(0)22(1,01)( 130)2,.4|122OOxyzBADCBCEABCDAB CDAB CDAB CD 同方法由知，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，所以的中点，所以cos，所以cos方法 ： .()0( , , ) ( 1,0, 1)0.30( , , ) (0, 3, 1)01(31243)13(0)22|3|ABCDACDxyzxzADx y zyzACx y zynACDECEACDECh 所以异面直线与所成角的余弦值为设平面的法向量为， ， ，则，所以令，得， ，是平面的一个法向量又， ，所以点 到平面的距离nnnnn.73|721利用体积法求距离是一种常用方法，应【点评】多体会20coscos| |cos().“”1“ABABABlABlA B 常用空间关系与向量运算之间的关系利用来求证线线垂直利用， ，求，求两直线的夹角利用求解有关线段的长度问题或利用， ， 其中， 是与直线同方向的单位向量 ，求线段在 上的射影长向量作为沟通 数 和 形 的桥梁，是利用数aba ba ba ba ba ba babaa aa eae形结合解题的一种重要载体2空间角的计算方法都是转化为平面角来计算两条异面直线所成的角，要以运动的观点运用“平移法”，使之成为相交直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系；斜线与平面所成的角，往往是在斜线上取一点向平面引垂线，再解由斜线、垂线、射影所围成的直角三角形这里关键是引平面的垂线，明确垂足的位置；求二面角的方法主要有定义法、线面垂直法、射影面积法等 3空间距离点与点之间的距离、点线之间的距离、两平行线之间的距离利用平面几何知识可以解决；点面距离、线面距离、面面距离都可转化为求点面距离4AAAAa在求空间角或空间距离时，经常会遇到过空间中一点 作已知平面 的垂线的问题解决这类问题时，如果已知图形中有平面的垂线，就只需过点 作已知垂线的平行线即可；否则可以过点 作一个平面与平面 垂直，再利用平面垂直的性质定理达到过点 作平面 的垂线的目的5空间角与空间距离的计算都分为三步：“一找、二证、三计算”立体几何中的计算题必须有推理过程，考生往往只注意计算，不注意推理，造成不必要的丢分
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