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第第1 1讲讲 集合及其运算集合及其运算 知识梳理 1 1集合的含义与表示集合的含义与表示 (1)(1)一般地，我们把研究对象统称为一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些元素组，把一些元素组成的总体叫做成的总体叫做 ( (简称为集简称为集) )。 (2)(2)集合中的元素有三个性质：集合中的元素有三个性质：_，_，_。 (3)(3)集合中元素与集合的关系分为集合中元素与集合的关系分为_和和_两种，分别两种，分别用用_和和_表示。表示。 (4)(4)几个常用集合的表示法几个常用集合的表示法 第第1 1讲讲 知识梳理知识梳理元素元素 合集合集 确定性确定性互异性互异性无序性无序性数集数集自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集表示法表示法属于属于 不属于不属于 N N*或N Z Q R (5)(5)集合有三种表示法：集合有三种表示法：_，_，_ _ _。 列举法列举法 描述法描述法 Venn图法图法 第第1 1讲讲 知识梳理知识梳理2集合间的基本关系集合间的基本关系 AB且且AB 3.集合的基本运算集合的基本运算 第第1 1讲讲 知识梳理知识梳理集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的补集集合的补集符号符号表示表示A AB BA AB B 若全集为若全集为U U，则集合则集合A A的补的补集为集为_图形图形表示表示意义意义 x x|_|_ x x|_|_ UAUA x x|_|_，_ UA xA或或xB xA且且xB xU且且x A ？ 4. 4.常见结论常见结论 (1)(1)若集合若集合A A中有中有n n个元素，则集合个元素，则集合A A的子集有的子集有_个，真子集有个，真子集有_个。个。 (2)(2)并集：并集：A AB B_，A AA A_ _ _，A A _，A AB B_A A，A AB BB BA AB B。 (3)(3)交集：交集：A AB B_，A AA A_，A A _，A AB B_A A，A AB BA AA AB B。 (4)(4)补集：补集：A A( UAUA) )_，A A( UAUA) )_。 (5)(5) U U( (A AB B) )_， U U( (A AB B) )_。 (6)(6)若若A AB B且且B BA A，则，则_。 第第1 1讲讲 知识梳理知识梳理2 2n n 2n1 BA A A BA A U UA U B UA U BAB 要点探究 探究点探究点1集合的概念集合的概念第第1 1讲讲 要点探究要点探究 思路思路 由题意可知，集合由题意可知，集合A中的三个元素中必有一个为中的三个元素中必有一个为1，由此列，由此列出关于出关于a的方程后求解，最后对结果进行检验集合的方程后求解，最后对结果进行检验集合B为单元素集，要为单元素集，要分分a0和和a0两种情况讨论两种情况讨论 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点2集合间的关系集合间的关系 例例2 已知集合已知集合Px|1ax2a，Qx|x23x100 (1)若若a3，求集合，求集合P，Q间的关系；间的关系； (2)若若PQ，求实数，求实数a的取值范围的取值范围 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 思路思路 (1)求出集合求出集合Q，把，把a3代入集合代入集合P，利用数轴探讨，利用数轴探讨P，Q间的包含或相等关系；间的包含或相等关系；(2)由由PQ，注意集合，注意集合P可为空集可为空集 第第1 1讲讲 要点探究要点探究第第1 1讲讲 要点探究要点探究 点评点评 由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此利用的子集，因此利用AB解决问题时，要注意对集合解决问题时，要注意对集合A是是否为空集进行讨论，解题时不要漏掉这一点；另外，合否为空集进行讨论，解题时不要漏掉这一点；另外，合理利用数轴和理利用数轴和Venn图帮助分析与求解是避免出错的一图帮助分析与求解是避免出错的一个有效手段，这也是数与形的完美结合之所在，如：个有效手段，这也是数与形的完美结合之所在，如： 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (1)2010浙江卷浙江卷 设设Px4，Q x24，则则 () APQ BQP CP RQ DQ RP 思路思路 求出集合求出集合Q，利用数轴判断两个集合的相互关系，利用数轴判断两个集合的相互关系解析解析 Q(2,2)，P(，4)，QP. 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (2)2010 (2)2010宝鸡模拟宝鸡模拟 已知全集已知全集U UR R，集合，集合A A x x| |x x2 2n n，n nNN 与与B B x x| |x x2 2n n，n nNN ，则正确表示集合，则正确表示集合A A、B B关关系的韦恩系的韦恩(Venn)(Venn)图是图是( () ) 思路思路 将将2 2n n变形为变形为2 22 2n n1 1的形式，再利用其判断集的形式，再利用其判断集合合A A、B B的关系的关系 解析解析 x x2 2n n2 22 2n n1 1，当当n nNN时，时，2 2n n1N1N，此时，此时A AB B，又，又11A A，但，但1 1 B B，故选，故选A. A. 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (3)2010 (3)2010佛山模拟佛山模拟 已知集合已知集合A A x x| |x x2 2或或x x44，B B x x| |x x2 24 4axax3 3a a2 200若若B BA A，则实数，则实数a a的取的取值范围是值范围是_ 思路思路 先利用先利用a a的符号将集合的符号将集合B B化简再分类讨论化简再分类讨论( (，4 4 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点3集合的运算集合的运算 例例3 2010杭州模拟杭州模拟 已知集合已知集合A ，集合集合B 。(1)当当m3时，求时，求A ；(2)若若AB ，求实数，求实数m的值。的值。 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 思路思路 (1)集合集合A、B都表示函数的定义域，先利用使都表示函数的定义域，先利用使解析式有意义的条件求得集合解析式有意义的条件求得集合A、B，然后借助数轴进行，然后借助数轴进行集合运算；集合运算；(2)借助数轴，由集合的运算性质写出参数借助数轴，由集合的运算性质写出参数m所所满足的条件即可求解满足的条件即可求解 第第1 1讲讲 要点探究要点探究第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (1)(1)设设U UZ Z，A A1,3,5,7,91,3,5,7,9，B B1,2,3,4,51,2,3,4,5，则图，则图1 12 2中阴影部分表示的集合是中阴影部分表示的集合是( () ) A A2,4 2,4 B B1,2,3,4,51,2,3,4,5 C C7,9 7,9 D D1,3,51,3,5 图图12 思路思路根据给出的根据给出的Venn图可知，所求的集合中的元素图可知，所求的集合中的元素属于集合属于集合B但不属于集合但不属于集合A，即求，即求 UA与与B的交集的交集 解析解析阴影部分所表示的集合是阴影部分所表示的集合是( UA)B2,4，故选，故选A. 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (2)若集合若集合A ，B ，则，则AB是是() A. B. C. D. 思路思路 利用不等式的解法，化简集合利用不等式的解法，化简集合A，B，并利用，并利用数轴的直观性，计算两集合的交集数轴的直观性，计算两集合的交集 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (3 (3）20102010重庆卷重庆卷 设设U U0,1,2,30,1,2,3，A A x xU U| |x x2 2mxmx00，若，若 UAUA1,21,2，则实数，则实数m m_. _. 思路思路集合集合A表示一元二次方程的根，根据这个方程的表示一元二次方程的根，根据这个方程的根是否相等分类解决，并注意对所求的结果进行检验根是否相等分类解决，并注意对所求的结果进行检验 解析解析由由x2mx0 x0或或xm，当当m0时时A0，不满足；当，不满足；当m0时，时，A0，m由由 UA1,2，m3，m3. . 探究点探究点4集合与其他知识的综合集合与其他知识的综合 例例4 20102010福建卷福建卷 对于平面上的点集对于平面上的点集，如果连接，如果连接中任意两点的线段必定包含于中任意两点的线段必定包含于，则称，则称为平面上的凸集，为平面上的凸集，给出平面上给出平面上4 4个点集的图形如图个点集的图形如图1 13 3所示所示( (阴影区域及其边阴影区域及其边界界) )，其中为凸集的是，其中为凸集的是_( (写出所有凸集相应图形写出所有凸集相应图形的序号的序号) ) 第第1 1讲讲 要点探究要点探究答案答案 第第1 1讲讲 要点探究要点探究解析解析 利用平面上的凸集的新定义知：连接利用平面上的凸集的新定义知：连接中任意两点的中任意两点的线段必定包含于线段必定包含于，那么对于，那么对于中多边形的最上面的两个角中多边形的最上面的两个角上相应的两点的连线就不包含于上相应的两点的连线就不包含于，而对于，而对于中分别在两个中分别在两个圆中各取一点的连线就不包含于圆中各取一点的连线就不包含于，对于，对于和和满足平面上满足平面上的凸集的新定义的凸集的新定义 点评点评 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并热点问题，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题，如：新情景下的问题，如： 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 对任意两个集合对任意两个集合M、N，定义：，定义：MNx|xM且且x N，MN(MN)(NM)，My|yx2，xR，Ny|y3sinx，xR，则，则MN_._. 解析解析 M0，)，N3,3，MN，MN(3，)，NM3,0)，又，又MN(MN)(NM)，MN3,0)(3，) 答案答案 3,0)(3，) 例例5 集合集合A(x，y)|ya|x|，B(x，y)|yxa，CAB，且集合，且集合C为单元素集合，则实数为单元素集合，则实数a的取值范围为的取值范围为_ 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 思路思路 集合集合A、B为点集，在平面直角坐标系中，作出为点集，在平面直角坐标系中，作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解两个函数的图像，利用数形结合思想求解 第第1 1讲讲 要点探究要点探究 点评点评 集合作为工具经常渗透到函数、集合作为工具经常渗透到函数、不等式、解析几何等知识中，解决此类问题不等式、解析几何等知识中，解决此类问题时，要注意将集合语言转化为熟悉的数学语时，要注意将集合语言转化为熟悉的数学语言，再求解言，再求解 规律总结第第1 1讲讲 规律总结规律总结 1集合的准确识别集合的准确识别 对集合的准确识别，关键是要特别注意代表元素是什对集合的准确识别，关键是要特别注意代表元素是什么，有什么属性，如果属性相同，但代表元素不同，所表么，有什么属性，如果属性相同，但代表元素不同，所表示的集合也不一样，如集合示的集合也不一样，如集合y|y2x，x|y2x，(x，y)|y2x表示不同的集合表示不同的集合 2集合元素的性质集合元素的性质 集合元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，尤集合元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，尤其是其是“互异性互异性”在解题中要注意把握与运用，在解决元素在解题中要注意把握与运用，在解决元素含参数的集合问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因含参数的集合问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足为不满足“互异性互异性”而导致结论错误而导致结论错误第第1 1讲讲 规律总结规律总结 3空集的特殊性空集的特殊性 任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集在涉及集合之任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集在涉及集合之间的包含关系，利用间的包含关系，利用AB解题时，若不明确集合解题时，若不明确集合A是否是为空集时，是否是为空集时，应对集合应对集合A的情况进行分类讨论，勿因忽略的情况进行分类讨论，勿因忽略“空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集”造成解题结果不全面造成解题结果不全面 4数形结合思想的应用数形结合思想的应用 在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩图和数轴使抽象问题直在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用韦恩图表示，集合元素连续时用数观化一般地，集合元素离散时用韦恩图表示，集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍 第第1 1讲讲 规律总结规律总结5补集思想的应用补集思想的应用 在解决集合有关问题时，如果从正面求解较困难，则采用在解决集合有关问题时，如果从正面求解较困难，则采用“正难正难则反则反”的解题策略，具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求的解题策略，具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合出使问题反面成立的集合A，则集合，则集合A的补集即为所求的补集即为所求
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