中考数学复习 第一章数与式 第5课 二次根式及其运算课件

第5课二次根式及其运算 1二次根式的概念： 式子 叫做二次根式2二次根式的性质： (1)( )2 ； (2) |a| (3) (4) 要点梳理要点梳理( (a0)0)a a( (a0)0)a( (a0)0)0( (a0)0)a( (a0)0)ab 3二次根式的运算： (1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： ； (3)二次根式的除法： 4最简二次根式： 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式 最简二次根式，满足两个条件： 被开方数不含分母； 被开方数中不含开得尽方的因数或因式( (a00，b0)0)ab ab ( (a00，b0)0)1正确理解二次根式的意义 二次根式 定义中的“a0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a0时，没有意义在具体问题中，一旦出现了二次根式 ，就意味着a0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如： 、 (ab0)、 (x3)都是二次根式 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2注意正确的化简及二次根式的混合运算 实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如：运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然适用3与二次根式相关的求值问题 条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来，因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的方法与过程通常是将已知式与求值式化简后，再按照求代数式的方法进行，以简便、准确为目的1(2011泉州)(2)2的算术平方根是() A. 2 B2 C2 D. 解析： 2.2(2011广安)下列运算正确的是() A(x1)x1 B. C. 2 D(ab)2a2b2 解析：因为 2， 20，所以 ( 2) 22 .基础自测基础自测A 2 2 2 C3 3 3 3 32 3 3 3 3 3 3 3(2011泰安)下列运算正确的是() A. 5 B4 1 C. 9 D. 6 解析： 6.4(2011杭州)下列各式中，正确的是() A. 3 B 3 C. 3 D. 3 解析：因为 3，所以 3.D2424 3 32 2 24243 32 2 B32 32 36 5(2011菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为() A. 7 B7 C2a15D无法确定 解析：可知5a0，a113或k B0k3 解析：要使等式成立，必须 有 k3.题型分类 深度剖析D 2k10，k30， k12，k3. (2)已知a、b、c是ABC的三边长，试化简： . 解：原式|abc|abc|bca|cab| (abc)(bca)(cab)(abc) 2a2b2c.探究提高探究提高 1.1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负. . 2. 2.注意二次根式性质注意二次根式性质( )( )2 2a( (a0)0)， | |a| |的区别，的区别， 判断出各式的正负性，再化简判断出各式的正负性，再化简知能迁移1(1)( )2的平方根是_，9的算术平方根 是_，_是64的立方根 解析：( )22,2的平方根是 ； 3； 4.2 2 3 34 42 2 2 2 9 9 3 36464 (2)(2011(2)(2011烟台烟台) )如果如果 1 12 2a，则，则( () ) Aa B. . a Ca D. . a 解析：由解析：由1 12 2a00，得，得a . .B1 12 2 (3)若化简|1x| 的结果为2x5，则x的取值范围是_ 解析：|1x| (x1)(4x)2x5， |1x|x10，x1， 且 4x0，x4. 1x4.11x44x28x16 x28x16 题型二二次根式的运算【例2】 (1)下列运算正确的是() A2 4 6 B. 4 C. 3 D. 3 解析： 3，选C. (2)计算： 2 . 解：原式2 .C2727 3 3 273273 9 9 6 6 1 12 2 6 6 1 13 3 6 6 1 13 3 6 6 3 32 2 6 6 (3)计算： 解：原式 15 6 .4 45 5 1 12 2 45451515 4 45 5 1 12 2 3 3 3 3 探究提高 1.二次根式化简，依据 (a0，b0)， (a0，b0)，前者将被开方数变形为有m2 (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的 数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到 根号外. 2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式 3二次根式乘除结果要化简为最简二次根式知能迁移2(1)(2011潍坊)下面计算正确的是() A3 3 B. 3 C. D. 2 解析： 3.B2727 3 3 9 9 (2)如图，数轴上A、B两点表示的数分别为1和 ，点B关于 点A的对称点为C，则点C所表示的数为() A2 B1 C2 D1 解析：A、B两点表示的数分别是1和 ， OA|1|1，OB| | ，AB1 AC， OCACOA(1 )12 . 点C所表示的数为(2 )2 ，选A. A3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 题型三二次根式混合运算【例3】 计算： (1)(3 1)(13 )(2 1)2； (2)( 3)2010( 3)2010. 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式(3 )21(2 )24 1 18184 1 2分 84 4分 (2)原式( 3)( 3)2010 2分 ( )2322010 (109)20101 4分2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1010 1010 1010 探究提高 1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便知能迁移3(1) ( )0 解：原式3 3 1 12 2 2 2 (2)(3)2 ( )1； 解：原式9229(3)已知 的整数部分为a，小数部分为b，求a2b2的值 解：3 4， 的整数部分a3，小数部分b 3. a2b232( 3)2 9(106 9) 106 .1010 1010 1010 1010 1010 1010 题型四二次根式运算中的技巧【例4】 (1)已知x2 ，y2 ，求：x2xyy2的值； (2)已知x 3，求x 的值 解：(1)x2 ，y2 ， xy(2 )(2 )4， xy(2 )(2 )1， x2xyy2(xy)2xy42115. (2) 4(3)245， x .3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ( x ) )2 21 1x ( ( x ) )2 21 1x 1 1x 5 5 探究提高 1.x2xyy2是一个对称式，可先求出基本对称式xy4， xy1，然后将x2xyy2转化为(xy)2xy，整体代入即可. 2.注意到(x )2(x )24，可得(x )25， x .5 5 知能迁移4(1)若y x3，则10 x2y的 平方根为_； 解析：(1) x2，y238， 6. 3 3x6 60 06 63 3x0 0， x2 2，x2 2， 1010 x2 2y 10102 22 28 8 3636 6 6(2)已知a32 ，b32 ，求a2bab2的值； 解：ab(32 )(32 )4 ， ab(32 )(32 )11， a2bab2ab(ab)(11)4 44 .5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 (3)已知x ，y ，求 的值； 解：x ( 1)232 ， y ( 1)232 ， xy6，xy4 ，xy1. 原式 .2 21 12 21 1 2 21 11 1 2 22 21 12 21 1 2 2 2 2 2 21 12 21 1 2 2 2 2 2 2 xy xy xy 2 22 2xy 6 6 4 4 2 2 6 62 22 21 1 2424 2 23434 12121717 2 2 (4)(2011内江)已知|63m|(n5)23m6 ， 则mn_. 解析：由|63m|(n5)23m6 ， 得|63m|(n5)2 3m6， |63m|(n5)2|n| 3m6， m30且n50， m3，n5，mn352.2 2 m3 3 n2 2 m3 3 n2 2 m3 3 答题规范2注意二次根式运算中隐含条件考题再现已知：a ，求 的值学生作答解：原式 a1 a1 . 当a 时， 原式 1(2 )12 . a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 2 2a a1 1 a1 1a a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 3 3 规范解答 解：a 1，a10. |a1|1a. 原式 a1 . 当a 时， 原式 1(2 )3.1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a1 1 a1 1 a1 1 1 1aa a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 老师忠告 (1)题目中的隐含条件为a 1，所以 |a1|1a，而不是a1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上题中的隐含条件a |a1| 1a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性. 1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 思想方法 感悟提高方法技巧1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式，即使没有约分的情况，一般来说，只需把积(商)进行一次化简(因为结果须是最简二次根式)，当然较先化最简二次根式一次，又把积(商)再化简一次较为简单2.混合运算时，要根据实际情况，灵活确定运算顺序，可适当改变运算的顺序，使运算简便失误与防范1.求 时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 |a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类 讨论2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力求把根号去掉在求算术平方根时，要先用含绝对值的式子表示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义，然后再根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号3一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过程的附加条件要特别注意，问题中的条件没有主次之分，都必须认真对待完成考点跟踪训练 5