高考数学一轮复习精讲课件 第14单元第77讲 直线与圆的位置关系 湘教版

12理解下列定理：圆周角定理和圆心角定理及其推论、圆内接四边形的性质与判定定理、圆的切线的判定定理及性质定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切线长定理、切割线定理，并能应用上述定理及推论解决相关的几何问题体会用分类讨论的方法证明定理，用运动变化的思想进行探究35 A15 B 20C 25 01.D 3OABACCPCABPP如图，已知的直径与弦的夹角为，过点 的切线与的延长线交于点 ，那么等于90 .270 9020B.COCPOCPCOBCABPCOB 由已知，即又，所解以析：故选.21 2.ABOCEOCADCEDACADB如图，是圆 的直径，直线和圆 相切于点 ，垂足为若，则9021sin 2 .6ACBACDABCABACABCACDCADBBA 由题意得，易得，所以，所以所以，解析： 3. .ABCDADBACB 给出下列四个四边形：平行四边形；矩形；四边形中，；直角梯形其中一定是圆内接四边形的是 ABDOCOBCOEADBAEBADBACBAEBACBCOCO 易知不一定是圆内接四边形；一定不是圆内接四边形；是圆内接四边形；对如图，由、 、 三点可以确定一个圆 ，如果点 在圆 外，连接，与圆 相交于点 ，因为，而易知，矛盾所以点 不可能在圆 外，同理可证，点 不可能在解析圆：内25 4. .PBOBPOOAPAPOPB如图，为的切线，为切点，连接交于点 ，则的长度为22531 6 4.POCPBPA PPBC解延长交圆于析：所以，由切割线定理，312 . 5.ABCDAEBCPBP PCAPPE如图，已知圆内接正方形的边长为 ，弦交于点 ，且: ，则，223:1:212.1010.1 2150BCBP PCBPPCRt ABPAPABBPAP PEBP PCBP PCPEAP由，得，在中，又由相交弦定理，得解析： 1与圆有关的角的概念 ()()(12)3AOBBACBAT圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角 如图中的圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角 如图中的弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角 如图中的_.()_90_122.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半圆心角的度数等于它所对弧的同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的推论 ：弧也半圆 或直径 所对的圆周角是；圆推论 ：圆周角和圆心角定周角所对的弦是理 _1345_._.2圆内接四边形的判定圆内接四边形的性如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形圆如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的质圆的直线，是圆的切线的判定_._._.7_261圆的切线垂直过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过经圆的切线的性质弦切角定过切点且垂直于切线的直线必经过 弦切角等于它所夹的弧所对的 理推论 ：推论 ：89_._._1_0圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 从圆外一点引圆的切线，它们的切线长 ；圆心和这一点的连线 相交弦定理切割线定理切 两条切线线长定理的夹角度数；相等；相等；直角；直径；内接于；互补；内切角；切线；切点； 圆心； 圆周角； 相等； 比例中项； 相等【要点指南】； 平分21. .CACBOABOCABDOFCFFABEOD OCOE OFOA如图，已知、是的两条切线， 、是切点，交直线于 ，垂直于于 ，交直线于 ，求证：例题型一题型一 圆内接四边形的判断与应用圆内接四边形的判断与应用22.90.9 .0ACBCOABOCABDCOACAOOAOD OCOFCFFCDEEFCDCEFOD OOD OCOCOE OFAE OFO 因为、是的切线，证明：所以、 为切点，所以于在中，故又于 ，故，故 、 、有、 四点共圆，所以，- 由证明结论的形式，可联想到射影定理及分析：圆幂定理 在解决较复杂的平面几何问题时，要善于从式子结构中联想相关的定理，多个角度思考问题，从中找出评析：可行方案2.1ABOABADBECAC ADBC BEAB如右图，是的直径，过 、 引两条弦和，相交于点 ，求证：素材 ： . AEBDCCFABABF连接、，过 作，与：交于证明290 .90.ABOAEBADBAFCAFCEBC BEBF BABFCDAC DAF ABAAC ADBC BEBF ABAFC ADBC BEBBAA 因为是圆 的直径，所以因为，所以 、 、 、 四点共圆，所以同理， 、 、 、 四点共圆，所以即得， CFAB本题关键是作辅助线，得出四点共圆，然后利用割线定理即评析：可证明.12.26ABCABOHBCCAODEFGAGGFFCDE如右图，等边三角形中，边与相切于点 ，边、分别与交于点、 、 、已知，求例的长题型二题型二 切割线定理及应用切割线定理及应用2216 4.99525. AHAG AFAHACAGGFFCABACBHBD BEBH由切割线定理可知：，所以又，所以，故，则解析： DECDBEDEBEBDCDCEBHCFCG是与的公共部分，要求，应与，建立联系，可利用分析：切割线定理转化为，的关系从而得到解决279925 97 22.721770.27721229222272129219 21. CE CDCF CGBCACxyBDxCEyyxxyxyyyyxyyyyxyyDEBCBDECxy又因为，设，则有得，即把代入得，解得因为 ，即 ，所以，所以，从而解析： DBxCEy本题为了方便表示，除设外，又引入变量，使各线段长的关系的表示更加清晰与简捷，在几何问题中，这也是常评析：用的做法4830 2. .PCOCPABPCPBBBC如图，是的切线，为切点，为割线，则素材222.230 .2430sin1.906 090 4 3.ACPCPA PBPAACPBAPCsinsin PACPACPACBCPBP BPPCC 连接因为，所以，在中，由正解析：弦定理得，所以从而所，以， 33.122CABOCHABHACBDECHAEBDFCFABGFBDCGOFBFEO如图，已知 是以为直径的半圆 上一点，于点 ，直线与过 点的圆的切线相交于点 ， 为的中点，连接并延长交于点 ，直线交直线于点求证：点 是的中点；求证：是的切线例；若，求的半径题型三题型三 圆周角定理和圆的切线定理及应用圆周角定理和圆的切线定理及应用 /.1/B .CHABDBABCHDAEHAFBACEADFEHAECEBFAFFDHEECBFFDFBD证明：因为，所以所以，所以因为，所以，即 为的中点 .9090 .90 .2.)2190(CBOCABACBBCDRt BCDFBDBCFCBFBDOBOBDOBCCBDOCBOBCOCGOCBBCFOBCCBFCGOOCFOBF 连接、因为是直径，所以，从而在中，因为 是的中点所以又因为与相切于点 ，所以又因为，所以所以是的证法 ：证切线法证：可明略 222222./.22.412062(3)FCFBFEFCECEFCH BDBFGHCFAFBAEHCEFBFGBFAFBFBRt FBARt FBGFAFGABBGFGBG AGBGRt FBGBGFGBFFGFGFGFGA 由，得因为，所以，所以又，所以可得：，且由切割线定理得在中，由勾股定理得由、得，解得或舍去所以42.BBGO所以半径为， ()本题是综合性较强的题目，要用到全等、相似三角形的判定与性质、与圆有关的概念与性质 如圆的切线的判定和性质、切割线定理 等，需要仔细分析，恰当添加辅助线，才能顺利找到求解评析：的思路 30 .123.3PAPBOABOABAPBOAAP如图，、是的切线，、 为切点，求的大小；当时，求素材的长 60301802 30120 .90.1ABOOAOBOABAOBPAPBOOAPAOBPBOAPO PA BBP 因为在中，所以因为、是的切线，所以，所以，即，解析： .1.23303 3cos303 3.22 OODABABDOABOAOBADABRt AODOAOADADOAAPAB 如图，过点 作交于点因为在中，所以因为在中，所以，解析： 本题用到的知识点较多，主要知识点有：圆的切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理；锐角三评析：角函数等 3 7 .12ABOlCADlDBElEBEOFADcmBEcmODE如右图，已知为半圆 的直径，直线 切半圆于点 ，于点 ，于点 ，交半圆 于点 ，求的半径；求线段备选例题的长 2OCCDEAFADEFADEFRt ABFAF连接，证 为的中点在解有关圆的切线问题时，常常要作出过切点的半径对于则连接，分证四边形为矩形，从而得到，然后在中运用勾股定理，求析： 的长 ./1 5 ./.12OClCOClADlBElAD OC BEOAOBCDCEOCADcBmE连接因为 切半圆于点 ，所以因为，所以因为，所以以：，所解析 22229092 20903.41010.2142 21AFABOAFBAFEAFEDEFADEFDEAFADEFRt ABFBFBEEFABDEAFABBFDE 连接，因为为半圆 的直径，所以，即，所以，所以四边形为矩形，所以，在中，解析： 故线段的长为，所以，1.2 当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系在梯形当中，最常见的辅助线是高线，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关评析：的计算12圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个，就可推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心于是利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线34判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及所对、所夹弧的关系5与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效2 1 _ .ABCABCOABOBOACDABEADcmAEcmCDcm如图，已知在中，是直角，点 在上，以为半径的与相切于 ，与相交于 ，且，则22.CBCDCDxCBCD DACBAD因为，设，由切割线定理，所以错解： 对切割线的概念理解错误，同时对切割线定理应用条件错解分析： 认识错误22224433.2.ADAE ABABCDCBCDxRtCDABCxxx由切割线定理得，所以因为，设，在中正解： 即，有，所以，